公因数和公倍数知识点
萌到你眼炸
544次浏览
2021年01月23日 20:22
最佳经验
本文由作者推荐
-幽默三国
页眉内容
公因数和公倍数
【知识点回顾】
1
、公因数
（
1
）互素数：公因数只有
1
的两个自然数叫做互素数。
（
2
）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（
3
）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2
、公倍数
求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3
、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有
3
种基本情况，区别如下：
两个数的关系
最大公因素
最小公倍数
特
互素（
7
和
8
）
1
两个数的积（
7
×
8=56
）
殊
较大数是较小数的倍数
较小数（
12
）
较大数（
48
）
关
（
12
和
48
）
系
一般关系（
12
和
18
）
用短除法
将除数连乘
（
2
×
3=6
）
将除数和商连乘
（
2
×
3
×
2
×
3=36
）
4
、求最大公因数和最小公倍数的方法：
一、特殊情况：
（
1
）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数 ，最小公倍数是较大的数。
（如；
6
和
12
的最大公因数是
6
，最小公倍数是
12
。
）
（
2
）互质 关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，
5
和
7< br>的
最大公因数时
1
，最小公倍数是
5
×
7=35）
二、一般情况：
（
1
）求最大公因数：
列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求
18
和
27
的最大公因数
先找出两个数的所有因数
18
的因数有：
1
、2
、
3
、
6
、
9
、
18
27
的因数有：
1
、
3
、
9
、
27
再找出两个数的公因数：
18
的因数有：
1
、2
、
3
、
6
、
9
、
18
27
的因数有：
1
、
3
、
9
、
27
1
、
3
、
9
最后找出最大公因数：
9
②单列举法：如，求
18
和
27
的最大公因数
先找出其中一个数的因数：
18
的因数有：
1
、
2
、3
、
6
、
9
、
18
再找这些因数中那些又是 另一个数的因数：
1
、
3
、
9
又是
27
的 因数
最后找出最大公因数：
9
③短除法：
3 18 27
3 6 9
2 3
页眉内容
除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘
3
×
3=9
④除法算式法：
用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18
1
÷
3
9
就是
18
和
27
的最大公因数
27
9
（
2
）求最小公倍数：
列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求
18
和
12
的最小公倍数
先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数：
18
的倍数：
18
、
36
、
54
、
72
12
的倍数：
12
、
24
、
36
、
48
再找出两个数的最小公倍数：
18
的倍数：
18
、
36
、
54
、
72
12
的倍数：
12
、
24
、
36
、
48
②单列举法：如，求
18
和
12
的最小公倍数
先找出一个数的倍数：
18
的倍数有：
18
、
36
、
54
、
72
再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：
36
③大数翻倍法：如，求
18
和
12
的最小公倍数
把较大的数翻倍
（
2
倍开始）
，
每次翻倍后看结果是不是另一个数的 倍数，
直到找到最小
公倍数为止。
如，求
18
和
12
的最小公倍数。可以把
18
翻倍：
18
×
2=36，
36
又是
12
的倍数，所以
36
是
18和
12
的最小公倍数。
④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）
如，求
18
和
12
的最小公倍数，先用
18
和
12
同时除以质数
2
，再同时除以质数
3
，除
到两个商是互质数（公因数只有
1）为止。
2 18 12
除到商是互质数为止，最后把所有的
除数和商
相乘
3
9 6
18
和
1 2
的最小公倍数是：
2
×
3
×
3
×
2=3 6
3 2
除数
商
页眉内容
【例题精讲】
问题
1
、
（< br>1
）既是
30
的因数，又是
45
的因数的数共有几个？其中最 大的数是多少？
（
2
）既是
30
的倍数，又是
45
的倍数的数，最小是多少？
想：
（
1
）既是
30
的因数，又是
45
的因数的数，就是
30
和
45
的公因数，其中最大的就
是
30
和
45
的最大公因数；
（
2
）既是
30
的倍数，又是
45
的倍数的数就是
30
和
45
的公倍数，其中最小的数就是
30
和
45
的最小公倍数。
解：
（
1
）
30
和
45
的公因 数有：
1
，
3
，
5
，
15
共四个，其中最 大的是
15
；
（
2
）
30
和
4 5
的公倍数有：
90
，
180
，
270
等等，其中 最小是
90
。
随堂练习
1
、
既是
30
的倍数，又是
45
的倍数，还是
75
的倍数的数 ，最小是多少？
问题
2
、
三个连续自然数的最小公倍数是
168
，那这三个连续自然数的和是多少？
解析：
要求三个连续自然数的和 ，
就要把这三个自然数求出来，
而这三个连续自然数的最
小公倍数是
168< br>，可先把
168
分解质因数
168
＝
2
×
2
×
2
×
3
×
7
，根据
168
的质 因数的情况
可以肯定其中一个是
7
，
（为什么不可能是
14
）
因此这三个连续自然数只有
6
、
7
、
8
和
7
、
8
、
9
两种可能，而
7
、
8
、
9
这三个数任两个数公因数都是
1
，故这三个连续自然数只能是
6
、
7
和
8
。
（经检验正确）它们的和是
6
＋
7
＋
8
＝
21
。
答 ：
这三个连续自然数是
6
、
7
、
8
。它们的和是< br>21
。
随堂练习
1
、三个连续自然数的最小公倍 数是
660
，那么这三个连续自然数各是几？
问题
3
、有 一种长
60
厘米，宽
45
厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多 少块
这样的砖，才能铺成一块正方形？
想：
用长
60
厘米 ，宽
45
厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是
60
的倍数，也是
45
的倍数，也就是
60
和
45
的公倍数，因此正 方形的边长是
180
厘米，由此容易求得
一共用的地砖块数。
解：
[60
、
45]
＝
180
（180
÷
60
）×（
180
÷
45
）＝
12
（块）
答：
至少要用
12
块这样的砖，才能铺成一块正方形。
随堂练习
1
、
一种长
45
厘米，宽< br>30
厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多
少块？
< br>问题
4
、某班学生排队做操，如果每排
3
人，少了
1
人；如果每排
5
人，就多出
2
人；如果
每排
6
人， 就多出
2
人。这个班至少有多少人？
想：
如 果把每排
3
人，就少了
1
人，转化成每排
3
人，也就是多了
2
人，这样就把这个班
分别排成每排
3
人、
5
人、
6
人都统一成多出了
2
人。如果把这个班的人数减去
2
人， 那么
这个班的学生人数正好是
3
、
5
和
6
的倍数， 也就是
3
、
5
和
6
的最小公倍数，
然后加上多出< br>的
2
人就是这个班的学生人数。
解：
[3
、
5
、
6]
＝
30
，
30
＋
2
＝
32
（人）
答：
这个班至少有
32
人。
随堂练习
1
、
有一个自然数，除以
10
余
7
，除 以
6
余
3
，除以
4
余
1
。这个自然数最小 是多少
?
问题
5
、五（
2
）班同学共
38
人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后
按
1
，
2
，
3
，
4
……
36
，
37
，
38
报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：
（
1
）先让报数
是3
的倍数的同学向后转；
（
2
）再让报数是
5
的倍数的 同学向后转。
经过这两步操作后，
还
有多少名同学仍面向老师？
解析：
报数是
3
的倍数的同学有：
38
÷
3
≈
12
（人）
，报数是
5
的倍数的同学有：
3 8
÷
5
页眉内容
≈
7
（人）
，但要注意 的是，报数是
3
和
5
的公倍数的同学有
38
÷（
3
×
5
）≈
2
（人）
，而这
2
人转了
2
次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有
12
＋
7
－
2
×
2
＝
15
（人）
，这时仍有
38
－
15
＝
23
（名）同学面对老师。
答：
经过这两步操作后，还有
23
名同学仍面向老师。
随堂练习
1
、
五（
1
）班同学有47
人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按
1
、
2、
3
、
4
……
46
、
47
报数，老师 要求学生按如下的步骤操作：
（
1
）先让报数是
3
的倍数的同学向后转；
（
2
）再让报数是
5
的倍数的同学向后转。经过这两步 操作后，还有多少名同学
面向老师？
页眉内容
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总
一、解题技巧：
最大公因数解题技巧：
通常从问题入手，
所求的数量处于
小数（即处于除数、
商、
因数）
的地位时，
因为小数（即处于除数、商、因数 ）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因
数，此时，所求的数量就处于
因数的地位
。如果出现相同的（公有的）
/
最长的
所求数量，即求他们的公因数
/
最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：
通常从问题入手，所求的 数量处于
大数
（即处于被除数、被除数、积）的地
位时，因为大数（即处于被除数、被 除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）
的倍数，此时，所求的数量应处于
倍数的地位。如果出现相同的（公有的）
/
最
小的
所求数量，即求他们的公倍数/
最小公倍数的应用题。
补充部分公式
小长方形个数
=
（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
小正方形个 数
=
（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
小长方体个数
=
（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方 体边长÷小
长方体高）
小正方体个数
=
（大长方体边长÷小正方体 边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷
小正方体边长）
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）
=
最小公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）
=
最小公倍数－缺数
植树问题公式
不封闭型：
2
、只有一端都栽
1
、两端都栽
间隔个数
=
株数
间隔个数
=
株数－
1
株数
=
间隔个数＋
1
株数
=
间隔个数
距离
=
一个间隔的长度×间隔个数
距离
=
一个间隔的长度×间隔个数
3
、两端都不栽
间隔个数
=
株数＋
1
株数
=
间隔个数－
1
距离
=
一个间隔的长度×间隔个数
封闭型：
间隔个数
=
株数
株数
=
间隔个数
距离
=
一个间隔的长度×间隔个数
封闭型再正方形边上栽，并且
4
个顶点都栽：
株数
=
（每边株数－
1
）×
4
备注：
上 下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，
这
类题通常先求 一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可
二、经典题目
1
、一 个大长方形长
24
厘米，宽
18
厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余， 如小正方
形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？
2
、一个长方形的长
6
厘米，宽
4
厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成 一个大的正
页眉内容
方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？
3
、
一个大长方体长
24
厘米，
宽
18
厘米，< br>高
12
厘米，
把它裁成若干个小正方体而没有剩余，
如小正方体的边长 最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？
4
、一个长方体的长
6
厘米，宽
4
厘米，高
2
厘米。至少要多少个这样的小长方 体才能拼成
一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？
5
、一 路车
5
分钟发一次车，二路车
6
分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多 少时间
再次同时发车？
6
、崔青青
5
天去一次图书馆，李 幻霞
3
天去一次图书馆，修畅
6
天去一次图书馆，她们今
天同时在图 书馆，至少要多少天她们
3
人再次相遇？
7
、五（
3）班做早操，每
6
人一排或每
7
人一排，都能排成整排而没有剩余，五（
3
）班至
少有多少人？
8
、
五
（
3
）
班做早操，
每
6
人一排或每
7
人一排，都都剩余
3
人，
五
（
3
）
班至少有多少人？< br>（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）
9
、
五
（3
）
班做早操，
每
6
人一排少
3
人，
每
7
人一排剩余
4
人，
五
（
3
）
班至少有多少人？
（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）
10
、五（
3
）班分水果，桃子
84
个，苹果
42
个，平均分给每个同 学正好分完而没有剩余。
五（
3
）班最多有多少人？
11
、两根铁丝分别长
72
米、
48
米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没 有剩余，每段
最长是多少米？
12
、有一段路每
8
米栽一 棵树，头尾都栽共栽了
51
棵。如果改成
5
米一棵，至少几米有一
棵 不动？共有多少棵不动？（备注：最小公倍数与植树问题综合出题）
附加：
1
、起步价问题
某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表：
月用水量（立方米
/
户）
10
以下（包括
10
）部分
11
至
20
（包括
20
）部分
20
以上部分
收费标准（元
/
立方米）
1.80
2.60
3.40
（
1
）小明家五月份用水
9
立方米，应付水费多少元？
< br>（
2
）小明家六月份付水费
31.20
元，算一算，他家六月份用了多 少立方米水？
（
3
）抄表员七月一日到小明家抄水表时，水表上显示
1363
立方米，八月一日再次抄表时，
水表上显示
1384
立方米。小明 家七月份需要付水费多少元？
2
、最佳问题也叫最经济问题
五（
3
）班
4
位老师带领
38
名学生去逛动物园，门票写着大人 每张票价
20
元，儿童每张票
价
10
元；如果购买团体票每
10
人为一张团体票，一张团体票
80
元。请你帮办主任算算怎
样买票最合算 ，最合算多少元？
五（
3
）班和五（
4
）班
76
位学生去划船，船上的标价是租一条大船
30
元，租一条小船
20
元 ，请问怎样租船最合算，最合算多少元？（大船一条坐
15
人，小船一条坐
8
人）
一架天枰，只有
5
克和
30
克两个砝码，要把
300
克的盐平均分成三份，最少称几次？写出
称法。
14
个大 小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格
的产品？
< br>妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需
2
分钟，每面各
1
分钟。问妈妈在厨
房烙
3
张饼至少需要几分钟？
页眉内容
一把钥匙开一把锁，
现有
6
把钥匙
6< br>把锁，
但不知怎么相配。
那么最多要试几次确保配对全
部的钥匙和锁？
有甲乙丙丁四袋奶粉，
甲袋最轻，
丙袋最重，
乙袋在甲丙两者之间。
试用无砝码天枰称一次，
确定出丁排在第几位，应该怎样称量？
3
、容斥问题
注意去掉重复的计数
（重复的 计数通常指的是既参加这项，
又参加另一项，
因此在计数
时，此数重复数了一次）
五（
3
）班有
36
人，语文优秀的人数有
26
人，数学优秀的人数有
30
人，请问语数都优秀的
有多少人﹖（求重复计数部分的代 表题）
五（
3
）班有
36
人，语文优秀的人数有
25
人，数学优秀的人数有
30
人，有
25
人语数都是
优秀 ，请问语数都达不优秀的有多少人﹖（求综合性的代表题）
五（
3
）班语文 优秀的人数有
25
人，数学优秀的人数有
30
人，语数都优秀的有
2 0
人，请问
五（
3
）班达到优秀的学生有多少人﹖（求实际数量的代表题）< br>
五（
3
）班语文优秀的人数有
25
人，数学优秀的人数有< br>30
人，语数都优秀的有
20
人，还有
5
人达不到优秀，请问 五（
3
）班有多少人﹖