速度的关联讲解
余年寄山水
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2021年01月24日 18:22
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所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通
过 杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有
：
1
，杆或 绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分
速度．
2
，
接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同， 沿接触面切
向的分速度在无相对滑动时相同．
3
，
线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．
4
，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的
角速度相同·
类型
1
质量分别为ｍ
1
、ｍ
2
和ｍ< br>3
的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直
的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和 ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝
π
－
α
，
α
为锐角，如图５
-
１所示．今
有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物 理竞赛试
题）
图
5-1
图
5-
２
类型
2
绳的一 端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成
α
角的光滑斜面
上，如图 ５
-
２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为
ω
（此时绳未松弛）， 试求此
刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题）
类型
3
直线ＡＢ以大小为ｖ
1
的速度沿垂直于
AB
的方向向上移动，而直线
CD
以大小为ｖ
2
的
速度沿垂 直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为
α
，如图
5-
３所示．求它们 的交点
Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）
图
5-
３
图
5-
４
以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型
1
求的是由杆或绳 约束物系的各点速度；类型
2
求接触物系接触点速度；类型
3
则是求相交物系 交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规
律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住 它们的共性与个性，解决物系相关
速度问题便有章可循．
首先应当明确 ，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的
线等，它们都具有刚体的 力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相
对距离是恒定不变的；任何刚体的任 何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图
5-
４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位 置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，
使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴 转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点
Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动 速度相同，否则板上各点的
相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可 以任意选择．于
是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和 相对
于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒ
ω
，ｒ是转动半径，ω
是刚体转动
角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．
根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们
总 可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一
时刻一定具有 相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到
下面的结论．
结论
1
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的 沿杆或绳方向的分
速度．
我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由 刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触
面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则 将分离或形变，从而违反接触或刚性
的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决 于该方向上双方有无相对
滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到 下面的结论．
结论
2
接触物系接触点速度的相关特征是：沿 接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向
的分速度在无相对滑动时相同．
相交物系交叉点速度的特征是什么呢
?
我们来看交叉的两直线ａ 、ｂ，如图
5-
５所示，设直线
ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动 ，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，
交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ 具有相同的沿直线ａ方向的
平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿 直线ｂ方向平动
的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线 沿对
方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．
图
5-
５
结论
3
线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．
这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类
相关速度 特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题
便有了操作的章法．
下面我们对每一类问题各给出
3
道例题，展示每一条原则在不 同情景中的应用．
例
1
如图
5-
６所示， 杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相
切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水 平线的交角为
θ
时，求杆的角速度
ω
及杆上与半圆相切点
Ｃ的速度．
图
5-6
分析与解
考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ 速
度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ
1
和垂直 于杆方向
分量ｖ
2
（如图
5-
７所示），则ｖ
1
是 点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ
2
是点Ａ对点
Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的 速度为
图
5-7
ｖＣ＝ｖ
1
＝ｖ·ｃｏｓ
θ
，
又
ｖ
2
＝ｖ·ｓｉｎ
θ
＝
ω
·ＡＣ．
由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为
ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔ
θ
，
代入前式中即可解得
ω
＝
(
ｖｓｉｎ
2
θ
/(
Ｒｃ ｏｓ
θ
．
例
2
如图
5-8
所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为
3∶2∶1，顶点Ａ
3
以速度ｖ沿< br>水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ
2
的速度ｖ
B2
．
图
5-8
分析与解
顶点Ｂ
2
作为Ｂ
2
Ａ
1
杆上的一点，其速度是沿Ｂ
2
Ａ
1
杆方向的速度ｖ
1
及垂 直
于Ｂ
2
Ａ
1
杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ
2< br>Ａ
2
上的一点，其速度又是沿Ｂ
2
Ａ
2
杆方
向的速度ｖ
2
及垂直于Ｂ
2
Ａ
2
杆方向的速度ｖ2′的合成 ．由于两杆互成直角的特定条件，由
图
5-
９显见，ｖ
2
＝ｖ1′， ｖ
1
＝ｖ2′．故顶点Ｂ
2
的速度可通过ｖ
1
、ｖ
2
速度的矢量和求
得，而根据杆的约束的特征，得
图
5-9
ｖ
1
＝
(
/
２ｖＡ
1
；
ｖ
2
＝
(
/
２ｖＡ
2
，
于是可得