质数与合数 竞赛培优
绝世美人儿
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2021年01月23日 21:36
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质数与合数
竞赛培优
与质数有关的构造问题,通过分解质因数求解的整数问题.
1
、有人说:“任何
7
个连续整数中一定有质数.”请你举一个例 子,说明这句
话是错的.
【分析与解】
例如连续的
7
个整数:
842
、
843
、
84 4
、
845
、
846
、
847
、
848< br>分别能被
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
整除,这些数它们都不是质数.
评注:有些同学可能会说这是怎么找出来的,翻质数表还是……,我们注意
到
(n+1 )!+2
,
(n+1)!+3
,
(n+1)!+4
,
…,< br>(n+1)!+(n+1)
这
n
个数分别能被
2
、
3
、
4
、…、
(n+1)
整除,它们是连续的
n
个合 数.
其中
n!
表示从
1
一直乘到
n< br>的积,即
1×2×3×…×n.
2
、从小到大 写出
5
个质数,使后面的数都比前面的数大
12
.
【分析与解】
我们知道
12
是
2
、
3
的倍数,如果开始的质数是
2
或
3
,那
么< br>后一个数
即
2
或
3
与
12
的和一定也是2
或
3
的倍数,
将是合数,
所以从
5
开始尝试.
有
是满足条件的
5
个质数.
3.
9
个连续的自然数,它们都大于
80
,那么其中质数最多有多少个?
【分析与解】
大于
80
的自然数中只要是偶数一定不是 质数,于是奇数越
多越好,
9
个连续的自然数中最多只有
5
个奇数,
它们的个位应该为
1
,
3
,
5
,
7
,
9
.但是大于
80
且个位为
5
的数一定不是质数,所以 最多只有
4
个数.
验证
这
9
个连续的自然数中
这
4
个数均是质数.
也就是大于
80
的
9
个连续自然数,其中质数最多能有
4
个.
4.
用
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
这
9
个数字组成质数,如果每个数字都要用
到并且只能用一次,那么这< br>9
个数字最多能组成多少个质数
?
【分析与解】< br>要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有
2
、
3
、
5
、
7
均为一位质数,这样还剩下
1
、
4
、
6
、
8
、
9
这
5
个不是质数的数字未用.
5
.
3
个质数的倒数之和是
1661
,则这
3
个质数之和为多少
?
1986
1
1
【分析与解】
设这
3
个质数从小到大为
a
、
b
、
c
,
它们的倒数分别 为
、
、
a
b
1
F
,
计算它们的和时需通分 ,
且通分后的分母为
a
×
b
×c,
求和得到的分数为
,
c
abc
如果这个分数能够约分,那么得到的分数的分母为
a
、
b
、
c
或它们之间的积.
6
.
已知一个两位数除
1477
, 余数是
49
.求满足这样条件的所有两位数.
【分析与解】
有
1477÷除数
=
商……49,
那么
1477-49
:
除数×商,
所以,
除数×商
=14 28=
2×2×3×7×17.
一般情况下有除数大 于余数.即除数大于
49
且整除
1428
,有
84
、
51
、
68
满足.
所以满足题意 的两位数有
51
、
68
、
84
.
7
.
有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是
140
.如果把所有这样的
分数从小到大排列,那么第三个分数是多少
?
【分析与解】
有
140=2×2×5×7,因 为这些分数的分子与分母的乘积均
为
140
,当分母越大时,分子越小,所以对应的分 数也越小.
有分母从大到小依次为:
对应分子从小到大依次为:
对应分数从小到大依次为而:
其中第三个最简真分数为:
8
.
某校师生为贫困地区捐款
1995
元.
这个学校共有
35
名教师,
14
个教学班.
各
班学生人数相同且多于
30
人不 超过
45
人.
如果平均每人捐款的钱数是整数,
那
么平均每人捐款多 少元
?
【
分
析
与
解
】
这
个
学
校
最
少
有
35+14× 30=455
名
师
生
,
最
多
有
35+14 ×45=665
名师生,并且师生总人数能整除
1995
.
9
.
在 做一道两位数乘以两位数的乘法题时,
小马虎把一乘数中的数字
5
看成
8,
由此得乘积为
1872
.那么原来的乘积是多少
?
【分析与解】
1872=2×2×2×2×3×3×13=口口× 口口,
其中某个口为
8
,
一一验证只有:1872=48×39,1872=78×24
满足.
1 0.
已知两个数的和被
5
除余
1
,它们的积是
2924,那么它们的差等于多少
?
【分析与解】
2924=2× 2×17×43=A×B,
且有
A+B
被
5
除余
l
,
则和的个位
为
1
或
6
.
11
.
在射箭运动中,每射一箭得到的环 数或者是“0”(脱靶
)
,或者是不超过
10
的自然数.
甲、
乙两名运动员各射了
5
箭,
每人
5
箭得到的环数的积都是
1764
,
但是甲的总环数比乙少
4
环.求甲、乙的总环数各是多少
?
【分析与解】
1764=2×2×3×3×7×7 ,
1764
对应为
5
个小于
10
的自然数
乘积.< br>
12.
在面前有一个长方体,
它的正面和上面的面积之和是
209
,
如果它的长、
宽、
高都是质数,那么这个长方体的体积是多少
?
【分析与解】
如下图,设长、宽、高依次为
a
、
b、
c
,有正面和上面的和
为
ac+ab=209
.