数学文化结课论文
巡山小妖精
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2021年01月24日 16:52
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本科生《数学文化》选修课程论文
数学与科学
学
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专
业：
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学
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职
称：
论文完成日期：二〇一五年
11
月
29
日
摘要
一般人对数学的印象， 多半是理性的、精确的，
因此很少人会将它跟柔美浪漫和感性的音乐联想
在一起
.虽然音乐也有理性和精确的一面，但是在
过去，数学和音乐一向是壁垒分明的
.
数 学是研究
现实世界空间形式和数量关系的一门科学，
符号体
系的使用使数学具有高度的 抽象性
.
而音乐则是研
究现实世界音响形式及对其控制的艺术，
它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术
.
从表面
上看，音乐与数学是“绝缘”的 ，其实不然
.
关键词
起源
发展
美
目录
1.
数学与音乐皆为艺术
2.
音乐与数学结合的起源
3.
乐理中的数学规律
4.
乐曲结构与黄金分割
5.
和声的傅立叶分析
6.
乐器中的数学奥妙
7.
相关名言
8.
数学与音乐融合的必然性
引言
J
．
J
西尔威斯特曾经问道：
“难道不可以 把音乐描
述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”
这实际上是对音乐和数学联系的间接 描述
.
数学是
对事物在量上的抽象，而音乐是对自然音响的抽
< br>象，
我们所提到的两者的关联，
正是在抽象这一点
上将音乐与数学连结在一起< br>.
因此德国著名哲学
家、
数学家莱布尼茨说：
“音乐，
就它的 基础来说，
是数学的；就它的出现来说，是直觉的
.
”而爱因
斯坦说得更为风 趣：
“我们这个世界可以由音乐的
音符组成，也可以由数学公式组成
.
“两者 都有各
自的抽象符号，又为各自的规则支配
.
数学符号不
等于数学正如曲谱不 等于音乐
.
1.
数学与音乐皆为艺术
何谓数学？何谓音乐？各种解释与说法不一，
其
中有以下的看法：
(1)
数学源自于人们对自然界规则事物的观察，它
是一种研究自然规律的科学；
(2)
音乐是对于声音
中规则变化的认识，
而不规则的声音，
即属于噪音
(
黄嘉彦、张如梅，民
89).
由此可知，数学与音乐
都 同样是在对自然界的事物作描述或探求，
人们藉
由数学和音乐，
都可以了解到自然世界 部分的现象
数学和音乐位于人类精神的两个极端，
一个人全部
创造性的精神活动就在这 两个对立点的范围之内
展开，
而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一
切都分布在这 两者之间，
音乐和数学正是抽象王国
中盛开的瑰丽之花，
它们的美交相辉映。
音乐在演
奏中得到生命，数学符号在数学者心中呼吸
.
两者
在各自伯乐的眼中 都美的惊人
.
2.
音乐与数学结合的起源
2.1
早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理
论家，
都是被当做科学家来看待的。
早期的音乐大
概有两个大的分类，
as
theory
和
as
practice
“，前者从纯粹的 理论方面来研究音乐，
后者是从表演方法的角度来研究。
前者的研究，
很
多都 是和数学重合的
.
另外，
从很多音乐创作技法和观念上来说，
也是
和数学有紧密联系的
.
比如早期音乐中时值最开始
是以三等分来 划分，
后来才发展出两等分；
以及各
个模仿声部之间的比例的确定
（早起音乐 是没有我
们今天乐谱上的小节线的，
所以，
音与音之间的时
值比例在那时是一 个更本质的音乐理论和创作元
素）；早期对八度、五度的运用，到逐渐加入三度
和六度的过程，
以及一直避免三全音的观念；
音乐
高潮放在黄金分割点上的技法；
另外，一个实际的
音
乐
作
品
的
例
子
是
Dufay
的
Nuper
rosarum
flores.
这 部献给佛罗伦萨大教堂的委约作品，
其音
乐结构中包含了各种影射教堂建筑结构的数学比
例，比如：
talea
的
6
：
4
：
2
：
3
的比例就是教堂圆
顶的
nave, transept, apse
和高度的比例等等
.
巴洛克时期发展成熟的各种复调 手法，
从某种程
度上来说也就是数字的游戏
.
比如对主题的倒影，
逆 行和倒影逆行
.
整 个巴洛克时期、
古典时期和浪漫主义时期通用
的功能和声，也是和数学模式紧密相关的
.
比如
V-I(i)
就能确立一个新调，或者传统的转调都是在
近关系调之间 转，
或者模进中的
“首调模进”
和
“变
调模进 ”的区别在哪（音阶不变或者音程不变），
本质上都是长久以来从一个数学的逻辑推导出来
的< br>.
20
世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，不论
是自由无调性还是序列音乐，还是再往后一点的
octatonic
音乐，都是建立在”音集“
(set
或者
col lection
）理论上的
.
这个”音集“，就是把一个
音高组合的材料数字 化，
然后再去用各种方式进行
变形和”变奏“来发展
.
另外，不论是十二音的 完
整
matrix
，
还是
octatonic
的音阶的移位 ，
还是梅西
安自己的有限移位调式，
只要涉及到调式或者音阶
的移位
(transposition),
那都是和数学紧密相关的
.
2.2
乐 声的协调与所联系的整数之间有着密切的关
系，
拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度< br>,
协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出
,
被拨动弦的每一种和谐的结 合，都能表示为整数
比，
由增大成整数比的弦的长度，
能够产生全部的
音阶< br>.
五度相生律是毕达哥拉斯的首创，
故又名毕达哥拉
斯律
.
基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础
音，是由一根弦或空气柱整体振动 时产生的
泛音：以基础音为标准，其余
1/2
、
1/3
、
1/4
等各
部分也是同时振动，是泛音
.
泛音的组合决定 了特
定的音色，
并能使人明确地感到基音的响度。
乐器
和自然界里所有的音都 有泛音
.