奇数和偶数相关练习
萌到你眼炸
863次浏览
2021年01月24日 17:01
最佳经验
本文由作者推荐
民族精神代代传手抄报-借物喻人
..
.
2
、奇数和偶数
知识点：
1.
奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类
.
能被< br>2
整除的数叫做偶数，
不能被
2
整除的
数叫做奇数。
偶数通常可以用
2k
（
k
为整数）表示，奇数则可以用
2k +1
（
k
为整数）表示。
特别注意，因为
0
能被
2
整除，所以
0
是偶数。
2.
奇数与偶数的运算性质
性质
1
：偶数±偶数
=
偶数，奇数±奇数
=
偶数。
性质
2
：偶数±奇数
=
奇数。
性质
3
：偶数个奇数相加得偶数。
性质
4
：奇数个奇数相加得奇数。
性质
5
：偶数 ×奇数
=
偶数，奇数×奇数
=
奇数。
利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。
1
、
1+2+3+
…
+1993
的和是奇数？还是偶数？
2
、
一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两 个积相差
150
，
这个数是多少？
3
、
元旦前夕，同学们相互送贺年卡
.每人只要接到对方贺年卡就一
定回赠贺年卡，
那么送了奇数贺年卡的人数是奇数，
还是偶数？为什
么？
4
、
已知
a
、
b
、
c
中有一个是
5
，一个 是
6
，一个是
7
。求证
a-1
，
b-2
，
c-3
的乘积一定是偶数。
5
、
任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数
.试证新
数与原数之和不能等于
999
。
.
word.
…
..
.
6
、
桌上有
9
只杯子，
全 部口朝上，
每次将其中
6
只同时“翻转”
.
请说
明：无论经 过多少次这样的“翻转”，都不能使
9
只杯子全部口朝下。
7
、
假设
n
盏有拉线开关的灯亮着 ，规定每次拉动（
n-1
）个开关，
能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一 种关灯的办法。
8
、
在圆周上有
1987
个珠子，
给每一珠子染 两次颜色，
或两次全红，
或两次全蓝，或一次红、一次蓝
.
最后统计有
1987
次染红，
1987
次
染蓝。求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种 颜色。
9
、
某校六 年级学生参加区数学竞赛，试题共
40
道，评分标准是：
答对一题给
3
分，答错一题倒扣
1
分
.
某题不答给
1
分，请说明该校< br>六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
10
、
某学校一年级一班共有
25
名同学，教室座位恰好 排成
5
行，
每行
5
个座位
.
把每一个座位的前、后 、左、右的座位叫做原座位的
邻位
.
问：
让这
25
个学生都 离开原座位坐到原座位的邻位，
是否可行？
11
、
在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后
回到原处，问：“马”所跳的 步数是奇数还是偶数？
.
word.
…
..
.
12
、
线段
AB
有两个 端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色
.
在
这个
AB
线段中间插 入
n
个交点，或染红色，或染蓝色，得到
n
＋
1
条小线段（ 不重叠的线段）
.
试证：两个端点不同色的小线段的条数
一定是奇数。
13
、有
100
个自然数，它们 的和是偶数
.
在这
100
个自然数中，奇数
的个数比偶数的个数多< br>.
问：这些数中至多有多少个偶数？
14< br>、有一串数，最前面的四个数依次是
1
、
9
、
8
、< br>7.
从第五个数起，
每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字
.
问：在这一串数中，
会依次出现
1
、
9
、
8
、8
这四个数吗？
15
、求证：四个连续奇数的和一定是
8
的倍数。
16
、
把任意
6
个整数分别填入右图中的6
个小方格，
试说明一定有一
个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为 偶数。
17
、如果两个人通一次，每人都记通话一 次，在
24
小时以，全世界
通话次数是奇数的那些人的总数为
____
。
（
A
）必为奇数，
（
B
）必为偶数，
（
C
）可能是奇数，也
可能是偶数。
.
word.
…
..
.
18
、一次宴会上，客人们相互握手< br>.
问握手次数是奇数的那些人的总
人数是奇数还是偶数。
19
、有
12
卡片，其中有
3
上面写着
1
，有
3
上面写着
3
，有
3
上面
写着5
，有
3
上面写着
7
。你能否从中选出五，使它们上面的数字和
为
20
？为什么？
20
、有
10
只杯子全部口朝下放在盘子里
.
你能否每次翻动
4
只杯子，
经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？
21
、
电影厅每排有
19
个座位，
共
23
排，< br>要求每一观众都仅和它邻近
（即前、后、左、右）一人交换位置
.
问：这种交换 方法是否可行？
.
word.
…
..
.
第
7
讲
奇偶性（一）
整数按照能不能被
2
整除，可以分为两类：
（
1
）能被
2
整除的自然数叫
偶数
，例如
0
，
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
14
，
16
，…
（
2
）不能被
2
整除的自然数 叫
奇数
，例如
1
，
3
，< br>5
，
7
，
9
，
11
，
13
，
15
，
17
，…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出 现的。相邻两个整数大小相差
1
，所以肯
定是一奇一偶。因为偶数能被
2整除，所以偶数可以表示为
2n
的形式，其中
n
为整数；因为奇数不能被
2
整除，所以奇数可以表示为
2n+1
的形式，其中
n
为< br>整数。
.
word.
…
..
.
每一个整数不是奇数就是偶数，
这个属 性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一
些重要性质：
（
1
）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的
和（或差）一定是 奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性
相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个 数肯定是一奇一偶。
（
2
）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶 数个奇数的和（或差）是偶数。任
意多个偶数的和（或差）是偶数。
（
3
）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（
4
）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果 所
有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因
数中至少有一 个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（< br>5
）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，
也可能得奇数 。奇数肯定不能被偶数整除。
（
6
）偶数的平方能被
4
整除；奇数的平方除以
4
的余数是
1
。
因为（
2n
）
=4
2=4
×
n
，所以（
2n
）
能被
4
整除；
因为（
2n+1
）
=4n
+4n+1=4
×（< br>n
+n
）
+1
，所以（
2n+1
）
除以4
余
1
。
（
7
）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（
8
）如果一个整数有奇数个约数（包括
1
和这个数本身 ），那么这个数一
定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
< br>整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇
偶性一点关系 也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编
上，成为整数问题，便可利用整数的奇 偶性加以解决。
2
2
2
2
2
n
2
2
.
word.
…
..
.
例
1
下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+
…
+1997+1998
。
分析与解
：
本题当然可以先求出算式的和，
再来判断这个和的奇偶性。
但如
果能不计算，
直接分析判断出和的奇偶性，
那么解法将更加简洁。
根据 奇偶数的
性质（
2
），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。
1
～
1998
中共有
999
个奇数，
999
是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要
求的和是奇数。
例
2
能否在下式的□中填上“
+
”或“
-
”，使得等式成立？
1
□
2
□
3
□
4
□
5
□
6
□
7
□
8
□
9=66
。
分析与解
：等号左端共有
9
个数参加加、减运算，其中有
5< br>个奇数，
4
个偶
数。
5
个奇数的和或差仍是奇数，
4
个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数
+
偶数
=
奇数”，所以题目的 要求做不到。
例
3
任意给出一 个五位数，
将组成这个五位数的
5
个数码的顺序任意改变，
得到一个新的五位 数。那么，这两个五位数的和能不能等于
99999
？
分析与解
：假设这两个五位数的和等于
99999
，则有下式：
其中组成两个加数的
5
个数码完全相同。
因 为两个个位数相加，
和不会大于
9+9=18
，竖式中和的个位数是
9
，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数
.
word.
…
..
.
之和等于
9
。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于
9
。 所以组成两
个加数的
10
个数码之和等于
9+9+9+9+9=45
，是奇数。
另一方面，因 为组成两个加数的
5
个数码完全相同，所以组成两个加数的
10
个数码之和， 等于组成第一个加数的
5
个数码之和的
2
倍，是偶数。
奇 数≠偶数，
矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于
99999
，
所以假设
不成立，即这两个数的和不能等于
99999
。
例
4
在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问 ：握过奇
数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。
分析与 解
：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手
1
次，对
于乙也是 握手
1
次，两人握手次数的和是
2
。所以一群人握手，不论人数是奇数
还是偶数，握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：
A
类是握手次数是偶数的人，
B
类是握手次数是奇数
的人。
A
类中每人握手的次数都是偶数，
所以
A
类人 握手的总次数也是偶数。
又因
为所有人握手的总次数也是偶数，偶数
-
偶数< br>=
偶数，所以
B
类人握手的总次数
也是偶数。
握奇 数次手的那部分人即
B
类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，
那
么因为 “奇数个奇数之和是奇数”，所以得到
B
类人握手的总次数是奇数，与前面
得到的结论 矛盾，所以
B
类人即握过奇数次手的人数是偶数。
.
word.
…
..
.
例
5
五（
2
）班部分学 生参加镇里举办的数学竞赛，每试卷有
50
道试题。
评分标准是：
答对一道给
3
分，
不答的题，
每道给
1
分，
答错一道扣
1
分。
试问：
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
分析与解
：
本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，
所以应从每个人得
分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，
共有
50
道题，
50
个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因
为任意个偶 数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。
奇数与偶数作业
一、填空题
1
、五个连续奇数的和是< br>85
，其中最大的数是
_____,
最小的数是
_____
。
2
、
三个质数
、
、
，
如果
>
>1,
+
=
,
那么
=_____
。
3
、
已 知
a
、
b
、
c
都是质数，
且
a
+
b
=
c
，
那么
a
b
c
的最小值是
_____
。
4
、已知
a
、
b
、
c
、
d
都是不同的质数，
a+
b
+
c
=
d
，那么
a
b
c
d
的
最小值是
_____
。
5
、
a
、
b
、
c
都是质数
,
c
是一位数
,
且
a
b+
c
=1993,
那么
a
+
b
+
c< br>=_____
。
6
、
三个 质数之积恰好等于它们和的
7
倍
,
则这三个质数为
_____
。
7
、
如果两个两位数的差是
30,下面第
_____
种说法有可能是对的。
.
word.
…
..
.
(1)
这两个数的和是
57
。
(2)
这两个数的四个数字之和是
19
。
(3)
这两个数的四个数字之和是
14
。
8
、
一本书共
186
页
,
那么数字1,3,5,7,9
在页码中一共出现了
_____
次。
9
、
筐中有
60
个苹果
,
将它们全部取 出来
,
分成偶数堆
,
使得每堆的个
数相同
,
则有< br>_____
种分法。
10
、从
1至
9
这九个数字中挑出六个不同的数
,
填在下图所示的六个
圆圈
,
使任意相邻两个圆圈数字之和都是质数
.
那么最多能找出
____ _
种
不同的挑法来
.(
六个数字相同
,
排列次序不同算同一 种
)
二、解答题
1
、
能否从四个
3
、
三个
5
、两个
7中选出
5
个数，使这
5
个数的和等
于
22
？< br>
2
、任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数 ，一位同学将原
三位数与新的三位数相加，和是
999
。这位同学的计算有没有错？< br>
3
、甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有 相同数），甲将
这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格，
乙将这七个整数以
任 意的顺序填在图中的第二行方格里，
然后计算出所有同一列的两个
数的差（大数减小数），再将 这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶
数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。
.
word.
…
..
.
4
、某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等， 即甲给
乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数
是奇数还是偶数？< br>
5
、
A
市举办五年级小学生“春晖 杯”数学竞赛，竞赛题
30
道，记分方
法是：底分
15
分，每答对一 道加
5
分，不答的题，每道加
1
分，答
错一道扣
1
分。
如果有
333
名学生参赛，
那么他们的总得分是奇数还
是偶数？
6
、把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有 可能使得在同一条
直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。
7
、红星影院有
1999
个座位，
上、下午各放映一场电影。
有两所学 校
各有
1999
名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、
下午 在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
8
、
在一
9
行
9
列的方格纸上，
把每个方格所在的行数和列数加起来，
填在这个方格中，例如
a
=5+3=8.问
:
填入的
81
个数字中
,
奇数多还是
偶数多
?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
word.
…
..
.
9
、能不能在下式
:
1
2
3
4
5
6
7
8
9=10
的每个方框中
,
分别填入
加号或减号
,
使等式成立
?
10
、
在八个房间中
,
有七个房间 开着灯
,
一个房间关着灯
.
如果每次同
时拨动四个房间的开关
,
能不能把全部房间的灯关上
?
为什么
?
11
、
一个工人将零件装进两种盒子中
,
每个大盒子装
12
只零件
,
每个小
盒子装
5
只零件
,
恰好装 完
.
如果零件一共是
99
只
,
盒子个数大于
10,
这
两种盒子各有多少个
?
第
8
讲
奇偶性（二）
例
1
用
0
～
9
这十个数码组成五个两位数，每个数 字只用一次，要求它们的
和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
分析与解
：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，
使最后结果 达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂 时不考虑这五个数的和
是奇数的要求。
.
word.
…
..
.
要使组成的五个两位数的和最大，
应该把十个数码中最大的五个分别放在 十
位上，即十位上放
5
，
6
，
7
，
8，
9
，而个位上放
0
，
1
，
2
，3
，
4
。根据奇数的定
义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即 个位是
1
和
3
的两个两位数。
要满足这五个两位数的和是 奇数，
根据奇、
偶数相加减的运算规律，
这五个
数中应有奇数个奇数。现有两 个奇数，即个位数是
1
，
3
的两位数。所以五个数
的和是偶数，不合 要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要
使五个数有奇数个奇数，
并且五个 数的和尽可能最大，
只要将个位和十位上的一
个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之 差尽可能小，由此得到交换
5
与
4
的位置。满足题设要求的五个两位数的十位 上的数码是
4
，
6
，
7
，
8
，
9
，个
位上的数码是
0
，
1
，
2
，
3
，
5
，所求这五个数的和是（
4+6+7+8+9
）×
1 0+
（
0+1+2+3+5
）
=351
。
例
2
7
只杯子全部杯口朝上放 在桌子上，每次翻转其中的
2
只杯子。能
否经过若干次翻转，使得
7
只杯子全部杯口朝下？
分析与解
：
盲目的试验，
可能总也找不到要 领。
如果我们分析一下每次翻转
后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口 朝上的杯子有
7
只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为
5
只，仍是奇数 ；再继续翻转，因
为只能翻转两只杯子，
即只有两只杯子改变了上、
下方向，
所以杯口朝上的杯子
数仍是奇数。
类似的分析可以得到，
无论翻转多少次，
杯 口朝上的杯子数永远是
奇数，不可能是偶数
0
。也就是说，不可能使
7
只杯子全部杯口朝下。
.
word.
…
..
.
例
3
有
m
（
m
≥
2
）
只杯子全部口朝下放在桌子上，
每次翻转其中的
（
m-1
）
只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
分析与解
： 当
m
是奇数时，（
m-1
）是偶数。由例
2
的分析知，如果 每次
翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性
不会改变。 一开始
m
只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次
翻转（
m- 1
）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，
不可能全部朝上。
当
m
是偶数时，
（
m-1
）是奇 数。为了直观，我们先从
m= 4
的情形入手观
察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表 示杯口朝下，每次翻转
3
只杯子，保持不
动的杯子用
*
号标记。翻转 情况如下：
由上表看出，只要翻转
4
次， 并且依次保持第
1
，
2
，
3
，
4
只杯子不 动，就
可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。
对于m
只杯子，
当
m
是偶数时，
因为
（
m-1）
是奇数，
所以每只杯子翻转
（
m-1
）
次，就可使全 部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转
m
次，并且依次保
持第
1
，
2
，…，
m
只杯子不动，这样在
m
次翻转中，每只杯子 都有一次没有翻
转，即都翻转了（
m-1
）次。
综上所述：
m
只杯子放在桌子上，每次翻转（
m-1
）只。当
m
是奇数时，无 论
翻转多少次，
m
只杯子不可能全部改变初始状态；当
m
是偶数时， 翻转
m
次，
可以使
m
只杯子全部改变初始状态。
.
word.
…