弹性碰撞后的速度公式
余年寄山水
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2021年01月24日 18:21
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三年级作文自我介绍-故事大王
一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式
问题：如图
1
所示，在光滑水 平面上，质量为
m
1
的小球，以速度
v
1
与原来静止的质量
为
m
2
的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？
图
1
设碰撞后它们的速度分别为
v
1
＇和v
2
＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、
机械能（动能）守恒定律得 ：
m
1
v
1
=
m
1
v
1
＇
+
m
2
v
2
＇
①
②
由①
③
由②
④
由④
/
③
⑤
联立①⑤解得
⑥
⑦
上面⑥⑦式的右边只有分子不同，
但记忆起来容易 混。
为此可做如下分析：
当两球碰撞
至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v
共
，由动量守恒定律得：
m
1
v
1
=
（
m
1
+
m
2
）
v
共
解出
v
共
=
m
1
v
1
/
（
m
1
+
m
2
）
。 而两球从球心相距最近到分开过程中，球
m
2
继续受到向
前的弹力作用，因此 速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦
式，
因此⑦式就 可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成
m
2
－
m
1
，
则可根据质量
m
1
的乒乓球以速度
v
1
去碰原来静止的铅球
m
2
，
碰撞后乒乓球被反弹回，
因 此
v
1
＇应当是负的（
v
1
＇
<0
），故 分子写成
m
1
－
m
2
才行。在“验证动量守恒定律”的实验
中，
要求入射球的质量
m
1
大于被碰球的质量
m
2
，
也可由⑥式解释。
因为只有
m
1
>
m
2
，
才有
v
1
＇
>0
。
否则，若
v
1
＇
<0
，即入射球
m
1
返回，由于摩擦，入射球
m
1
再回来时速度已经变小了，不再
是原来的
v
1
＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度
v1
－
0
等于碰撞
后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结 合①式也可很容易解得⑥⑦式。
二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式
问题 ：如图
2
所示，在光滑水平面上，质量为
m
1
、
m
2
的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前
速度分别为
v
1
和
v< br>2
，求两球碰撞后各自的速度？
图
2
设碰撞后速度变为
v
1
＇和
v
2
＇，在弹性碰撞过程中，分 别根据动量守恒定律、机械能守
恒定律得：
m
1
v
1+
m
2
v
2
=
m
1
v
1＇
+
m
2
v
2
＇
①
②
由①
③
由②
④
由④
/
③
⑤
由③⑤式可以解出
⑥
⑦
要记住上面⑥⑦式更是不容易的，
而且推导也很费 时间。
如果采用下面等效的方法则可
轻松记住。
m
1
、
m< br>2
两球以速度
v
1
和
v
2
发生的对心弹性碰 撞，可等效成
m
1
以速度
v
1
去碰静止
的
m
2
球，再同时加上
m
2
球以速度碰静止的
m
1< br>球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公
式，可得两球碰撞后各自的速度
+
；
+
，即可得到上面的⑥⑦式。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞 前两球相互靠近的相对速度
v
1
-
v
2
等于碰< br>撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
例题 ：
如图
3
所示，
有大小两个钢球，
下面一个的质量为
m2
，
上面一个的质量为
m
1
，
m
2
= 3
m
1
。
它们由地平面上高
h
处下落。
假定大球在 和小球碰撞之前，
先和地面碰撞反弹再与正下落的
小球碰撞，
而且所有的碰撞均是弹性 的，
这两个球的球心始终在一条竖直线上，
则碰后上面
m
1
球将上升 的最大高度是多少？
图
3
解法
1
：
设两球下落
h
后的速度大小为
v
1
，则
v
1
2
=2
gh
①
选 向上为正方向，
m
2
球与地面碰撞后以速度
v
1
反弹并与正 在以速度－
v
1
下落的
m
1
球发
生弹性碰撞，设< br>m
1
和
m
2
两球碰撞后瞬间的速度分别变为
v
1
＇和
v
2
＇，在弹性碰撞过程中，
分别根据动量守恒定律、机械 能（动能）守恒定律得：
m
1
（－
v
1
）
+
m
2
v
1
=
m
1
v
1
＇
+
m
2
v
2
＇
②
③
将
m
2
=3
m
1
代入，得
2< br>v
1
=
v
1
＇
+3
v
2
＇
④
⑤
由④⑤式消去
v
2
＇得
:
即
故解出
v
1
＇
=
v
1
（舍去，因为该解就是
m
1
球碰前瞬间的速度）
v
1
＇
=2
v
1
⑥
设碰后上面球
m
1
上升的最大高度为
h
＇，则
< br>0
－
v
1
＇
=
－
2
gh
＇
⑦
联立①⑥⑦式解出
h
＇
=4
h
。
解法
2
：
在解法
1
中，列出②③式后，可根据前 面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性
碰撞公式，求出
m
1
球碰撞后 瞬间的速度
v
1
＇。
选向上为正方向，
m
1、
m
2
两球分别以速度－
v
1
和
v
1
发生对心弹性碰撞，可等效成
m
1
以速
度－
v
1< br>去碰静止的
m
2
球，再同时加上
m
2
球以速度
v
1
碰静止的
m
1
球。因此
m
1
球碰撞 后的速度
+
将
m
2
=3
m
1
代 入得
v
1
＇
=2
v
1
。
以下同解法
1
。
解法
3
：
在 解法
1
中，列出②③式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的
“一动碰一动”
的弹
性碰撞公式，求出
m
2
球碰撞后瞬间的速度
v
2＇。
选向上为正方向，
m
1
、
m
2
两球以速度－
v
1
和
v
1
发生的对心弹性碰撞，可等效成< br>m
1
以速度
－
v
1
去碰静止的
m
2
球，再同时加上
m
2
球以速度
v
1
碰静止的
m
1
球。因此碰撞后
m
2
球的速度
+
将
m
2
=3
m
1
代入解得
v
2< br>＇
=0
。
从
m
1
球开始下落到
m
1
球上升的最大高度，对
m
1
、
m
2
两球 组成的系统，由能量守恒得：
（
m
1
+
m
2
）
gh
=
m
1
gh
＇
故解出
h
＇
=4
h
。
解法
4
：
设两球下落
h
后的速度大小为
v
1
，则
2
v
1
2
=2
gh
①
选向上为正方向，
m
2
球与地面碰撞后以速度
v
1
反弹并与正在以速度－
v
1
下落的
m
1
球发
生弹性 碰撞，
若以
m
2
球为参考系，
则
m
1
球以 相对
m
2
球为－
2
v
1
的速度去碰静止的
m
2
球，
由
“一
动碰一静”的弹性碰撞公式得：
由于碰前
m
2
球对地的具有向上的速度
v
1
，
故碰后
m
1
球对地的速度为：
+
v
1
=2
v
1
。
以下同解法
1
。
上面的解法
1
属于常规的数学解 法，
求解比较麻烦，
用时间也比较长而且容易出错。
而
解法
2
、
3
、
4
直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解，简单而不易出错，是 比较好的选
择。
二、知识归纳、总结：
（一）弹性碰撞和非弹性碰撞
1
、碰撞
碰撞是指相对运 动的物体相遇时，在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化的过
程。
2
、碰撞的分类（按机械能是否损失分类）
（
1
）弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒，即为弹性碰撞。
（
2
）非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞。
3
、碰撞模型
相互作用的两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理，
那么对相互作用中两物体相距恰
“最近”
、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界 问题，求解的关键都是“速度
相等”
，具体分析如下：
（
1
）如图所示，光滑水平面上的
A
物体以速度
v
去撞击静止的
B物体，
A
、
B
两物体相
距最近时，两物体速度必定相等，此时弹 簧最短，其压缩量最大。
（
2
）如图所示，物体
A以速度
v
0
滑到静止在光滑水平面上的小车
B
上，当
A
在
B
上滑
行的距离最远时，
A
、
B
相对静 止，
A
、
B
两物体的速度必定相等。
（
3
）如图所示，质量为
M
的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相
切，一个质量为
m
的小球以速度
v
0
向滑块滚来，设小球不 能越过滑块，则小球到达滑块上
的最高点时（即小球竖直方向上的速度为零）
，两物体的速度肯 定相等（方向为水平向右）
。
（二）对心碰撞和非对心碰撞
1
、对心碰撞
碰撞前后物体的速度都在同一条直线上的碰撞，又称正碰。
2
、非对心碰撞
碰撞前后物体的速度不在同一条直线上的碰撞。
3
、散射