初中数学八年级上册知识点梳理(人教版)
绝世美人儿
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2021年01月24日 21:24
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数学八年级上册知识点梳理
第十一章
三角形
11.1
与三角形有关的线段
一、
三角形的边
三角形：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接所组成的图形，
叫做三角
形。
注意点：
（
1
）三条线段（
2
）不在同一直线上（
3
）首尾顺次相接
三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，记作“△
ABC
”
，
读作“三角形
ABC
”
，除此△
ABC
还可记作△
BCA,
△
CAB,
△
ACB
等
.
三角形的分类：
直角三角形
不等边三角形
锐角三角形
底和腰不相等的等腰三角形
按角分
按边分
等腰三角形
等边三角形
钝角三角形
等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。
相等的两边都叫腰，
另一边叫做
底，两腰的夹角 叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三角形中三边的关系：
三角形两边 的和大于第三边，
三角形两边的差小于第三边。
（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边 ，还必须考虑到两边之差小
于第三边
.
）
二、
三角形的高、中线与角平分线
三角形的高：
从三角形的一个顶 点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间
的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高 。
1
、
锐角三角形的三条高交于同一点。三条高都在
三角形的内部。
2
、
直角三角形的三条高交于直角顶点
.
3
、
钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在
直线交于一点。
总结：
三角形的三条高的特性
高在三角形内部的数量
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
三条高所在直线的交点的位置
锐角三角形
3
相交
相交
三角形内部
直角三角形
1
相交
相交
直角顶点
钝角三角形
1
相交
不相交
三角形外部
三角形的三条高
所在直线交于一点
三角形的中线：
在三角形中
,
连结一个顶点和它对边中点的线段叫
做这个三角形这边的中线
.
三角形中线的符号语言：
∵
AD
是△
ABC
的中线
∴
BD=CD =1/2 BC
三角形的三条中线相交于一点
,
交点在三角形
的内部。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重
心。
三角形的角平分线：
在三角形中
,
一个内角的角平分线与它的对边相交
,
这个角的顶点与交点
之间的线段
,< br>叫做三角形的角平分线。
∵
AD
是
△
ABC
的角平分线
∴∠
BAD =
∠
CAD =1/2
∠
BAC
三角形的三条角平分线相交于一点
,
交点在三角形的内部
三、
三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性
11.2
与三角形有关的角
四、
三角形的内角
三角形的内角：
三角形两边的夹角叫做三角形的内角。
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于
180
0
.
直角三角形的两个锐角互余
.
由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用 符号“
Rt
△”表示，直角三角形
ABC
也可以写成
Rt
△
ABC.
例：已知△
ABC
中
,
∠
A BC
＝∠
C=2
∠
A ,BD
是
AC
边上的高，求∠
DBC
的度数。
A
D
B
C
小结：由三角形内角和等于
180
°，可得出
(1)
直角三角形两锐角互余；
(2)
一个三角形最多有一个直角或钝角；
(3)
任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
(4)
一个三角形中至少有一个角小于或等于
60
°。
五、
三角形的外角
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的反向延 长线组成的角．
三角形的外角和
等于
360
°。
三角形外角的两条性质：
1
、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
2
、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
11.3
多边形及其内角和
六、
多边形
多 边形：
在平面内，
由
n
条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做
多边形。
多边形的内角和外角：
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；< br>多边形的边与它
的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
. n
边形有
n
个内角，
2n
个
（
n
对）外角
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：
如果多边形的各个角都相等，
各条边都相等，
那么就称 它为正多边形
.
多边形的内角和与外角和：
一般地，从
n
边形的一个顶点出发，可以作（
n-3
）
条对角线，它们将
n
边形 分为
(n-2)
个三角形，
n
边形的内角和等于（
n
－2
）
·
180
°
.
多边形的外角和等于
360
o
.
第十二章
全等三角形
一、
全等三角形
全等形：
形状、
大小相同的图形放在一起 能够完全重合。
能够完全重合的两个图
形叫做全等形。两个图形全等，它们的形状一定相同
，大小一定相等！
全等三角形：
能够完全重合的两个三角 形叫做全等三角形。
其中：
互相重合的顶
点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边， 互相重合的角叫做对应角。一个
三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
全等的表示
：
.
“全等”用符号“
≌
”来表示，读作全等于。书写全等式时要
求把对应字母放在对应的位置上
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
.
二、
全等三角形的判定
判定定理
1
：
三边对应相 等的两个三角形全等。
（简写为“边边边”或“
SSS
”
）
判定定理
2
：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
（简写为“边角边”
或“
SAS
”
）
判定定理
3：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
.(
简写成“角边角”
或 “
ASA
”
）
判定定理
4
：
两角和其中 一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(
简写成
“角
角边”或“
AAS
”
）
判定定理
5
（直角三角形）
：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“
HL”
）
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
例：已知：如图，
AB=AD
，
BC=DC
，
求证：△
ABC
≌
△
ADC
证明：在△
ABC
和△
ADC
中
AB=AD (
已知
)
BC=DC
（已知）
AC=AC
（公共边）
∴
△
ABC
≌
△
ADC
（
SSS
）
A
三、
角的平分线的性质
角平分线：
一条射线把一个角分成两个相等的
C
1
角，这条射线叫做这个角的平分线。
2
O
尺规作角的平分线：
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，
交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
1/2
ＭＮ
的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
角平分线的性质：
1
、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：
∵
QD
⊥
OA,QE
⊥< br>OB,
点
Q
在∠
AOB
的平分线上
∴
QD
＝
QE
2
、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵
QD
⊥
OA
，
QE
⊥
OB
，
QD
＝
QE
．
∴点
Q
在∠
AOB
的平分线上．
B
第十三章
轴对称
一、轴对称
轴对称图形：
把一个图形沿着某一条直线翻折，
如果直 线两旁的部分能够互相重
合，这个图形就是轴对称图形。这条直线是这个图形的对称轴。
轴对称：
平面上的两个图形，
将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，< br>如果它
能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这条直线对称，
简称轴对称
,
这条直线叫对称轴。
两个图形中的对应点
（即两图形重合时 互相重合的点）
叫做
关于这条直线的
对称点。
注意：如果一点在对称轴上，它的对称点就是它本身。
例：判断：
1
、轴对称图形必有对称轴
（
）
2
、轴对称图形至少有一条对称轴
（
）
3
、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合（
）
4
、两个完全互相重合的图形必是轴对称（
）
垂直平分线：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线，也叫中垂线。
图形轴对称的性质：
1
、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的
垂直平分线；
2
、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、线段的垂直平分线的性质：
1
、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
2
、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
尺规作线段的垂直平分线（
p63
）
三、
画轴对称图形
例：如图，已知△
ABC
和直线
l
，作出与△
ABC
关于直线
l
对称的图形。
作法：
（
1
）
过点
A
作直线
l
的垂线 ，垂足为点
O
，在垂
线上截取
OA
′
=OA，点
A
′就是点
A
关于直
线
l
的对称点。
（
2
）
< br>过点
B
作直线
l
的垂线，垂足为点
P
，在垂线
上截取
PB
′
=PB
，点
B
′就是点
B
关于直线
l
的对称点。
（
3
）
过点
C
作直线
l
的垂线，垂足为点
M
，在垂线上截取< br>MC
′
=MC
，点
C
′
就是点
C
关 于直线
l
的对称点。
（
4
）
连接A
′
B
′、
B
′
C
′、
C
′
A
′，得到△
A
′
B
′
C
′即为所求。< br>
作图步骤：
1
、找特征点
2
、作垂线
3
、截取等长
4
、依次连线
四、
等腰三角形
等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做
底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
.
等腰三角形的性质：
性质
1
：
等腰三角形的两底角相等。
（简写成“等边对等角”
）
性质
2
：
等腰三角形的顶角的平分线，
底边上的中线，
底边上的高互相重合。
（简
称“ 三线合一”
）
例：在△
ABC
中
, AB=AC,
点
D
在
AC
上
,
且
BD=B C=AD,
求△
ABC
各角的度数
解
:AB=AC,BD=BC=AD,
∠
ABC=
∠
C=
∠
BDC