-心中有盏红绿灯

2021年1月23日发(作者：tfboys小精灵)






















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题

目
:
二元一次不定方程的解法



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【摘要】

探讨当二元一次不定方程
ax+by=c
可解 时，它有负整数解的条件．得到了如下这个结论：设
a
，
b
都为正整数，c
为负整数，
(a , b)=1
，那么当
c
＜－
(a b
－
a
－
b)
时，二元一次不定方程
ax+by=c (1 )
有负
整数解，负整数解的个数等于－
[c
／
(ab)]
－
1
或－
[c
／
(ab)]
，当
c
≥
ab
－
a
－
b
时，
2
元
1
次不 定方程
(1)
无负整数解．

【关键词】二元一次方程；互质；最大公约数；整数解

引言

不定 方程整数解的问题
,
由来已久
,
早在五世纪末
,
我国数学家 张丘建著的《算径
>
中就有
号称世界名题
“
百鸡问题
”
本问题记载于中国古代约
5
—
6
世纪成书的
《张邱建 算经》
中，
是原书卷下第
38
题，也是全书的最后一题：
“
今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；
鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答 曰：鸡翁四，值钱二
十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；
鸡

母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；< br>鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十

四，值钱二十八。
”
该问题导致三元不 定方程组，其重
要之处在于开创
“
一问多答
”
的先例，这是过去中国 古算书中所没有的。而解多元不定
方程的基础是解二元一次不定方程，
所有下面就是讨论二元一 次不定方程整数解的方
法。

正文

1
二元一次不定方程的定义及定理

1.1
二元一次不定方程定义

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知 项的次数是１，那么这个整式方程就叫
做二元一次方程，有无穷个解
,
若加条件限定有 有限个解。二元一次方程的一般形式：
ax+by+c=0
其中
a
、
b
不为零。这就是二元一次方程的定义。
x+y=1
是
一个典型的二
元一次不定方程


1.

2
二元一次方程有关定理

定理
1
设二元一次不定方程


ax+by=c(1)
(
其中< br>a,b,c
是正整数，且
a,b
都不是
0)
有一整数解
x=
x
0
，
,y=
y
0
;
又设
(a,b)=d,a=a

d,b=b

d
，则（
1
）的一切解可以表成

x=x

-b

t,y=y
+at

其中
t=0,
±
1,
±
2,…

定理
2
（
1
）式有整数解的充分与必要条件是（
a,b
）
|c.
证

因为
x
0
，
y
0
是方程①的 整数解，当然满足

ax
0
+by
0
=c
，

②



因此

a(x
0
-bt)+b(y
0
+at)=ax
0
+by
0
=c
．



这表明
x=x
0
-bt
，
y=y
0+at
也是方程①的解．



设
x
＇，
y
＇是方程①的任一整数解，则有

ax
＇
+bx
＇
=c.
③



③
-
②得

a(x
＇
-x
0
)= b
＇
(y
＇
-y
0
)
．

④



由于
(a
，
b)=1
， 所以
a
｜
y
＇
-y
0
，即
y
＇< br>=y
0
+at
，其中
t
是整数．将
y
＇=y
0
+at
代入④，
即得
x
＇
=x
0
-bt
．
因此
x
＇
，
y
＇
可 以表示成
x=x
0
-bt
，
y=y
0
+at
的形式，
所以
x=x
0
-bt
，
y=y
0
+at
表示方程①的一切整数解，命题得证．
[
1
]



有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．

2
二元一次不定方程的解法

2.1
二元一次方程的解



使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解
.



对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：




①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不
是指 单独的一个未知数的值；




②二元一次方程的一个解是指使方 程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，
如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组 数值就是方程的解；




③在求二元一次方程的解时，
通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，
然
后给定这个未知数一个值，
相 应地得到另一个未知数的值，
这样可求得二元一次方程的一个
解
.
[
2
]


2.2
辗转相除

研究二元一次不定方程，要解决下面三个问题：

1.
整数解的存在问题。这 一问题见《初等数论》定理。方程
ax+by=c
（
a
、
b
、
c
均为整数，
ab≠0）有整数解的充要条件是：
(a
，
b)/c
。这一定理充分性的证明就是用辗转相除法求出
方程整数解的过程，这就解决了方程< br>ax+by=c
，
（
a
，
b
）
/c
时有整数解的问题。否则，当
(a
，
b)×c
时（×不能整除）
，不 定方程无整数解。

2.
整数解的个数问题。
不定方程有整数解，
则 它有无穷多个解，
并且它的无穷多个解可以用
二元一次不定方程的通解公式表示。即定理
2
。设不定方程
ax+by=c
，
［
a
，
b，
c
为整数，且
(a
，
b)=1
］有一个整数解（ｘ< br>0
，ｙ
0
）则它的全部整数解可表示

x=x
y=y


+bt x=x

-bt
+at
（
t
为任意整数）

-at
或
y=y

3.
求出全部整数解。
从二元不定方程的通解公式中可以看出，求二元一次不定方程的整数解
的关键就是求出它的一个特解（
x0
，
y0
）
，求特解的方法常用的有三种：一种是观察法，第

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