五年级奥数竞赛试题-质数、合数和分解质因数
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2021年01月23日 21:26
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五年级奥数竞赛试题
第二讲
质数、合数和分解质因数
一、基本概念和知识
1.
质数与合数
一个数除了
1
和它本身，
不再有别的约数，
这 个数叫做质数
（也叫做
素数）。
一个数除了
1
和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：
1
不是质数，也不是合数。
2.
质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，
那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把
30
分解质因数。
解：
30
＝
2
×
3
×
5
。
其中
2
、
3
、
5
叫做
30
的质因 数。
又如
12
＝
2
×
2< br>×
3
＝
2
2
×
3
，
2
、< br>3
都叫做
12
的质因数。
二、例题
例
1
三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数
.
解：∵
210=2
×
3
×
5
×
7
∴可知这三个数是
5
、
6
和
7
。
例
2
两个质数的和是
40
，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把
40
表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17+23=11
＋
29=3+37
。
∵
17
×
23
＝
391
＞
11
×
29
＝
319
＞
3
×
37
＝< br>111
。
∴所求的最大值是
391
。
答：这两个质数的最大乘积是
391
。
例
3
自然数
123456789
是质数，还是合数？为什么？
解：
123456789
是合数。
因为它除了有约数
1
和它本身外，至少还有约数
3
，所以它是一个合
数。
例
4
连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续的九个自然数在
1
与
20
之间 ，那么显然其中最多有
4
个质数（如：
1
～
9
中有
4
个质数
2
、
3
、
5
、
7
）。< br>
如果这连续的九个自然中最小的不小于
3
，
那 么其中的偶数显然为合
数，
而其中奇数的个数最多有
5
个
.
这
5
个奇数中必只有一个个位数是
5
，
因而
5
是这 个奇数的一个因数，即这个奇数是合数
.
这样，至多另
4
个奇
数都是 质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有
4
个质数。
例
5 < br>把
5
、
6
、
7
、
14
、
1 5
这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵
5=5
，
7=7
，
6=2
×
3
，
14＝
2
×
7
，
15=3
×
5
，
这些数中质因数
2
、
3
、
5
、
7
各共有
2
个，所以如把
14
（
=2
×
7
）放在第一组，那么
7
和
6
（< br>=2
×
3
）只能放在第二组，继而
15
（＝
3
×
5
）只能放在第一组，则
5
必须放在第二组。
这样
14
×
15=210=5
×
6
×< br>7
。
这五个数可以分为
14
和
15
，
5
、
6
和
7
两组。
例
6
有三个自然数，
最大的比最小的大
6
，
另一 个是它们的平均数，
且三
数的乘积是
42560.
求这三个自然数。
分析
先大概估计一下，
30
×
30
×
3 0=27000
，远小于
42560.40
×
40
×
40< br>＝
64000
，远大于
42560.
因此，要求的三个自然数在
30
～
40
之间。
解：
42560=26
×
5
×
7
×
19
＝
25
×（
5
×
7
）×（< br>19
×
2
）
＝
32
×
35
×
38
（合题意）
要求的三个自然数分别是
32
、
35
和
38
。
例
7
有
3
个自然数
a
、
b
、
c.
已知
a
×
b=6
，
b
×
c=15
，
a
×
c< br>＝
10.
求
a
×
b
×
c
是多少？< br>
解：∵
6
＝
2
×
3
，
15=3
×
5
，
10
＝
2
×
5
。
（
a
×
b
）×（
b
×
c
）×（
a
×
c
）