平方差公式
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2021年01月23日 15:12
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-关于生活的作文
平
方
差
公
式
教材分析
《平方差公式》是义务教育课程标准实验 教科书《数学》
（北师大版）七年
级下册的教学内容。教材在上册中安排了《有理数及运算》< br>、
《字母表示数》等内
容。
在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，< br>使学生经历过实际问题
“符
号化”的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式”奠 定了基础。
学生分析
学生在前面的学习中，
已经学习了整式的有 关内容，
并经历了用字母表示数
量关系的过程，
有了一定的符号感。
经过一个 学期的培养，
学生已经具备了小组
合作、
交流的能力。
本节课的教学能培养学 生的推理能力，
使学生通过大胆而又
合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。
教学目标
1
、
经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
2
、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3
、认识平方差公式及其几何背景。
4
、在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。
教学重点：体会公式的发现的推导过程，
理解公式的本质，
并会运用公式进
行简单的计算。< br>
教学难点：
从广泛意义上理解公式中的字母含义。
课前准备
1
、为每位学生准备一张正方形纸片
(
边长为< br>15cm)
。
2
、教师准备两张正方形
(
一大一小
)
纸板和三块矩形纸板。
3
、多媒体课件。
教学流程
一、
创设问题情境，引导学生观察、设想。
教师发给每个学生一张正方形纸片
(
边长
15cm)
并用多媒体课件
(
或用正方形
纸板
)
显示正方形。
师：在一块< br>45
的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为
15
的正方形
(
如图
)
，请问剩下红色部分的面积有多少平方厘米？
45
30
15
(
刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。
)
小组讨论：
1
．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。
2
．可以把剩下红色部分切割成几个矩形来计算。
师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？
或许有学生能迅速列出算式，得出答案是
1800
平方厘米。
师： 为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落
(
如图
)
。
(
同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，
可规定连
长为
3cm
。
)
45
30
15
师：
刚才我们说过计算 面积的方法不止一种，
我们现在试着用分割的方法来
计算面积。
请参照老师的做法，< br>先在你们的纸上画一条虚线，
然后把刚才画的小
正方形剪下来
(
或撕去
)
，就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长方形剪下来，
并把小长方形拼到大长方形 的一边，刚好又变成一个新的长方形
(
如图
)
。
45
45
30
30
15
15
45
15
30
师：
若按照我们 刚开始的题目要求，
现在新的大长方形的长、
宽各是多少？
它的面积又是多少呢？
(
可让学生讨论后回答。
)
生：大长方形的长是
(45+1 5)
，宽是
(45-15)
。
长方形的面积
=60
×
30=1800(
平方厘米
)
。
师：还记得两种方法的列式吗？
生：第一种方法的式子是
45
2
-15
2
，
第二种方法的式子是
(45+15)
×
(45-15)
师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？
生：相等。
(
电脑课件演示
)45
2
-15
2
=(45+15)
×
(45-15)
二、
交流对话，探求新知。
看谁算得快：
(1) (x+2)(x-2)
(2) (1+3a)(1-3a)
(3) (x+5y)(x-5y)
(4) (-m+n)(-m-n)
师：你们能发现什么规律？
(
学生议论、讨论，各抒己见。
) < br>师：再想想看，如果今天的题目换成：
“在一块边长为厘米的正方形纸板上，
因为工作的 需要，
中间挖去为
b
厘米的小正方形，
请问剩下的面积有多少？”
我
们该怎样列代数式来表示？
生：我们可以用
a
2
-b
2
来表示剩下的面积。
师：还有没有别的方法？
生：也可以用
(a+b)(a-b)
来表示剩下的面积。
师：今天 我们除了找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从
图形中了解到
(a+b)(a -b)=a
2
-b
2
这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，
你能利用计算多项式乘法的方法，把
(a+b)(a-b)
的答案计算出来吗？
(
找学生在黑板上把过程写出来。
)
师：为了节省计算时间，我们把
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
作为公式来运用，把这个公
式 称为“平方差公式”
。
（电脑演示）平方差公式：
(a+b)(a-b)= a
2
-b
2
师：哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式？
生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
三、
运用新知，体验成功。
1
、例题。
利用平方差公式计算：
(1)
(5+6x)(5-6x)
(2)
(3m-2n)(3m+2n)
(3)
(-4x+1)(-4x-1)
(4)
(- 1/4 x - y)( - 1/4 x + y)
(5)
(ab+8)(ab-8)
(6)
(m+n)(m-n)+3n
2
解：
(1)
原式＝
5
2
-(6x)
2
= 25-36x
2
(2)
原式＝
(3m)
2
-( 2n)
2
=9m
2
-4n
2
(3)
原 式＝
(-4x)
2
-1
2
=16x
2
-1
(4)
原式＝
(
- 1/4 x
)
2
-y
2
=1/16 x
2
-y
2
(5)
原式＝
(ab)
2
-8
2
=a
2
b
2
-64
(6) 原式＝
m
2
-n
2
+3n
2
=m
2< br>+2n
2
2
、巩固深化，拓展思维。
利用平方差公式计算：
(1)
(a+2)(a-2)
(2)
(3a+2b)( 3a-2b)
(3)
(-x+1)( -x-1)
(4)
(-4k+3)( -4k-3)
(5)
(a+b+c)(a+b-c)