(完整版)小学奥数-质数与合数
余年寄山水
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2021年01月23日 21:13
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质数与合数
例
1
：
判断
269
，
437
两个数是合数还是质数。
分析与解
：对于一个不太大的数
N
，要判断 它是质数还是合
数，可以先找出一个大于
N
且最接近
N
的平方数K
2
，再写出
K
以内
的所有质数。如果这些质数都不能整除N
，那么
N
是质数；如果这些
质数中有一个能整除
N
， 那么
N
是合数。
因为
269
＜17
2
=289
。
17
以内质数有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
。根
据能被某些数整除的数的特征，个位数是
9
，所以
269
不能被2
，
5
整除；
2+6+9=17
，所以
269
不能被
3
整除。经逐一判断或试除知，
这
6
个质数都不能整除
269
，所以
269
是质数。
因为
437
＜
21
2
=441
。
21
以内的质数有< br>2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
。容易判断
437
不能 被
2
，
3
，
5
，
7
，
11
整除，用
13
，
17
，
19
试除
437
，得到
437÷
19=23
，所以
437
是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例
2
的方法的优
越性。判别
269
，
用
2
～
268
中所有 的数试除，
要除
267
个数；
用
2
～
268
中的质数试除，要除
41
个数；而用例
2
的方法，只要除
6
个数。
527 275 373 393 573 537
例
2
判断数
11
是质数还是合数？
分析与解
：
按照例
2
的 方法判别这个
13
位数是质数还是合数，
当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？ 根据合数的意义，如果
一个数能够写成两个大于
1
的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个
13
位数可以写成：
11
=00+1111111
=1111111×（
1000000+1
）
=1111111×1000001。
由上式知，
111111
和
1000001
都能整除
11
，所以
11
是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例3
判定
2
+1
和
2
+3
是质数还是合数？
分析与解
：这道题要判别的数很大，不能直 接用例
1
、例
2
n
n
的方法。我们在四年级学过
a
的个位数的变化规律，以及
a
除以某自
n
然数的余数的变化规律。< br>2
的个位数随着
n
的从小到大，按照
2
，
4
，
98
8
，
6
每
4
个一组循环出现，98÷4=2 4……2，所以
2
的个位数是
4
，
98
98
（2
+1
）的个位数是
5
，能被
5
整除，说明（
2
+1
）是合数
（
2
+3
）是奇数，不能被
2
整除；
2
不能被
3
整除，所以（
2
+3
）
98
98
98
也不能被
3
整除；（
2
+1
）能被
5
整除，（
2
+3
）比（
2
+1
）大
2
，< br>98
98
所以（
2
+3
）不能被
5
整除。再 判断（
2
+3
）能否被
7
整除。首先看
n
看
2
÷7
的余数的变化规律：
98
98
98
98
98
因 为
98÷3
的余数是
2
，
从上表可知
2
除以
7
的余数是
4
，
（
2
+3
）
98
除以
7
的余数是
4+3=7
，
7
能被
7
整除，即（
2
+3
）能被
7
整除，所以
98
（2
+3
）是合数。
例
4
已知
A
是 质数，（
A+10
）和（
A+14
）也是质数，求质数
A
。
分析与解
：从最小的质数开始试算。
A=2
时，
A+10=12
，
12
是合数不是质数，所以
A≠2。
A=3
时，
A+10=13
，是质数；
A+1 4=17
也是质数，所以
A
等于
3
是
所求的质数。
A
除了等于
3
外，还可以是别的质数吗？因为质数有无 穷多个，
所以不可能一一去试，必须采用其它方法。
A
，
（
A+1
）
，
（
A+2
）
除以
3
的余数各不相同，
而
（
A+1
）
与
（
A+10
）
除以
3
的余数相同，（
A+2
）与（
A +14
）除以
3
的余数相同，
所以
A
，
（
A+10
），（
A+14
）除以
3
的余数各不相同。因为 任何自然数除以
3
只有整除、余
1
、余
2
三种情况，所以在
A
，
（
A+10
），
（
A+14
）中
必
有一个能被
3
整除。
能被
3
整除的质数只 有
3
，
因为
（
A+10
）
，
（
A +14
）
都大于
3
，所以
A=3
。也就是说，本题唯一的解 是
A=3
。
98
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