微积分数学论文
巡山小妖精
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2021年01月24日 16:37
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论数学中微积分的发展史
538
李维春
1002507007
一、微积分的内容和概念
解析几何是代数与几何的产物，
它讲变量引进了数 学，
使运动与变化
的定量表述成
为可能，
从而为微积分搭建了舞台。
微积分是建立在实数、
函数和极限的基础上
的。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，
牛顿和莱布尼
茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，
分别独立地建立了微积分学。
他们建
立微积分的出发点是直观的无穷小量，
理论基础 是不牢固的。
直到十九世纪，
柯
西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，
康托尔等 建立了严格的实数理论，
这门学科
才得以严密化。
微积分是与实际应用联系 着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物
学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个 分支中，有越来越广泛
的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
微积分学是微分
学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动
和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，
就有可能把运动现象用数学来加
以描述 了。
由于函数概念的产生和运用的加深，
也由于科学技术发展的需要，
一
门新 的数学分支就继解析几何之后产生了，
这就是微积分学。
微积分学这门学科
在数学发展 中的地位是十分重要的，
可以说它是继欧氏几何后，
全部数学中的最
大的一个创造。< br>
微积分的基本内容研究函数，
从量的方面研究事物运动变化是微积分的基
本方 法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函
数论等许多 分支学科，
但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，
数
学分析成了微积分 的同义词，
一提数学分析就知道是指微积分。
微积分的基本概
念和内容包括微分学和积 分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分
等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等 。微积分是与应用联系着发展
起来的，
最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导 出了开普勒行
星运动三定律。
二、微积分的萌芽
< br>微积分的思想萌芽。可以追溯到古代。历来面积和体积都是自古以来数
学家感兴趣的课题。
在古代希腊、
中国和印度数学家们的著述中，
不乏用无限小
过程计算特殊形状的面积 、体积和曲线长的例子。
（
1
）中国数学家的极限，积分思想
< br>最早出现在公元前三百年左右，著名的我国古代哲学著作《庄子》一书的《天下
篇》里就记载着庄 子的朋友惠施的话
:“……
至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小
一。
< br>……
飞鸟之景，未尝动也．镞失之疾，而有不行不止之时。
”
把这段话翻译成现 代
语言，意思是说
: “
至大是没有边界的，这叫做无穷大；至小是没有内部的，这叫 做无穷
小。飞鸟在任何一个确定的时刻，只能占据空间的一个特定位置。因此，在这一瞬间它
就 静止在这个位置上，无所谓运动。如果箭在一瞬间占有两个不同的位置，这只箭一定
在运动着。如果在一 段时间内飞箭占有同一位置，这时既不能说它是静止的，又不能说
它在运动着。
”
由此 可见，立论者当时对
“
无穷
”
已有了一定程度的认识。惠施的另一段
话
: “
一尺之棰，日取其半，万世不竭
”
，更清楚地表现了我们祖先朴素的 极限思想。
到了魏晋时期，
我国数学家已经开始把极限概念用于近似计算。
刘徽在约公元
263
年为《九章算术》所作的注释中，提出了
“
割圆术
”
，用于计算圆周率π
。他从圆的
内接正六边形开始，每次把边数加倍，屡次应用勾股定理，求出正
1 2
边形、正
24
边
形，
……
的每边长．边数越多，多边形周长与圆周长越接近。刘徽指出
:
“割之弥细，
所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”
意思 是说：割得越细，
正多边形周长与圆周长之差也就越小，
最后与圆周重合，
便没有误差 了。
应当指出，
1700
多年前的刘徽不可能对极限概念有完整的认识。
他的 话前一半是对的，
后一半则不确切，
因为永远没有
“
不可割
”
的时候，也永远不会
“
与圆周合体而无所失
”
。尽管如此，
刘徽
的这一创见，仍是我国古代数学的伟大成就之一。
刘徽的割圆术，后来 又被南北朝时
期
著
名
天
文
学
与
数
学
家
祖
冲
之
(429
—
500)
所
发
展
。
祖
冲
之
应
用
割
圆
术
，
算
出
3.1415926<
π
<3.14 15927
，使圆周率
π
精确到小数点后第六位。
( 2 )
外国数学家的极限、积分思想
欧几里得（公元前
330
年
~
前
275
年）是古希腊数学家，以其所著名的
《几何原本》
闻名于 世，
其中对不可约量及面积与体积的研究，
包含穷即竭法的
萌芽。
公元前三世 纪，
古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、
球和球冠
面积、螺线下面积和旋转 双曲线的体积的问题中，就隐含了近代积分的思想。