关于七夕的诗词-半截蜡烛

2021年1月24日发(作者：airen)
第五讲

奇数与偶数及奇偶性的应用

一、基本概念和知识



1.
奇数和偶数



整数可以分成 奇数和偶数两大类
.
能被
2
整除的数叫做偶数，不能被
2
整 除的数叫做奇数。



偶数通常可以用
2k
（
k
为整数）
表示，
奇数则可以用
2k+1
（
k
为整数 ）
表示。



特别注意，因为
0
能被
2
整除，所以
0
是偶数。



2.
奇数与偶数的运算性质



性质
1
：偶数±偶数
=
偶数，



奇数±奇数
=
偶数。



性质
2
：偶数±奇数
=
奇数。



性质
3
：偶数个奇数相加得偶数。



性质
4
：奇数个奇数相加得奇数。



性质
5
：偶数×奇数
=
偶数，



奇数×奇数
=
奇数。


二、例题



利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题
.
例
1
1+2+3+
…
+1993
的和是奇数？还是偶数？

分析

此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶
数< br>.
但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判
断和的奇偶性.
此题可以有两种解法。



解法
1
：∵
1+2+3+
…
+1993





又∵
997
和
1993
是奇数，奇数×奇数
=
奇数，



∴原式的和是奇数。



解法
2
：∵
1 993
÷
2=996
…
1
，



∴
1
～
1993
的自然数中，有
996
个偶数，有
997
个奇数。



∵
996
个偶数之和一定是偶数，



又∵奇数个奇数之和是奇数，



∴
997
个奇数之和是奇数。



因为，偶数
+
奇数
=
奇数，



所以原式之和一定是奇数。

例
2
一个数分别与另外两个相邻奇数 相乘，
所得的两个积相差
150
，
这个
数是多少？



解法
1
：∵相邻两个奇数相差
2
，



∴
150
是这个要求数的
2
倍。



∴这个数是
150
÷
2=75
。



解法
2
：设这个数为
x
，设相邻的两个奇数为
2a+1
，
2a-1
（
a
≥
1
）
.
则有



（
2a+1
）
x-
（
2a-1
）
x=150
，



2ax+x-2ax+x=150
，



2x=150
，



x=75
。



∴这个要求的数是
75
。

例
3 < br>元旦前夕，
同学们相互送贺年卡
.
每人只要接到对方贺年卡就一定回
赠 贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

分析

此题初看似乎缺总人数
.
但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇
偶性上，因此与总人 数无关。



解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次
.
那么
贺年卡的总张数应能被
2
整除，所以贺年卡的总张数应是偶数 。



送贺年卡的人可以分为两种：



一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。



另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数
=
所有人
送出的贺年卡总 数
-
所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数
=
偶
数
-
偶数
=
偶数。



他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。



所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

例
4
已知
a
、
b
、
c
中有一个是
5
，一个是
6，一个是
7.
求证
a-1
，
b-2
，
c-3< br>的乘积一定是偶数。



证明：∵
a
、
b
、
c
中有两个奇数、一个偶数，



∴
a
、
c
中至少有一个是奇数，



∴
a-1
，
c-3
中至少有一个是偶数。



又∵偶数×整数
=
偶数，



∴（< br>a-1
）×（
b-2
）×（
c-3
）是偶数。

例
5
任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数
.
试证 新数
与原数之和不能等于
999
。







则有
a+a
′
=b+b
′
=c+c
′
=9
，因为
9
不会是进位后得到的



又因为
a
′、
b
′、
c
′是
a
、
b
、
c
调换顺序得到的，



所以
a+b+c=a
′
+b
′
+c
′。



因此，又有（
a+a
′）
+
（
b+b
′）
+
（
c+c
′）
=9+9+9
，



即
2
（
a+b+c
）
=3
×
9
。



可见：
等式左边是偶数，
等式 的右边
（
3
×
9=27
）
是奇数
.
偶数≠ 奇数
.
因此，等式不成立
.
所以，此假设“原数与新数之和为
999
”是错误的，
命题得证。



这个证明过程教给我们一种 思考问题和解决问题的方法
.
先假设某种
说法正确，
再利用假设说法和其他性 质进行分析推理，
最后得到一个不可
能成立的结论，从而说明假设的说法不成立
.这种思考证明的方法在数学
上叫“反证法”。

例
6
用代表整 数的字母
a
、
b
、
c
、
d
写成等式组：< br>


a
×
b
×
c
×
d-a=1991


a
×
b
×
c
×
d-b=1993


a
×
b
×
c
×
d-c=1995


a
×
b
×
c
×
d-d=1997


试说明：符合条件的整数
a
、
b
、
c
、
d
是否存在。



解：由原题等式组可知：



a
（
bcd-1< br>）
=1991
，
b
（
acd-1
）
=199 3
，



c
（
abd-1
）
= 1995
，
d
（
abc-1
）
=1997
。



∵
1991
、
1993
、
199 5
、
1997
均为奇数，



且只有奇数×奇数
=
奇数，



∴
a< br>、
b
、
c
、
d
分别为奇数。



∴
a
×
b
×
c
×
d=
奇数。



∴
a
、
b
、
c、
d
的乘积分别减去
a
、
b
、
c
、< br>d
后，一定为偶数
.
这与原
题等式组矛盾。



∴不存在满足题设等式组的整数
a
、
b
、
c、
d
。

例
7
桌上有
9
只杯子，全 部口朝上，每次将其中
6
只同时“翻转”
.
请说
明：无论经过多少次 这样的“翻转”，都不能使
9
只杯子全部口朝下。



解 ：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”
.
要使
9
只杯子
口 全朝下，必须经过
9
个奇数之和次“翻转”
.
即“翻转”的总次数为奇
数
.
但是，按规定每次翻转
6
只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的< br>总次数只能是偶数次
.
因此无论经过多少次“翻转”，都不能使
9
只杯 子
全部口朝下。

例
8
假设
n
盏有拉线开关的灯 亮着，规定每次拉动（
n-1
）个开关，能否
把所有的灯都关上？请证明此结论，或给 出一种关灯的办法。



证明：当
n
为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。



因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。



由于n
是奇数，所以
n
个奇数的和
=
奇数，



因此要把所有的灯（
n
盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇
数。



但因为规定每次拉动
n-1
个开关，且
n-1
是偶数，



故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛

关于七夕的诗词-半截蜡烛