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2021年1月23日发(作者：开往春天的地铁)

质数与合数

竞赛培优




与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．





1
、有人说：“任何
7
个连续整数中一定有质数．”请你举一个例 子，说明这句
话是错的．



【分析与解】
例如连续的
7
个整数：
842
、
843
、
84 4
、
845
、
846
、
847
、
848< br>分别能被
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
整除，这些数它们都不是质数．


评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意
到
(n+1 )!+2
，
(n+1)!+3
，
(n+1)!+4
，
…，< br>(n+1)!+(n+1)
这
n
个数分别能被
2
、
3
、
4
、…、
(n+1)
整除，它们是连续的
n
个合 数．


其中
n!
表示从
1
一直乘到
n< br>的积，即
1×2×3×…×n．



2
、从小到大 写出
5
个质数，使后面的数都比前面的数大
12
．



【分析与解】

我们知道
12
是
2
、
3
的倍数，如果开始的质数是
2
或
3
，那
么< br>后一个数
即
2
或
3
与
12
的和一定也是2
或
3
的倍数，
将是合数，
所以从
5
开始尝试．


有

是满足条件的
5
个质数．




3．
9
个连续的自然数，它们都大于
80
，那么其中质数最多有多少个?
【分析与解】

大于
80
的自然数中只要是偶数一定不是 质数，于是奇数越
多越好，
9
个连续的自然数中最多只有
5
个奇数，
它们的个位应该为
1
，
3
，
5
，
7
，
9
．但是大于
80
且个位为
5
的数一定不是质数，所以 最多只有
4
个数．


验证

这
9
个连续的自然数中


这
4
个数均是质数．


也就是大于
80
的
9
个连续自然数，其中质数最多能有
4
个．




4.
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这
9
个数字组成质数，如果每个数字都要用
到并且只能用一次，那么这< br>9
个数字最多能组成多少个质数
?


【分析与解】< br>要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有
2
、
3
、
5
、
7
均为一位质数，这样还剩下
1
、
4
、
6
、
8
、
9
这
5
个不是质数的数字未用．








5
．
3
个质数的倒数之和是
1661
，则这
3
个质数之和为多少
?
1986
1
1

【分析与解】
设这
3
个质数从小到大为
a
、
b
、
c
，
它们的倒数分别 为
、
、
a
b
1
F
，
计算它们的和时需通分 ，
且通分后的分母为
a
×
b
×c，
求和得到的分数为
,
c
abc
如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为
a
、
b
、
c
或它们之间的积．







6
．
已知一个两位数除
1477
， 余数是
49
．求满足这样条件的所有两位数．


【分析与解】

有
1477÷除数
=
商……49，
那么
1477-49
：
除数×商，
所以，
除数×商
=14 28=
2×2×3×7×17．



一般情况下有除数大 于余数．即除数大于
49
且整除
1428
，有
84
、
51
、
68
满足．



所以满足题意 的两位数有
51
、
68
、
84
．




7
．
有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是
140
．如果把所有这样的
分数从小到大排列，那么第三个分数是多少
?


【分析与解】


有
140=2×2×5×7，因 为这些分数的分子与分母的乘积均
为
140
，当分母越大时，分子越小，所以对应的分 数也越小．


有分母从大到小依次为：


对应分子从小到大依次为：


对应分数从小到大依次为而：


其中第三个最简真分数为：



8
．
某校师生为贫困地区捐款
1995
元．
这个学校共有
35
名教师，
14
个教学班．
各
班学生人数相同且多于
30
人不 超过
45
人．
如果平均每人捐款的钱数是整数，
那
么平均每人捐款多 少元
?

【
分
析
与
解
】


这
个
学
校
最
少
有
35+14× 30=455
名
师
生
，
最
多
有
35+14 ×45=665
名师生，并且师生总人数能整除
1995
．









9
．
在 做一道两位数乘以两位数的乘法题时，
小马虎把一乘数中的数字
5
看成
8，
由此得乘积为
1872
．那么原来的乘积是多少
?


【分析与解】

1872=2×2×2×2×3×3×13=口口× 口口，
其中某个口为
8
，


一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24
满足．











1 0.
已知两个数的和被
5
除余
1
，它们的积是
2924，那么它们的差等于多少
?

【分析与解】

2924=2× 2×17×43=A×B，
且有
A+B
被
5
除余
l
，
则和的个位
为
1
或
6
．







11
．
在射箭运动中，每射一箭得到的环 数或者是“0”(脱靶
)
，或者是不超过
10
的自然数．
甲、
乙两名运动员各射了
5
箭，
每人
5
箭得到的环数的积都是
1764
，
但是甲的总环数比乙少
4
环．求甲、乙的总环数各是多少
?


【分析与解】

1764=2×2×3×3×7×7 ，
1764
对应为
5
个小于
10
的自然数
乘积．< br>






12．
在面前有一个长方体，
它的正面和上面的面积之和是
209
，
如果它的长、
宽、
高都是质数，那么这个长方体的体积是多少
?


【分析与解】

如下图，设长、宽、高依次为
a
、
b、
c
，有正面和上面的和
为
ac+ab=209
．

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