飞向太空作文-卫鞅

2021年1月24日发(作者：孟贲)










北师大版《数学》

（八年级上册）知识点总结

大战场中学

第一章

勾股定理

1
、勾股定理


2

2

2




直角三角形两直角边

2
、勾股定理的逆定理

a
，
b
的平方和等于斜边

c
的平方，即

a

b

c

作用：用来在直角三角形中已知两边求第三边的长度

如果三角形的三边长


a
，
b
，
c
有关系

a

2

b

2

c

2
，那么这个三角形是直角三角形。



作用：已知三边用来判断三角形是否为直角三角形

3
、勾股数

：满足

a

2

b
2

c
2

的三个正整数，称为勾股数。






常见的勾股数：

3,4,5
；
6,8,10














第二章

实数

















一、实数的概念及分类

1
、实数的分类


正有理数


零


有理数

实数










有限小数和无限循环小数











负有理数


正无理数


负无理数

无理数

无限不循环小数

2
、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：



（
1
）开方开不尽的数，如




7 ,
3

2
等；














（
2
）有特定意义的数，如圆周率


π，或化简后含有

π
的数，
如

π

3

+8

等；



（

3
）有特定结构的数，如
0.1010010001 ,
等；

（

4
）某些三角函数值，如
sin60
o

等二、
实数的倒数、相反数和绝对值

1
、相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是

零），从数轴上看，

互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，

如果

a

与

b

互为相反数，








则有

a+b=0
，
a=
—
b
，反之亦成立。

2
、绝对值






在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

是它本身，也可看成它的相反数，若

（
|a|
≥
0
）。零的绝对
|a|=a
，则
a
≥
0
；若
|a|=-a
，则

值
a
≤
0
。

3
、倒数





如果
a
与
b
互为倒数，

则有
ab=1
，反之亦成立。

倒数等于本身的数是




1
和
-1
。零没有倒

数。

4
、数轴

规定了原点、

正方向和单位长度的直线叫做数轴

（画数轴时，

要注意上述规定的三要素缺
一不可）。




解题时要真正掌握数形结合的思想，

理解实数与数轴的点是一一对应的，

5
、估算

三、平方根、算数平方根和立方根



并能灵活运用。



1
、算术平方根：一般地，如果一个正数

x
的平方等于
a
，即
x
2
=a
，那么这个正数





x
就

叫做
a
的算术平方根。特别地，
0
的算术平方根是
0
。

表示方法：

正数
a
的算术平方根记作“


a
”，读作根号

a
。

2


性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2
、平方根：一般地，如果一个数

平方根（或二次方根）

。


x
的平方等于
a
，即
x =a
，那么这个数

x
就叫做
a
的










”，读作“正、负根号
a
”。

表示方法：

正数
a
的平方根记做“



性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数

a
的平方根的运算，叫做开平方。





a

a

a
的双重非负性：

0

注意
a
的算术平方根







a

0

3
、立方根


次方根）。


一般地，如果一个数



x
的立方等于
a
，即
x
3
=a
那么这个数
x
就叫做
a
的立方根（或三



表示方法：

一个数
a
的立方根记作

3
a


性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：

3






a

3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1
、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所

表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2
、实数大小比较的几种常用方法

（

1
）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（

2
）求差比较（作差法）

：设
a
、
b
是实数，






a
b

0

a

b ,

a

a

b

b

0

0

a

a

b ,

b





































































（
3
）求商比较法：

设

a
、
b

是两正实数，




a



1



a



b;

a


1



a

b;

a


1

a


b;

b

b

a




b

（
4
）绝对值比较法：设






a
、
b
是两负实数，则




b




a

b
。

（
5
）平方法：设


a
、
b
是两负实数，则

a
2

b
2

a

b
。

五、算术平方根有关计算（二次根式）


1
、含有二次根号“


”；被开方数

a
必须是非负数。

2
、性质：


（
1
）

(

a )
2







a ( a

0)

a ( a

0)

（
2
）

a
2







a

a( a

0 )

（
3
）

ab



a

b ( a

0 , b

0 )

（

a

b

ab ( a

0, b

0 )
）

（
4
）



a

b

a

(a 0 , b 0 )

b



（

a

b

a
( a 0, b 0)
）


b

3
、运算结果若含有“




a
”形式，必须满足：

（

1
）被开方数的因数是整数，因式是整

式；（
2
）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

（

1
）六种运算：

加、减、乘、除、乘方、开方

（

2
）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（

3
）运算律

加法交换律






a
( a

ab

b

b)

b
a

c a


加法结合律

乘法交换律

乘法结合律

乘法对加法的分配律




(b c )

ba


( ab ) c

a ( bc )


a (b

c )

ab

ac

第三章图形的平移与旋转




一、平移

1
、定义

在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。










2
、性质

平移前后两个图形是全等图形；

等，对应角相等。

二、旋转

1
、定义

在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋
转，这个定点称为 旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2
、性质

旋转前后两个图形是 全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的
连线所成的角

等于旋转角。

经过平移，

对应点连线平行且相等，

对应线段平行且相




第四章

四边形性质探索











一、四边形的相关概念

1
、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2
、四边形具有不稳定性

3
、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于

4
、推论：多边形的内角和定理：

360
°。

360
°。

( n
2)

n
边形的内角和等于

180
°；

5
、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于

6
、设多边形的边数为



360
°。

n (n 3)

2


n
，则多边形的对角线共有

条。从
n
边形的一个顶点出发能

引（
n-3
）条对角线，将
n
边形分成（
n-2
）个三角形。

二、平行四边形

1
、平行四边形的定义



:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。






2
、平行四边形的性质


（

1
）边：平行四边形的对边平行且相等。

（

2
）角：平行四边形的对角相等，邻角互补

（

3
）对角线：平行四边形的对角线互相平分。

（

4
）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（
1
）若一直线过平行四边形两对角线的交点，

则这条直 线被一组对边截下的线段的中
点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（
2
）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3
、平行四边形的判定方法

（

1
）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）

（

2
）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理

（

3
）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（

4
）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（

5
）结论：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

4
、两条平行线的距离

两条平行线中，

一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，

平行线间的距离处处相等。

叫做这两条平行线的距离。




















5
、平行四边形的面积

三、菱形

1

、菱形的定义

S

平行四边形

=
底边长×高
=ah

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2
、菱形的性质

（

1
）边：菱形的四条边相等，对边平行

（

2
）角：菱形的相邻的角互补，对角相等

（

3
）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（

4
）对称性：菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线 的交点（对称中
心到菱形四条边的距离相等）

；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3
、菱形的判定方法

（

1
）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）

（

2
）定理
1
：四条边相等的四边形是菱形

（

3
）定理
2
：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4
、菱形的面积
S
菱形
=
底边长×高
=
两条对角线乘积的一半四、
矩形













1

、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2
、矩形的性质

（

1
）边：矩形的对边平行且相等

（

2
）角：矩形的四个角都是直角

（

3
）对角线：矩形的对角线相等且互相平分

（

4
）对称性：矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中
心到矩形四个顶 点的距离相等）

；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3
、矩形的判定方法

（

1
）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（

2
）定理
1
：有三个角是直角的四边形是矩形

（

3
）定理
2
：对角线相等的平行四边形是矩形

4
、矩形的面积

S
矩形
=
长×宽
=ab

五、正方形

1

、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2
、正方形的性质

（

1
）边：正方形四条边都相等，对边平行

（

2
）角：正方形的四个角都是直角

（

3
）对角 线：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（

4
）对称性：正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称

轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3
、正方形的判定方法

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4
、正方形的面积































2

2
设正方形边长为










a
，对角线长为

b S
正方形
= a



b

2

六、梯形

（一）
1
、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2
、梯形的判定方法

（

1
）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（

2
）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形

特殊梯形

等腰梯形

（三）等腰梯形

1
、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2
、等腰梯形的性质

（

1
）边：等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（

2
）角：等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。

（

3
）对角线：等腰梯形的对角线相等。

（

4
）对称性：等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3
、等腰梯形的判定方法

（

1
）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（

2
）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（

3
）对角线相等的梯形是等腰梯形（选择题和填空题可直接用）

（四）梯形的面积

（
1
）如图，
S













直角梯形











梯形
ABCD























BAC

1

(CDAB ) DE

2


（
2
）梯形中有关图形的面积：





①

S

ABD

S







；




②

S

AOD

③

S

ADC

S








BOC

；

S

BCD




七、有关中点四边形问题的知识点：

（

1
）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（

2
）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（

3
）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

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