数列中裂项求和测试题及答案
玛丽莲梦兔
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2021年01月24日 15:55
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数列中裂项求和测试题及答案
数列中裂项求和的几种常见模型
数 列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌
握，又注重数学思想与方法的运用。而 此类问题大多涉及数列求和，
所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、
拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等
等，而裂项相消法是其中较为基础 、较为灵活的一种，也是出现频率
最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供< br>参考。
模型一：数列是以
d
为公差的等差数列，且，则
< br>例
1
已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前
n
项< br>和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 ，是数列的前
n
项和，求使得对所有都成立的最小正整数
m
；
（2006
年湖北省数学高考理科试题）
解：
（Ⅰ）设这二次函数
f(x)
＝
ax2+bx(a≠0),
则
f`(x)=2ax+b,
由于
f`(x)=6x
－
2,
得
a=3,b=
－
2,
所以
f(x)
＝
3x2
－
2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝
3n2
－
2n.
当
n ≥2
时，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝（
3n2
－
2n
）－＝
6n
－
5.
当
n
＝
1
时，
a1
＝
S1
＝
3×1 2
－
2
＝
6×1
－
5
，所以，
an
＝
6n
－
5
（）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故
Tn
＝＝＝（
1
－）
.
因此，要使（
1
－）例
2
在
xoy
平面上有一系列点，
…
，，
…
，
（
n
∈
N*
）
，
点< br>Pn
在函数的图象上，
以点
Pn
为圆心的圆
Pn
与< br>x
轴都相切，
且圆
Pn
与圆
Pn+1
又彼此外切.
若
.
（
I
）求数列的通项公式；
（
II
）设圆
Pn
的面积为
解：
（I
）圆
Pn
与
Pn+1
彼此外切，令
rn
为圆
Pn
的半径，
两边平方并化简得
由题意得，圆
Pn
的半径
为首项，以
2
为公差的等差数列，
所以
（
II
）
，
所以，
模型二：分母有理化，如：
例
3
已知，的反函数为，点在曲线上，且
(I)
证明数列
{}
为等差数列；
(
Ⅱ
)
设
,
记，求
解
(I)< br>∵点
An()
在曲线
y=g(x)
上
(n
∈
N+)
，
∴点
()
在曲线
y=f(x)
上
(n
∈
N+),
并且
an>0
，
，∴数列
{}
为等差数列