完全平方数的性质
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2021年01月23日 15:10
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完全平方数及其性质
能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121, 144,169,196,225,256,289,
324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字
和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：
【性质
1
】完 全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9
。
【性质
2
】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性 质
3
】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定
是
6
；反之，如果完全平方数的个位数字是
6
，则它的十位数字一定
是奇数。
推论
1
：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是
6
，那么这
个数一定不是完全平方数。
推论
2
：如果一 个完全平方数的个位数字不是
6
，则它的十位数字是
偶数。
【性质
4
】（
1
）凡个位数字是
5
，但末两位数字不是
25
的自然数不
是完全平方数；
（
2
）
末尾只有奇数个
“0”
的自然数
（不包括
0
本身）
不是完全平方数；
100
，
10000
，
1000000
是完全平方数，
10
，
1000
，
100000
等则不是完全平 方数。
（
3
）个位数字为
1
，
4，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方
数。
需要说明的是：个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的 自然数一定
不是完全平方数，如：
11
，
31
，
51
，
74
，
99
，
211
，
454
，879
等一定
不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位 数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为偶数的自然数不都是完全平 方数。
如：
21
，
44
，
89
不是完全平方数，但
49
，
64
，
81
是完全平方数。
< br>【性质
5
】偶数的平方是
4
的倍数；奇数的平方是
4
的倍数加
1
。
这是因为
(2k+1)^2=4k(k+1)+1
(2k)^2=4k^2
【性质
6
】奇数 的平方是
8n+1
型；偶数的平方为
8n
或
8n+4
型。< br>
【性质
7
】平方数的形式一定是下列两种之一：
3k,3 k+1
。
【注意：具
备以上条件的不一定是完全平方数（如
13
，< br>21
，
24
，
28
等）】
【性 质
8
】不能被
5
整除的数的平方为
5k±
1
型，能 被
5
整除的数的
平方为
5k
型。
【性 质
9
】平方数的形式具有下列形式之一：
16m,16m+1,16m+4,16m+ 9
。
除了上面关于个位数，
十位数和余数的性质之外，
还可研究完全平方
数各位数字之和。
例如，
256
它的 各位数字相加为
2+5+6=13
，
13
叫做
256
的各位 数字
和。如果再把
13
的各位数字相加：
1+3=4
，
4< br>也可以叫做
256
的各位
数字的和。
下面我们提 到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，
如
果得到的数字之和不是一位数，
就把所得的数字再相加，
直到成为一
位数为止。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
【性质
10
】 完全平方数的各位数字之和只能是
0,1,4,7,9
。
证明
因为一个整数被
9
除只能是
9k,9k±
1, 9k±
2, 9k±
3, 9k±
4
这几种形式，而
(9k)^2=9(9k^2)+0
(9k±
1)^2=9(9k^2±
2k)+1 (9k±
2)^2=9(9k^2±
4k)+4
(9k±
3)^2=9(9k^2±
6k)+9 (9k±
4)^2=9(9k^2±
8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
【性质
11
】
a^2b
为完全平方数的充要条件是
b
为完全平方数。
【性质
12
】如果质数
p
能整除
a
，但
p^2
不能整除
a
，则
a
不是完全
平方数。
证明
由题设可知，
a
有质因子
p
，
但无因子
p^2
，
可知
a
分解成标准
式时，
p
的次方为
1
，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次
方均为偶数，可见
a
不是完全平方数。
【性质
13< br>】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全
平方数，即
【性质< br>14
】一个正整数
n
是完全平方数的充分必要条件是
n
有奇数
个因子
(
包括
1
和
n
本身
)
。< br>
【性质
15
】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数 个
的自然数是完全平方数。
【性质
16
】若质数
p
整除完全平方数
a
，则
p^2|a
。
【性质
17
】任何四个连续整数的乘积加
1
，必定是一个平方数。
二、重要结论（不是完全平方数的特点）
1.
个位数是
2,3,7,8
的整数一定不是完全平方数；
2.
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.
个位数是
6
，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.
形如
3n+2
型的整数一定不是完全平方数；
5.
形如
4n+2
和
4n+3
型的整数一定不是 完全平方数；
6.
形如
5n±
2
型的整数一定不是完全平方数；
7.
形如
8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7
型的整数一定不是完全平方数；
8.
数字和是
2,3,5,6,8
的整数一定不是完全平方数
三、个位数与正整数幂
正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。
【性质
1
】和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字
.
【性质
2
】积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字
.
四、例题剖析
【例
1
】有一个
10 00
位的数
,
它由
888
个
1
和
112< br>个
0
组成
,
这个数是
否可能是一个平方数
?