圆柱和圆锥知识点和题型
绝世美人儿
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2021年01月24日 20:24
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失望的个性签名-北国风光
--
圆柱、圆锥基本知识点
1
、圆的周长
:C=
πｄ
=2
πｒ
2
、圆的面积
:
Ｓ＝π
r2
3
、圆柱的侧面积：把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形
(
或正方形
)
，长方形
的长是圆柱的底面周长，长方形
的宽是圆柱的高。
S
侧
=Ch=
πｄｈ
=2
π
r
ｈ
逆推公式有：
C=S
侧÷
h
h=S
侧÷
C
4
、圆柱的表面积
:S
表
=S
侧
+2S
底
4
、圆柱的体积
: V
柱
=Sh=
π
r2 h
逆推公式有：
S
＝
V
柱
÷
h
h
＝
V
柱÷Ｓ
5
、圆锥
的体积：
Ｖ锥＝３
１
Ｓ
h
逆推公式有：
S=
V
锥×
3
÷
h
ｈ＝Ｖ锥×
3
÷
S
６、等底等高的情况下
,
圆柱体积是圆锥体积的３倍。
等底等高的情况下
,
圆锥体积是圆柱体积的
1
/
３
等底等高的情况下
,
圆锥体积比圆柱体积少
2
/
3
等底等高的情况下，圆柱体积比圆锥体
积多
2
倍
7
、等体积等高的圆柱和圆锥
,
圆锥底面积是圆柱底面积的
3
倍；
等体积等底面积的圆柱和圆锥
,
圆锥的高是圆柱高的３倍。
8
、圆柱的横切：切成
n
段，需要
n-
１次
,
增加
2
×（ｎ－１）个底面积
９、圆柱的纵切
:
切
1
次
,
增加２个长方形
,
长方形的长是底面 的直径，宽是圆柱的高
10
、圆锥的纵切：切
1次，增加
2
个三角形
,
三角形的底是圆锥的直径，三角形的高是圆锥的高
11
、把一个正方体削成一个最大的圆柱（或圆锥
)
，正方体的棱长就是圆柱
(
或圆锥）的底面直径和高。
12
、①熔铸（或铸成），体积不变。
②注水问题< br>:
上升的（或下降
)
的水的体积等于放入的的物体的体积。（完全
浸没
)
1
３、一个圆柱的侧面展开图是一 个正方形，说明底面周长和高的比是
1
∶１，半径和高的比是
1
∶２π
,
直径和
高的比是
1
∶π
１4
、当侧面积一定时
,
越是细、长的圆柱体积越小
,
越是粗、矮 的圆柱体积越大。
15
、特殊的π值
１
.52
π
=
７
.06
５
2
．
52
π
=1
９．
62
５
１
6
、
圆 柱：
以矩形的一边所在直线为旋转轴
,
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
即
AG
矩形的一条边为轴，
旋转
360
°所得的 几何体就是圆柱。
2
< br>其中Ａ
G
叫做圆柱的轴
,AG
的长度叫做圆柱的高
,
所有平行于
AG
的线段叫做圆柱的母线，
DA
和
D'G
旋转 形成的两个圆叫做圆柱的底面，
DD'
旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。
17
、圆柱的体积
:
圆柱所占空间的大小
,< br>叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为
r,
高为ｈ
,
则体积< br>V:V=
πｒ
2
ｈ
；如Ｓ为底面积，高为
h
，体积为
V:V=S
ｈ
圆柱的体积跟长方体、正方体一样，都是底面积×高
圆柱
体积
=
底面积×高
Ｖ柱＝
Sh =
πｒ２
ｈ
圆柱的高＝体积÷底面积
h =V
柱÷Ｓ
=V
柱÷
(
πｒ
2)
圆柱的底面积
=
体积÷高
S=
Ｖ柱÷
h
圆柱的侧
面积：
圆柱的侧面积< br>=
底面的周长
*
高
,S
侧＝Ｃｈ
（注
:c
为π
d)
圆柱的两个圆面叫做底面
(< br>又分上底和下底
);
圆柱
有一个曲面，叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高（ 高有无数条）。
特征：圆柱的底面都是圆，并且大小
一样。
1
８、
圆柱的切割：
a.
横切:
切面是圆
,
表面积增加２倍底面积
,
即
S
增
=
２πｒ
2 b.
竖切（过直径）：切面是长方形
(
如果< br>h=2R,
切面为正方形
),
该长方形的长是圆柱的高，
宽是圆柱的底 面直径
,
表面积增加两个长方形的面积
,
即
S
增
= 4rh
注
:
圆柱高增加减少
,
圆柱表面积增加减少的只是侧面积。
1
９、
考试常见题型：
a.已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积
,
表面积，体积，底面周长
b.
已知圆柱的底面周长和高
,
求圆柱的侧面积
,
表面积< br>,
体积，底面积
c.
已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱 的侧面积，表面积
,
高
,
底面积
ｄ
.
已知圆柱的底面面积和高
,
求圆柱的侧面积，表面积
,
体积，
e.
已知圆柱的侧面积和高
,
求圆柱的底面半径< br>,
表面积，体积
,
底面积
以上几种常见题型的解 题方法
,
通常是求出圆柱的底面半径和高
,
再根据圆柱的相关计算公式进行计 算。
20
、
常见的圆柱解决问题
:
①、压路 机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积
)
；
--
②、压路机压过路面长度
(
求底面周长
)
；
③、水桶铁皮
(
求侧面积和一个底面积）
;
④鱼缸、厨师帽
(
求侧面积和一个底面积
)
；
5
、求钢管的体积：
V
钢管
=(
π
R2
﹣ πｒ
2)
×
h
２０、
圆锥立体几何定义：
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，
其余两边旋转形成 的面所围成的
旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴
。
１、
圆锥的体积
:
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的
体 积的
1
/
３。
根据圆柱体积公式Ｖ＝
Sh(V =
π
r
２
h)
，
得出圆锥体积公式：
Ｖ
=
１
/
３
Sh
S
是圆锥的底面积，
h
是圆锥的高，
r
是圆锥的底面半径
圆锥的高
=
圆锥体积×
3
÷底面积
h =3 V
锥÷
S=
３
V
锥÷
(
πｒ
2
）
圆锥的底面积
=
圆锥体积×
3
÷高
S=3
V
锥÷ｈ
圆锥体展开图的绘制
:
圆 锥体展开图由一个扇形
(
圆锥的侧面
)
和一个圆
（圆锥的 底面
)
组成。
(
如右图）
在绘制
指定圆锥的展开图时，一般 知道
a
（母线长）和
d
（底面直径
)
圆锥的切割：
a.
横切
:
切面是圆
ｂ ．竖切
(
过顶点和直径直径
)
：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥 的高，底是圆锥的底面直径
,
表面积增加两个等腰三角形的面积
,
即Ｓ
增
=
２Ｒ
h
考试常见题型：
a
已知圆锥的底面积和高
,
求体积
ｂ已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积
,
底面积
c
已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常 见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。
生活中的圆锥
:
生活中经常出现的圆锥有
:
沙堆、漏斗、 帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
圆柱和圆锥的关系
:
１．圆柱的特征
:一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形或正方形。
２
.
圆锥的特征
:
一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。
3
、
圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥的３倍。
４、圆柱与圆锥等底等体积时
,
圆锥的高是圆柱高的
3
倍。
5
、圆柱与圆锥等高等体积时，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底 面半径）是圆柱的３倍。
6
、圆柱体积比等底等高圆锥体积多
2
倍
圆锥体积比等底等高圆柱体积少２
/
3
（
1)
等底等高：Ｖ锥
:V
柱＝
1:3
（２
)
等底等体积：
h
锥：
h
柱
=
３
:
１
(3
）等高等体积：< br>S
锥
:
Ｓ柱
=
３
:1
题型总结
:
1.
高不变半径扩大 缩小
n
倍，直径、底面周长、侧面积扩大缩小
n
倍
,
底面积 、体积扩大缩
小ｎ
2
倍。
2.
半径 不变高扩大缩小
n
倍
,
侧面积、体积扩大缩小ｎ倍
3.
削成最大体积的问题：
正方体里削出最大的圆柱圆锥
圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长
长方体里削出最大的圆柱圆锥
圆柱圆锥底面直径等于宽（宽﹥高）圆柱圆锥高等于长方体高
;
圆柱圆锥底面直径等于高
(
高﹥宽
)
圆柱圆锥高等于长方体宽
4.
浸水体积问题
:
水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积
,
等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。
5
．等体积转换问题：
一圆柱融化后做成圆锥
,
或圆柱中的溶液倒入圆锥
,< br>都是体
积不变的问题，
注意不要乘
以
1
/
3
。