数学解题中转化思维的十种策略
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2021年01月24日 18:48
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数学解题中转化思维的十种策略
江苏洪泽县中学
胡国生
数学活动的实质就 是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角
度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求 最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：
1
、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问 题；
2
、简单化原则，即将复杂问题转
化为简单问题；
3
、直观化原 则，即将抽象总是具体化。
策略一：正向向逆向转化
一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，
解题时，
如果从 下面入手思维受阻，
不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。
例
1
：四面体的顶点和各棱中点共
10
个点，在其中取
4
个不共面的点，不共面的
取法共有
__________
种。
A
、
150
B
、
147
C
、
144
D
、
141
分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑 ，先求四点共面的取法总数再用
补集思想，就简单多了。
解：
10
个点中任取
4
个点取法有
有
种，同理其余
3< br>个面内也有
种，其中面
ABC
内的
6
个点中任取
4< br>点都共面
种，又，每条棱与相对棱中点共面也有
6
种，各棱
种，应选（
D
）。
中点
4
点共面的有
3
种，
不共面取法有
策略二：局部向整体的转化
从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需
要从总体上去把握 事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例
2
：一个四面体所有棱长都是
，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为
（
）
A
、
B
、
C
、
分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出
错，但把正四面体补形 成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一
点，因为正四面体棱长为
，所以 正方体棱长为
1
，从而外接球半径为
D
、
，应选（
A
）。
策略三：未知向已知转化
又称类比转化，它是一种培养知识迁 移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题
目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案 就会应运而生。
例
3
：在等差数列
中，若
（
在等比数 列
中，
成立，
类比上述性质，
，则有等式
，则有等式
_________
成立。
分析：等差数列
中，
，必有
，
，
故有
，因为
，故
策略四：固定向重组的转化
挖掘题目 隐含关系，将已知条件或结论巧妙而又合理地改造，重新组合，让零散的信
息聚整，模糊的信息显现。< br>
成立。
类比等比数列
例
4
：
④
外两条直线，给出四个论断：①
②
③
以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题。
分析：本题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，
重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③
策略五：抽象向具体转化
有些题目看起来较为抽象，貌似不易 解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模
型，以启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。
④，②③④
①
例
5
：
已知
为常数，
且
，
问
是不是周期函数，
若是，
求出周期 ，若不是说明理由。
分析：由
联想到
，找到一个具体 函数，
=
，而函数
猜想
是一个周期为
的
函数。这样方向明， 思路清。
证明：
，
策略六：个别向一般的转化
华罗庚说过 ：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决
窍。”
对于 表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、
演绎等手法去概括 一般规律，使问题获解。
例
6
：已知数列
(
)
是首项为
，公比为
的等比数列。
（
1
）
求和：
；
（
2
）
由（
1
）的结果归纳出关于正整数
的一个结论，并加以证明。
（
）
分析：（
1
）
同理可得：
=
猜想：
证明：
=
=