完全平方数的性质

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2021年01月23日 15:10
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2021年1月23日发(作者:给你满分的我)
完全平方数及其性质

能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。


例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121, 144,169,196,225,256,289,

324,361,400,441,484,…




观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字
和等的规律性的认识。



一、平方数有以下性质:

【性质
1
】完 全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9


【性质
2
】奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

【性 质
3
】如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定

6
;反之,如果完全平方数的个位数字是
6
,则它的十位数字一定
是奇数。


推论
1
:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是
6
,那么这
个数一定不是完全平方数。


推论
2
:如果一 个完全平方数的个位数字不是
6
,则它的十位数字是
偶数。

【性质
4
】(
1
)凡个位数字是
5
,但末两位数字不是
25
的自然数不
是完全平方数;



2

末尾只有奇数个
“0”
的自然数
(不包括
0
本身)
不是完全平方数;



100

10000

1000000
是完全平方数,


10

1000

100000
等则不是完全平 方数。



3
)个位数字为
1

4
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方
数。


需要说明的是:个位数字为
1

4

9
而十位数字为奇数的 自然数一定
不是完全平方数,如:
11

31

51

74

99

211

454
879
等一定
不是完全平方数一定不是完全平方数。


但个位 数字为
1

4

9
而十位数字为偶数的自然数不都是完全平 方数。
如:
21

44

89
不是完全平方数,但
49

64

81
是完全平方数。

< br>【性质
5
】偶数的平方是
4
的倍数;奇数的平方是
4
的倍数加
1



这是因为

(2k+1)^2=4k(k+1)+1





(2k)^2=4k^2

【性质
6
】奇数 的平方是
8n+1
型;偶数的平方为
8n

8n+4
型。< br>

【性质
7
】平方数的形式一定是下列两种之一:
3k,3 k+1

【注意:具
备以上条件的不一定是完全平方数(如
13
,< br>21

24

28
等)】


【性 质
8
】不能被
5
整除的数的平方为
5k±
1
型,能 被
5
整除的数的
平方为
5k
型。


【性 质
9
】平方数的形式具有下列形式之一:
16m,16m+1,16m+4,16m+ 9



除了上面关于个位数,
十位数和余数的性质之外,
还可研究完全平方
数各位数字之和。


例如,
256
它的 各位数字相加为
2+5+6=13

13
叫做
256
的各位 数字
和。如果再把
13
的各位数字相加:
1+3=4

4< br>也可以叫做
256
的各位
数字的和。


下面我们提 到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,

果得到的数字之和不是一位数,
就把所得的数字再相加,
直到成为一
位数为止。


关于完全平方数的数字和有下面的性质:


【性质
10
】 完全平方数的各位数字之和只能是
0,1,4,7,9



证明


因为一个整数被
9
除只能是


9k,9k±
1, 9k±
2, 9k±
3, 9k±
4
这几种形式,而

(9k)^2=9(9k^2)+0
(9k±
1)^2=9(9k^2±
2k)+1 (9k±
2)^2=9(9k^2±
4k)+4
(9k±
3)^2=9(9k^2±
6k)+9 (9k±
4)^2=9(9k^2±
8k+1)+7

除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:


【性质
11

a^2b
为完全平方数的充要条件是
b
为完全平方数。


【性质
12
】如果质数
p
能整除
a
,但
p^2
不能整除
a
,则
a
不是完全
平方数。


证明


由题设可知,
a
有质因子
p

但无因子
p^2

可知
a
分解成标准
式时,
p
的次方为
1
,而完全平方数分解成标准式时,各质因子的次
方均为偶数,可见
a
不是完全平方数。


【性质
13< br>】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全
平方数,即

【性质< br>14
】一个正整数
n
是完全平方数的充分必要条件是
n
有奇数
个因子
(
包括
1

n
本身
)
。< br>

【性质
15
】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数 个
的自然数是完全平方数。


【性质
16
】若质数
p
整除完全平方数
a
,则
p^2|a


【性质
17
】任何四个连续整数的乘积加
1
,必定是一个平方数。


二、重要结论(不是完全平方数的特点)


1.
个位数是
2,3,7,8
的整数一定不是完全平方数;


2.
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;


3.
个位数是
6
,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;


4.
形如
3n+2
型的整数一定不是完全平方数;


5.
形如
4n+2

4n+3
型的整数一定不是 完全平方数;


6.
形如
5n±
2
型的整数一定不是完全平方数;


7.
形如
8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7
型的整数一定不是完全平方数;


8.
数字和是
2,3,5,6,8
的整数一定不是完全平方数



三、个位数与正整数幂


正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。


【性质
1
】和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字
.

【性质
2
】积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字
.


四、例题剖析


【例
1
】有一个
10 00
位的数
,
它由
888

1

112< br>个
0
组成
,
这个数是
否可能是一个平方数
?

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