《数学文化论文》
温柔似野鬼°
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2021年01月24日 16:20
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本科生《数学文化》选修课程论文
与中外数学文化的差异
数学文化的思考
学
院：
理学院
专
业：化学工程与工艺
姓
名：
Zen Ting
学
号：
联系电话：
电子邮箱：
dzd1005@
指导教师：
布
和
教师职称：
讲
师
论文完成日期：二零一二年十二月一日
摘
要
数学在人类发展史上有着举足轻重的作用，
扮演着重要的角色，
可以毫不夸
张的说 ，
没有数学这门科学，
人类的历史就无法展开，
它不仅在学术层面上重要，
更 是对我们绚丽多彩的文化起着重大的作用。
本文将回顾数学的发展史，
浅谈数
学对文化 的作用，以及中外数学文化的差异。
关
键
词
：
阿基里斯追龟论
飞箭静止论《算术》希腊数学文化
中国数学代表
1
引
言
数学文化哲学作为一门学科或一个研究方向
,
是将数学置于 人类文化大背景
下而对其进行哲学反思。
从数学哲学转向数学文化哲学是在数学文化背景下的必
然选择。数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识
,
而且
从一个更为广泛的角度指明了影响数学发展的各个因素
,
因此是对传统数学哲学
的深 化和拓展。
数学文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。
这
种转向有助 于使数学哲学走出现在的困境
,
更为重要的是
,
还将大大拓宽数学哲
学研究的视野
,
从而为数学哲学的发展开辟更为广阔的前景。
正
文
首先我们来回顾布和老师课上讲得第一个方面，即数学的发展。
古代数学最重要的两个分支就是古希腊和古代中国。
古希腊文明是人类古代
文明中的一个皇冠 ，
而数学则是这皇冠上最大的那一颗钻石，
向世人展示了希腊
人的精神——好奇多思，
渴求知识。
其哲学与数学的发展则达到了那一时期的顶
峰。
公元
48 0
年以后鸭店称为希腊的文化，
政治中心，
各种学术思想开始在雅典
争奇斗艳 ，
古希腊数学家更是层出不穷，
艾丽娅学派的芝若提出了四个著名的悖
论（二分说，追 龟说，飞箭静止说，运动场说）迫使哲学家和数学家开始思考极
限的问题。
我依稀记 得我接触最早的，也是使我对数学产生兴趣并选修这门课的原因，
就是因为追龟说——阿基里斯永远跑不 过乌龟，
和飞箭静止说。
下面我将详述这
两个事列，阐述数学问题中极限对人类文化精 神上带来的冲击与思考。
1.1
追龟说
阿基里斯是古希腊神话中 善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，
他速度为乌龟
十倍，
乌龟在前面
100
米跑，
他在后面追，
但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，
追 者首先必须到达被追者的出发点，
当阿基里斯追到
100
米时，
乌龟已经又向 前
爬了
10
米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这
10
米时，乌龟又已经向前爬了
1
米，阿基里斯只能再追向那个
1
米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，
不管这个距离有多小，
但只要乌龟不停地奋力向前爬，
阿基里斯就永远也追不上
乌龟，“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先
2
应该达到被追者出发之点，
此时被追者已经往前走了一段距离。
因此被追者总是
在追 赶者前面。
我们看看这个故事的历史背景。
当时柏拉图描述，
芝诺说这样的 悖论，
是兴
之所至的小玩笑。
首先，
巴门尼德编出这个悖论，
用来嘲 笑
数学派
所代表的毕
达哥拉斯的
思想。然后，他又 用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺
的
但
1-0.999...>0
思想 。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲
笑巴门尼德的
或
1-0.999...> 0
思想。有人解释道：若慢跑者
在快跑者前一段，
则快跑者永远赶不上慢跑者，
因为追赶者必须首先跑到被追者
的出发点，
而当他到达被追者的出发点，
慢跑者又向 前了一段，
又有新的出发点
在等着它，
有无限个这样的出发点。
芝诺当然知道 阿基里斯能够捉住海龟，
跑步
者肯定也能跑到终点。
类似阿基里斯追上海龟之类的追赶 问题，
我们可以用无穷
数列的求和，
或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间 ，
那么既然我们
都算出了追赶所花的时间，
我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上 乌龟呢？
然而问题出在这里：
我们在这里有一个假定，
那就是假定阿基里斯最终是追上 了
乌龟，
才求出的那个时间。
但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。< br>上面说到无穷个步骤是难以完成。
以上初等数学的解决办法，
是从结果推往过程
的。
悖论本身的逻辑并没有错，
它之所以与实际相差甚远，
在于这个芝诺与我们
采取了不同的时间系统。
人们习惯于将运动看做时间的连续函数，
而芝诺的解释
则采 取了离散的时间系统。
即无论将时间间隔取的再小，
整个时间轴仍是由有限
的时间点组 成的。
换句话说，
连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。
其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是
10m/s
，乌龟速度< br>是
1m/s,
乌龟在前面
100m
。
实际情况是阿基里斯必然 会在
100/9
秒之后追上乌龟。
按照悖论的逻辑，
这
100/9< br>秒可以无限细分，
给我们一种好像永远也过不完的印
象。但其实根本不是如此。这就类似 于有
1
秒时间，我们先要过一半即
1/2
秒，
再过一半即
1 /4
秒，
再过一半即
1/8
秒，
这样下去我们永远都过不完这
1
秒，
因
为无论时间再短也可无限细分。
但其实我们真的就永远也过不完这
1
秒了吗？显
然不是。尽管看上去我们要过
1/2
、
1/4
、
1/8
秒等等，好像永远无穷无尽。但其
实时间的流动是匀速的，
1/2
、
1/4
、
1/8
秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是
1
秒。
3
所 以说，
整个故事看起来就像一场数学教学中的失败。
也许在你的小学数学
学习中，你可 能对一些隐隐约约的数学问题产生疑问。这就好比我们会利用
3
无法被
10
整 除产生很多的悖论。然而，对于这个数学问题中的无限话题又对人
生有着思考。
我们都知道，< br>古希腊的数学与哲学是并行不悖的。
很多知名的学者
不仅是伟大的数学家，
更是 伟大的哲学家。
而飞箭静止说，
则更好的反应了哲学
的思考，就像我们本学期开始学习 的《马克思主义基本原理概论》，其中费尔巴
哈的形而上学，就提到过无限对人类思想的启迪意义。
1.2
飞箭静止说
我们可以很容易的拿初高中物理，
相对静 止与运动来辩驳这项悖论。
运动是
绝对的，
静止是相对的！
相对静止是运动的 特殊情况。
之所以是静止的是因为所
选的参照物的速度与研究对象的速度相同
（大小和 方向相同）
。
回想我们上学期
得
《高等数学》
，
什么是极限 ？极限的概念是什么？。
速度的定义是
v=lim
Δ
s/
Δ
t
（
Δ
t-
〉
0
）
可以这么理解
Δt
越接近
0
，
Δ
s
就越接近
0
。当
Δ
t
接近于
0
时
（永
远不等于
0< br>）
，
Δ
s/
Δ
t
就接近一个固定的值
（这个 值就是该时刻的瞬时速度
v
）
。
极限是一个过程，也就是一个变化的过程。而 不能简单地认为就是
Δ
t=0
。上述
错误就是简单的认为
Δ
t=0
。而另一方面，运动确实只是许多静止的总和，割裂
了时间与空间，
运动与静止 的联系。
只是片面地看到了其中一方面而忽略了另一
方面的存在。
根据机械运动理论的 观点，
要描述一个物体的运动。
首先是要建立
一个参照系，然后才能确定它的状态。如 果我们把自己（观察者）当作参考系。
这时认为飞箭是运动的。
而当认为飞箭静止时，
显然参考系选的是飞箭。
对于飞
箭运动状态的两个描述，都不是在同一个参考系下。再进行比较 已经毫无意义。
除非能确定这两个参考系的相对运动状态。
所以说，在现在，就我掌 握的大学本科未毕业加
12
年教育来看，我的认知
中，越发觉这简直，完全，已乎就是 一个彻头彻尾的悖论。用简单的相对运动，
运动，
参照系来认知，
芝若的飞箭静止论狭 义来看，
其实就是当时
“见少识不广”
人们对自然科学的朦胧思考。
不过说来 ，
也无不否认我的缺陷，
无法看清这个悖
论深层的意义。
为什么我 会谈到这两个悖论？因为他构成了我对数学文化最初的认知。
我们
继续回到上文提到古希腊数学 发展。
4
古希腊的地理范围，
除了现在的希腊半岛外，
还包括整个爱琴海区域和北面
的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前
5、
6
世纪，特别是希、
波战争以后，
雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，
生产力显著提
高，
在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，
对后世有深远的。
希腊数学的发
展历史可以分为三个时期。
第一期从伊奥尼亚 学派到柏拉图学派为止，
约为公元
前七世纪中叶到公元前三世纪；
第二期是亚历山大前 期，
从欧几里得起到公元前
146
年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是 罗马人统治下的时期，
结束于
641
年亚历山大被阿拉伯人占领。
从古代埃及、
巴比伦的衰亡，
到希腊文化的昌盛，
这过渡时期留下来的数学
史料很少。
不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化
有密切关系。< br>
伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，
它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、
埃及等< br>古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，
商人具有强烈的活 动性，
有利于思想自由而大胆地发展。
城邦内部的斗争，
帮助
摆脱传统信念在 希腊没有特殊的祭司阶层，
也没有必须遵守的教条，
因此有相当
程度的思想自由。这大 大有助于科学和哲学从宗教分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，
也是泰勒斯的 故乡，
泰勒斯是公认的希腊哲
学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会 古代流传下来
的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去
寻 找真理，以水为万物的根源。
当时天文、
数学和哲学是不可分的，
泰勒斯 同时也研究天文和数学。
他曾预
测一次日食，
促使米太
(
在今黑海、
里海之南
)
、
吕底亚
(
今土耳其西部
)
两 国停止
战争，多数学者认为该次日食发生在公元前
585
年
5
月28
日。他在埃及时曾利
用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，
它标志着人们对客观事物的
认识从感性 上升到理性，
这在数学史上是一个不寻常的飞跃。
伊奥尼亚学派的著
名学者还有阿纳克 西曼德和阿纳克西米尼等。
他们对后来的毕达哥拉斯有很大的
影响。
毕达哥 拉斯公元前
580
年左右生于萨摩斯，
为了摆脱暴政，
移居意大利半岛
5