初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法
绝世美人儿
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2021年01月23日 13:27
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初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法
凯里市大风洞正钰中学
曾祥文
摘要：
教学作为一种有明确目的性 的认知活动，其有效性是教育工
作者所共同追求的。在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，
是中学生经常出错和不懂的部分。
本文主要探讨几种不定方
程和方程组的 解题技巧和方法。
关键词：
初中数学
不定方程
方程
< br>教学作为一种有明确目的性的认知活动，
其有效性是教育工作者所共同追求
的。
有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行
为，
它是教学的社会 价值和个体价值的双重体现。
数学是人们对客观世界定性把
握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法 和理论，并进行广泛应用的过程
。数学教
学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程
。
< br>方程
(
组
)
中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多 个，不
能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程
(
组
)
，解不定方 程没有固定的方法，
需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当
变形，灵活运用相关 知识。本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。
1
非负数的巧用
在初中数学中，经常用的非负数有：①
a
2
≥0
；②｜
a
｜
≥
0
；③
a
≥
0
若干个
非负 数的和为
0
，那么每个非负数均为
0
，
例
1
：
已经
x
2
+ y
2
-x+2y+5/4= 0
，求
x
、
y
的值。
评析：方程左边配方可变为非负数之和
解：
由
x
2
+ y
2
-x+ 2y+5/4= 0
得
( x
—
1/2 )
2
+ ( y +1 )
2
= 0
所以
( x
—
1/2 )
2
≥0
，
( y + 1 )
2≥
≥0
一般地，几个非负数之和为
0
，则每个非负数均为
0
。
所以
x=1/2,
y=1
2
二元一次方程的整数解
一个二元一次方程的解有无数多个，但我们常常只 求整数解。甚至只求正整
数解，
加上这一限制后，
解可能唯一确定或只有有限个或无解 。
求它的整数解时，
通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式，
再结合整数的整 除性，
得到其
解。
例
2
：
解方程
2 x + 3 y = 8( X
、
Y
均为整数
)
评析
：将
y
表示为
x
的代数式，并利用整数整除性来求解。
解：
原方程变为
y = 2/3x+8/3
y =
—
2/3x+ 2/3+2y =2/3(x-1)+ 2
当
x -1
是
3
的倍数时，
x
、
y
都是整数。
设
x -1 = 3 k ( k
是整数
)
那么：
x = 3 k +l
，
y = -2 k + 2(
其中
k
是整数
)
就是原方程的通解。
变式思考：
若例
2
中再添两个条件
，
其它条件不变
，
1
≤
x
≤
100
，
l≤y ≤
100
，
求
x
、
y
的值。
解：
将
x=3k+l
，
y =-2k+2
，
代人
1
≤x≤
100
和
l≤y ≤
100
中，
求得
0≤
x
≤
1/2
，
∵
k
是整数
，∴
k = 0
时，即方程的解为
x=1
，
y=2
。
一般地，若
x
o
，
y
0
是方程
ax+ b y=c
，
a
、
b
、
c
均为整数，且
(a< br>、
b)=l
的一组整
数解
(
称特解
)
，则< br>x=x
0
+bt
，
y=y
0
+at
（
t
为整数）就是方程的通解。
3
解一元二次方程根的“四步法”
一元二次方程是初中数学的一个重要内容，更是联结 二次函数和一元二次不
等式的重要纽带。
而一元二次方程根的分布问题，
则是学生进入 高中之后接触到
的一类问题。
很多教师在处理这类问题时，
包括很多资料在涉及这类问 题时，
都
是采取分情况讨论的办法。
这样处理，尽管不失全面，但结论过于庞大，
而且分类未免过多，导致学生
在学习这一内容时容易出现畏难情绪。在处理这类问题时，采用的是
―
四步法
‖
。
这一方法应用性广，且学生易于掌握。
特整理出来，就教于各位，不足之处，欢迎指正所谓
―
四步法
‖
， 就是说处理
一元二次方程根的分布问题时，
只需要依序考查所给一元二次方程所对应的二次函数的
4
个方面的情况就可以了。
一是开口的方向，
二是判别式的正负，
三是
对称轴的位置，
四是特殊点的函数值．
试举两例说明：