什么是质数,质数是什么意思
余年寄山水
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2021年01月23日 21:46
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马三立相声台词-爱国儿歌
质数的规律
什么是质数？就是在所有比
1
大的整数中， 除了
1
和它本身以外，不再有别的
约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规 只是文字上的解释而已。能
不能有一个代数式，
规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，< br>所代入的代数
式的值都是质数呢？
质数的分布是没有规律的，往往 让人莫明其妙。如：
101
、
401
、
601
、
7 01
都是
质数，但上下面的
301
和
901
却是合数。
有人做过这样的验算：
1^2+1+41=43,2^2+2+41=47, 3^2+3+41=53……
于是就可
以有这样一个公式：设一正数为
n
，则
n^2+n+41
的值一定是一个质数。这个式
子一直到
n=39
时 ，都是成立的。但
n=40
时，其式子就不成立了，因为
40^2+40+41=16 81=41*41
。
被称为
“17
世纪最伟大的法国数 学家
”
费尔马，
也研究过质数的性质。
他发现，
设
Fn=2 ^(2^n)
，则当
n
分别等于
0
、
1
、
2
、
3
、
4
时，
Fn
分别给出
3
、
5
、
17
、
257
、
65537
，都是 质数，由于
F5
太大（
F5=
），他没有再往下检测就
直接猜测：对 于一切自然数，
Fn
都是质数。但是，就是在
F5
上出了问题！费尔
马死后
67
年，
25
岁的瑞士数学家欧拉证明：
F5==641*6 700417
，
并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的< br>Fn
值，数学家再也没有找到哪个
Fn
值是质数，全部都
是合数。目前 由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得
Fn
的最大值为：
n= 1495
。这可是个超级天文数字，其位数多达
10^10584
位，
当然它 尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
17
世纪 还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：
2^p-1
代数式，当
p
是 质数时，
2^p-1
是质数。他验算出了：当
p=2
、
3
、
5
、
7
、
17
、
19
时，所得代
数式的值都是质数，后来，欧拉证明
p=31
时，
2^p-1
是质数。
还剩下
p=67
、
127
、
257
三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世
250
年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287
，是一个
合数。这是第九 个梅森数。
20
世纪，人们先后证明：第
10
个梅森数是质数，第
1 1
个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了
困难。
现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有
378632
位的数：
2^1257787-1
。数
学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
头五千万个质数
------------- -------------------------------------------------- -----------------
【摘要】不按牌理出牌
数学家也拿他没办法
质数怎样分布？古今中外，
不论 是专业的数学家或业余的嗜好者，
都曾被这问题
所深深吸引。
质数是个比
1
大的自然数，除了自身和
1
以外，没有其他自然数可以 除尽他。
质数的分布有两个互相矛盾的特点。
下面我会列举一些事实，
使你永远相信这 两
个特点。
第一点，
尽管质数的定义极为简单，
又是自 然数的建构砖石
（任何自然数都可表
为质因数的幂次的连乘积，
且表法唯一）
，
它却是数学家研究的对象中最不驯的
一种；质数在自然数中，像杂草似地乱长，似乎除了机会 律以外，不遵守其他的
规律，没人敢说下一个会从那里冒出来。
第二点更 令人惊讶，因
?T
篕
P
第一点相反，质数表现出惊人的规律性。也就是
说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律。
为了支持第一点，
我把
100
以下的质数和合数写出来
（除了
2以外，
不列偶数）
：
【浏览原件】
再把
1
千万加减一百以内的质数列出：在
9,999, 900
与
10,000,000
之间的质数
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在
10,000,000
与10,000,100
之间的质数
10,000,019
10,000,079
你看！
没有什麼 理由可以说这个数是质数，
那个数不是质数。
当你看到这些数字
时，
是否联想 到宇宙的奥秘，
像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家
都无法揭开此一奥秘，
如果他们能够，
他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的
质数是多少了。
（没有人会 想去找比前一个平方数更大的平方数，
或
2
的幂次数
——
通常一个好 学生只记到
210=1024
）。
1876
年，
Lucas
证明
2127-1
为质数，这纪录维持了
75
年。这也难怪，因为
2127-1
=87327
直到
1951
年，
电子计算机 的新纪元，
更大的质数陆续发现
（见下表历次记录）
。
目前的记录是
6002
位的
219937-1
，
不信的话，
你可以去查
G uiness
世界记录。
（编者注：根据合众国际社
1978
年
11
月
15
日报导，这记录已被两个
18
岁的
加州大学学生打破 。）
【浏览原件】
质数的规律
更有趣的，还是关於质数的规律。前面已提到过< br>100
以下的质数，现在用图表
示，其中
π(x)
表示所有不大於x
的质数的个数。
【浏览原件】
就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，
π(x)
大致上
增加得很有规律。
若把
x
值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显。见下图：
【浏览原件】
当某种规律自然出现时，
科 学家就得设法去解释它，
质数分布的规律性也不例外。
关於质数分布，我们不难找到一个良好的 经验规律。请看下表：
（这表看来平凡
无奇，却代表上千小时的艰苦计算。）
【浏览原件】
注意：
x
每增
10
倍，
x
与
π(x)
的比就增加约
2.3
。机警的数学家立刻联想到
10
取自然对数的近似值是
2.3
。所以
x/π(x)
～
logx
，亦即
π(x)
～
x/l ogx
（用
log x
表
示
x
的自然对数，～表示当
x
接近无穷大时，
π(x)
与
x/logx
的比趋近於
1
；如果
用
≈
，则表示接近的程度更好。）