初二数学上册知识点总结及练习、答案(八年级上册)
温柔似野鬼°
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2021年01月24日 21:35
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橡树之谜-关于学习的名言
新人教版八年级上册数学知识点总结归纳
第
1
页至第
第十一章三角形
第十二章全等三角形
第十三章轴对称
第十四章整式乘法和因式分解
第十五章分式
18
页为八年级上册知识点总结归纳
1
第
19
页至第
24
页为八年级上册知识点练习题
第
25
页为练习题答案
第十一章
三角形
1
、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做
三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，
简称三角形的角。
2
、三角形中的主要线段
（
1
）三角形的一个 角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三
角形的角平分线。
（
2
）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（
3
）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线（简
称三角形的高）。
3
、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，
三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生
活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4
、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（
1
）三角形有三条线段
（
2
）三条线段不在同一直线上
（
3
）首尾顺次相接
三角形用符号“
5
、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
三角形是封闭图形
”表示，顶点是
A
、
B
、
C
的三角形记作“
ABC
”，读作“三角形
ABC
”。
不等边三角形
三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形
锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，
我们又有一种特殊的三角形：
等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的
直角三角形。
6
、三角形的三边关系定理及推论
（
1
）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（
2
）三角形三 边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形②当
已知两边时，可确定第三边 的范围。③证
明线段不等关系。
7
、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于
180
°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
面积
=
1
3
底
3
高
2
多边形知识要点梳理
定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形
多边形
分类
1
：
凹多边形
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类
2
：
非正多边形：
1
、
n
边形的内角和等于
180
°（
n-2
）。
2
多边形的定理
、任意凸形多边形的外角和等于
360
°。
3
、
n
边形的对角线条数等于
1/2 2 n
（
n-3
）
8
、三角形的
知识点一：多边形及有关概念
1
、
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
.
（
1
）多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个
n
边形有
n
个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（
2
）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于
3
的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件
,
其目的是为了排除几个点不共面的情况
,
即空间多边形
.
2
、多边形的分类
:
形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图
1
）
.
本章所讲的多边形都
是指凸多边形
.
(1)
多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边
凸多边形
凹多边形
图
1
(2)
多边形通常还以边数命名，
多边形有
n
条边就叫做
n
边形．三角形、四边形都属于多边形，
其中三角形是边数最少的多边形．
知识点二：正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形
要点诠释：
正方形
正五边形
正六边形
正十二边形
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可
.
如四条边都相等的 四边形不一定
是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相 等的四边
形才是正方形
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
.
如图
2
，
BD
为四边形
ABCD
的一条对角线。
要点诠释：
(1)
从
n
边形一个顶点可以引
(n
－
3)
条对角线，将多边形分成
(n
－
2)
个三角形。
(2)n
边形共有
条对角线。
证明：过一个顶点有
n
－
3
条对角线
(n
≥
3
的正整数
)
，又∵共有
n
个顶点，∴共有
条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸
n(n-3)
n
边形，共有
条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式
1.
公式：
边形的内角和为
.
2.
公式的证明：
证法
1
：在
边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成
，再减去一个周角，即得到
边形一个顶点作对角线，可以作
个三角形内角和恰好是
边形的内角和为
个三角形，这
个
.
三角形的内角和为
证法
2
：从
条对角线，并且
边形被分成
个三角形，这
边形的内角和，等于
.
证法
3
：在
边形的一边上取一点与各个顶点相连，得
个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，
即
.
个三角形，
边形内角和等
于这
要点诠释：
(1)
注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
(2)
内角和定理的应用：①已知多边形的
边数，求其内角和；②已知多边 形内
角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式
1.
公式：多边形的外角和等于
360
°
.
2.
多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以
边形
的内角和加外角和为
，外角和等于
.
注意：
n
边形的外角和恒等于
360
°，它与边数的多少无关。
要点诠释：
(1)
外角和公式的应用：①已知外角度数，
求正多边形边数；②已知正多边形边
数，求外角度数
.
(2)
多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①
n
边形的内角和等于
(n
－
2) 2 180
°
(n
≥
3
，
n
是正整数
)
，可见多边形内角和与边数
n
有关，
每增加
1
条边，内角和增加
180
°。
②多边形的外角和等于
360
°，与边数的多少无关。
知识点六：镶嵌的概念和特征
1
、定义：用一些不重叠摆放的多 边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边
形覆盖平面
(
或平面镶嵌
)
。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
2
、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于
360
°；相邻的多边形有公共边。
3
、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
为
360
°。
(2)
只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问
(1)
用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和
题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组
成一个周角
360
°时，就能铺成一个平面图形。
事
实
上
，
正
n
边
形
的
每
一
个
内
角
为
，要求
k
个正
n
边形各有一
个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样
360
°＝
，由此导出
k
＝
＝
2
＋
，而
k
是正整数，所以
n
只能取
3,4
，
6
。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有
正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于
360
°。所以用一批形状、
大小完全相同但不规则的四边形
地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
(3)
用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各
角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角
形与 正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三 角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为
它们的交接处各角之和恰好为一个 周角
360
°。
规律方法指导
1
．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少
.
每增加一条边，
内角的和就增加
180
°（反过来也成立）
，且多边形的内角和必须是
180
°的整数倍
.
2
．多边形外角和恒等于
360
°，与边数的多少无关
.
3
．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）
；多边形的外角中最多有三个钝
角，最少没有钝角
.
4
．在运用多边形的内角和公式与外角 的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是
解决本节问题的常用方法
.
5
．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决
.
三角形是一种基本
图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用
.
经典例题透析
类型一：多边形内角和及外角和定理应用
1
．一个多边形的内角和等于它的外角和的
5
倍，它是几边形？
总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用
.
只要设出边数
.
，根据
条件列出关于
的方程，求出
的值即可，这是一种常用的解题思路
举一反三：
【变式
1
】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为
1800
°，求这个多边形的边数
.
【变式
2
】一个多边形除了一个内角外，
其余各内角和为
2750
°，求这个多边形的内角和是多少？
【答案】设这个多边形的边数为
，这个内角为
，
.
【变式
3
】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为
1350
°，求这个多边形的边数。类
型二：多边形对角线公式的运用
【变式
1
】一个多边形共有
20
条对角线，则多边形的边数是（
）
.
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
【变式
2
】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个
才能记得牢。
n
边形的对角线的条数，我们可以总结出规律
条，牢记这个公
n
的值代入
式，以后只要用相应的上
即可求出对 角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之
类型三：可转化为多边形内角和问题
【变式
1
】如图所示，∠
1+
∠
2+
∠
3+
∠
4+
∠
5+
∠
6=__________.
【变式
2
】如图所示，求∠
A
＋∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
＋∠
F
的度数。
类型四：实际应用题
4
．如图，一辆小汽车从
P
市出发，先到
B
市，再到
C
市，再到
A
市，最后返回
P
市，这辆小汽车共转了多少度角？
思路点拨：根据多边形的外角和定理解决
.
举一反三：
【变式
1
】如图所示，小亮从
A
点出发前进
10m
，向右转
15
°，
再前进
10m
，又向右转
15
°，
,
，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，
一共走了
__________m.
【变式
2
】小华从点
A
出发向前走
10
米，向右转
36
°，然后继续向前走
10
米，再向右转
36
°，他以同样的方
法继续走下去，他能回到点
A
吗？若能，当他走回点
A
时共走了多少米？若不能，写出理由。
【变式
3
】如图所示是某厂生产的一块模板，已知
该模板的边
AB
∥
CF
，
CD
∥
AE.
按规定
AB
、
CD
的延长线相交成
80
°角，因交点不在模板上，不便
测量
.
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道
AB
、
CD
的延 长线的夹角是否合乎规定，你知道需测
哪一个角吗？说明理由
.
思路点拨：本题中将
AB
、
CD
延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为
540
°，又由
AB
∥
CF
，
CD
∥
AE
，可知∠
BAE+
∠
AEF+
∠
EFC=360
°，从
540
°中减去
80
°再减去
360
°，剩下∠
C
的度数为
100
°，所以只需测∠
C
的度数即可，同理还可直接测∠
A
的度数
.
总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线
.
类型五：镶嵌问题
5
．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
(1)
正方形和正八边形；
(2)
正三角形和正十二边形；
(3)
正三角形、
正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多边形
的内角的和能构成一个周角，那么这些多
边形就能作平面镶嵌。
解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是
60
°、
90
°、
120
°、
135
°、
150
°。
(1)
因为
90
＋
23 135
＝
360
，所以一个顶点处有
1
个正方形、
2
个正八边形，如图
(1)
所
示。
(2)
因为
60
＋
23 150
＝
360
，所以一个顶点处有
1
个正三角形、
2
个正十二边形，如图
(2)
所示。
(3)
因为
60
＋
23 90
＋
120
＝
360
，所以一个顶点处有
1
个正三角形、
1
个正六边形和
2
个正方形，如图
(3)
所示。
总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图 形，实质上是相关正多边形
“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：
【变式
1
】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；
④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是
( )A
、①
B
、②
C
、③
D
、④
解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不
能用正五边形木板，故
【变式
2
】用三块正多边形的木板铺地，
拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，
其中两块
木板的边数都是
8
，则第三块木板的边数应是
A
、
4
( )
B
、
5
C
、
6
D
、
8
【答案】
A
（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以
2
，然后用
360
°减去
刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）
练习
1
．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为
600
°，求这个多边形的边数．
2
．
n
边形的内角和与外角和互比为
13
：
2
，求
n
．
3
．五边形
ABCDE
的各内角都相等，且
AE
＝
DE
，
AD
∥
CB
吗？
4
．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
5
．四边形
ABCD
中，∠
A+
∠
B=210
°，∠
C
＝
4
∠
D
．求：∠
C
或∠
D
的度数．
6
．在四边形
ABCD
中，
AB
＝
AC
＝
AD
，∠
DAC
＝
2
∠
BAC
．
求证：∠
DBC
＝
2
∠
BDC
．
第十二章
全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的 全
等形。
2
、全等三角形有哪些性质
（
1
）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（
2
）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（
3
）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3
、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
SSS
”
)
SAS
”
)
ASA
”
)
AAS
”
)
边角边
:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“
角边角
:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
角角边
:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
斜边
.
直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“
4
、证明两个三角形全等的基本思路：
HL
”
)
二、角的平分线：
1
、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等
.
2
、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（
1):
要正确区分“对应边”与“对边” ，“对应角”与
“对角”的不同含义；
（
2
）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（
3
）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等；
（
4
）：时刻注意图形中的隐含条件，如
“公共角”
、“公共边”、“对顶角”
1
、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，
互相重合的顶点叫做对应顶
点， 互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，
夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2
、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”
。如△
ABC
≌△
DEF
，读作“三角形
ABC
全等于三角
形
DEF
”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3
、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（
1
）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等（可简写成“边角边”
或“
SAS
”）
（
2
）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”
或“
ASA
”）
（
3
）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“
SSS
”）。直
角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有
HL
定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条
直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“
HL
”）
4
、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（
1
）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（
2
）对称变换：将图形沿某直线翻折
180
°，这种变换叫做对称变换。
（
3
）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
第十三章
轴对称
一、轴对称图形
1.
把一个图形沿着一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对
称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我 们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于
这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点
知识回顾：
3
、轴对称图形和轴对称的区别与联系
,
叫做对称点
3
、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A
A
轴对称
A'
图形
区别
(1)
轴对称图形是指
(
一个
)
具
有特殊形状的图形
,
只对
(
一
)
个
图形而言
(2)
对称轴
(
不一
)
定
只有一条
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分
,
那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称
.
B
C
BC
(1)
轴对称是指
(
两
)
个
图形
的位置关系
,
必须涉及
(
两
)
个
图形
;
(2)
只有
(
一
)
条
对称轴
.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体
,
那
么它就是一个轴对称图形
.
C'B'
联系
4.
轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。②如果两个图 形关于某条直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。③轴对称图形的对称轴，是 任何一对
对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对 应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
2.
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
1.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
3.
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三
、
用
坐
标
表
示
轴
对
称
小
结
：
在平面直角坐标系中，关于
x
轴对称的点横坐标相等
,
纵坐标互为相反数
.
关于
y
轴对称的点横坐标互
为相反数
,
纵坐标相等
.
点（
x, y
）关于
x
轴对称的点的坐标为
______.
点（
x, y
）关于
y
轴对称的点的坐标为
______.
2.
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等< br>四、（等腰三角形
)
知识点回顾
1.
等腰三角形的性质
①
.
等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
②
.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）
2
、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）五、
（等边三角形）知识点回顾
1.
等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
2
、等边三角形的判定：
600
。
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是
600
的等腰三角形是等边三角形。
30
0
，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.
在直角三角形中，如果一个锐角等于
1
、等腰三角形的性质
（
1
）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论
1
：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边
上的中线、底边上的高重合。
推论
2
：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于
60
°。
（
2
）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于
45
°
②等腰三角形
的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角）
，但顶角可为钝角（或直角）
。
三角形的三边关系：设腰长为
a
，底边长为
b
，则
2
A
，底角为∠
B
、∠
C
，则∠
A=180
°—
2
∠
B
，∠
B=
b
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠
A
∠
C=
180
2
2
、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）
。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。