苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版)
绝世美人儿
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2021年01月24日 21:47
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苏教版八年级上数学期末复习知识点总结
+
例
题
(
完美版
)
第一章
三角形全等
1
、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等
三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②
一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到 的三角形，与原三角形
仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2
、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角
相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小
角对最小角；②对应角的对边为对应边，对 应边对的角为对应
角。⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别
相等。
3
、全等三角形的判定：
①边角边公理
(SAS)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。②角边角
公理
(ASA)
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有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。③推论
(AAS)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。④边
边边公理
(SSS)
有三边对应相等的两个三角形全等。⑤斜边、直角边公理
(HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4
、证明两个三角形 全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三
边（
SSS
）；②找夹角（
SAS< br>）；③找是否有直角（
HL
）、⑵已知
一边一角：①找一角（
AAS< br>或
ASA
）；②找夹边（
SAS
）、
⑶已知
两角：①找夹边（
ASA
）；②找其它边（
AAS
）、
ABCDE
例题评析例
1
已知：如图，点
D
、
E
在
BC
上，且
BD=CE
，
AD=AE
，求证：
A B=A
C
、
BCDEFA
例
2
已知：如图，
A
、
C
、
F
、
D
在同一直线上 ，
AF
＝
DC
，
AB
＝
DE
，
B C
＝
EF
，求证：
△ABC≌△DEF、
BCDEFA
例< br>3
已知：BE⊥CD，
BE
＝
DE
，
BC
＝
DA
，求
证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥B
C
、例
4
如图，在△ABE
中，
AB
＝
AE, AD
＝AC,∠
BAD
＝∠EAC, B
C
、
DE
交于点
O
、求证：
(1)
△ABC≌△AED；
(2)
OB
＝
OE
、例
5
如图，在正方形
ABCD
中，
E
为
DC
边上的点，
连接
BE
，将△BCE
绕点
C
顺 时针方向旋转
90
得到△DCF，连接
第
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EF
，若∠BEC=60，求∠E FD
的度数、例
6
如图，将长方形纸片
ABCD
沿对角线
A C
折叠，使点
B
落到点
B′的位置，AB′与
CD
交
于点
E
、（
1
）试找出一个三角形与△AED
全等，并加以证明、
（
2
）若
AB=8
，
D E=3
，
P为线段
AC
上的任意一点，PG⊥AE
于
G
，
PH⊥E C
于
H
，
PG+PH
的值会变化吗？若变化，请说明理由；
若不
变化，请求出这个值 。例
7
已知，点
P
是直角三角形
ABC
斜边
AB< br>上一动点（不与
A
，
B
重合），分别过
A
，
B
向直线
CP
作垂线，垂
足分别为
E
，
F
，
Q
为斜边
AB
的中点、（
1
）如图
1
， 当点
P
与点
Q
重合时，
AE
与
BF
的位置 关系是
，
QE
与
QF
的数量关系是
；
（
2
）如图
2
，当点
P
在线 段
AB
上不与点
Q
重合时，试判
断
QE
与
QF
的数量关系，并给予证明；
（
3
）如图
3
， 当点
P
在线
段
BA
（或
AB
）的延长线上时，此时 （
2
）中的结论是否成立？请
画出图形并给予证明、复习作业：解答题
1
、（
1
）如下图，等边△AB
C
内有一点
P
若点
P
到顶点
A
，
B
，
C
的距离分别为< br>3
，
4
，
5
，则∠APB=__________。分析：由 于
PA
，
PB
不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP
绕顶
点
A
旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_____________这样， 就可
以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中
从而求出∠APB
的度数。（
2
）请你利用第（
1
）题的解答思想方
法，解答下面问题 ：已知如右图，△ABC
中，∠CAB=90，
AB=AC
，
E
、< br>F
为
BC
上的点且∠EAF=45，求证：
EF2=BE2+FC2< br>。
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2
、如图所示，四边形
ABCD
的对角线< br>AC
，
BD
相交于点
O
，
△ABC≌△BA
D
、求证：（
1
）
OA=OB
；（
2
）A B∥C
D
、
3
、如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=1 0，
∠B=∠D=25，∠EAB=120，求∠DFB
和∠DGB
的度数、
4
、如图所
示，已知
AE⊥AB，AF⊥AC，
AE=AB
，
AF=A
C
、求证：（
1
）
EC=BF
；（
2
）EC⊥BF、
5
、已知：如图，
AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E、求 证：
BC=E
D
、
6
、如图所示，在△ABC
中，
AB=AC
，BD⊥AC
于
D
，CE⊥AB
于
E
，
BD
，
CE
相交于
F
、求证：
AF
平分 ∠
BA
C
、
7
、△ABC
中，∠ACB＝
90< br>，
AC
＝
BC
＝
6
，
M
点在边AC
上，
且
CM
＝
2
，过
M
点作AC
的垂线交
AB
边于
E
点、动点
P
从点A
出发
沿
AC
边向
M
点运动，速度为每秒
1< br>个单位，当动点
P
到达
M
点
时，运动停止、连接
EP
，
E
C
、在此过程中，⑴ 当
t
为何值时，△EPC
的面积为
10
？⑵
将△EPC< br>沿
CP
翻折后，点
E
的对应点为
F
点，当
t
为何值时，
PF∥EC？
8
、在△ABC
中，∠ABC＝
90
，分别以边
A
B
、
B
C
、
CA
向△ABC
外作正方形
ABHI
、正方形
BCGF
、正方形
CAED
，连接
GD
，
AG
，
B
D
、⑴ 如图
1
，求证：
AG
＝
B
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D
、
⑵ 如图
2
，试说明：S△ABC＝S△CDG、（ 提示：正方形
的四条边相等，四个角均为直角）
图
1
图
2
第二章
轴对称
1
、轴对称图形相 对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线
对称的两个图形而言。
2
、
轴对称的性质：
①轴对称图形的对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平
分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一
对对应 点所连的线段的垂直平分线；
3
、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线 上的点
到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂
直平分线上。拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶
点的距离相等
4
、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的
距离相等。
②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线
上。拓展：三角形三个角的角平分线 的交点到三条边的距离相
等。
5
、等腰三角形：
①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等
角）
⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线
第
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互相重合。（三线合一）
②判断定理：一个三角形的两个相等的
角所对的边也相等。（等角对等边）
6
、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相
等；⑵等边三角形的三个内角都相等 ，都等于
60
；拓展：等边三
角形每条边都能运用三线合一这性质。②判断定理：⑴三 条边都
相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三
角形；有两个角是
60
的三角形是等边三角形；
⑶有一个角是
60
的等腰三角形是等边三角形。
7
、直角三角形推论：
⑴直角三角形中，如果有一个锐角是
30< br>，那么它所对的直角
边等于斜边的一半。⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半 。拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。例题评析
1
、线段的对称轴有
条，是
2
、线段垂直平分线上的点到
的距离相等
∵ ∴
3
、到
距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵ ∴ ∵ ∴ ∴
例
1
：如图，在△ABC
中，
DE< br>是
AC
的垂直平分线、
(1)
若
AC
＝
6
，△ABD
的周长是
13
，则△ABC
的周长是
_____ __
；
(2)
若△ABC
的周长是
30
，△ABD
的周长是
25
，则
AC
＝
_______
、例
2
：如图，
在△ABC
中，边
A
B
、
AC
的垂直平分线分别交
BC
于点
E
、点
D
、
(1)
若
BC
＝
8
，则△ADE
的周长是
___ ____
；
(2)
若∠BAC=110，那么∠EAD＝
______(3)
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若∠EAD=100，那么∠BAC＝
______
4
、角的对称轴有
条，是
5
、角平分线上的点到
的距离相等∵ 又∵ ∴
6
、角的内部到
距离相等
的点在角的平分线上
∵ 又∵ ∴
例
3
：如图，在△ABC
中，∠C=90，
AD
平分∠BA
C
、
(1)
若
CD=5
，则点
D
到
AB
的距离为
、
(2)
若
BD
：
DC=3
：
2
，点
D
到
AB
的距离为
6
，则
BC
的长是
、例
4
：如图，
OP
平分∠AOB，
PAOA
，
PBOB
，垂足分别为
A
、
B
、下列结论中，不一定成立的是
( )
A
、
PA=PB
B
、
PO
平分∠APB
C
、
OA=OB
D
、
AB
垂直平分
OP
补充：①三角形的三条边的垂直平分线的
交点到
的距离相等②三角形的三条角平分线的交点到
的距离相
等
1
、请你先在图的
BC
上找一点
P
，使点
P
到< br>A
B
、
AC
的距离相等，再在射线
AP
上找一点< br>Q
，使
QB=Q
C
、
2
、
如图 ，求作点
P
，使点
P
同时满足：①PA=PB；②到直
线
m
，
n
的距离相等、
7
、等边对等角
∵ ∴
8
、等角对等边
∵ ∴
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9
、等腰三角形
、
、
重合（三线合一）
（有
条对称轴）
∵ ∵ ∵ 又∵ 又∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ 例
5
：（
1
）等腰三角形的一
边长为5
，另一边长为
11
，则该等腰三角形的周长为
（
2
）等腰
三角形的两边长分别为
4
、
5
、则该等腰三角形的周长为
（
3
）已知等腰三角形的一
个外角为
100
，则这个等腰三角形的顶角为
____ ______
、（
4
）等
腰△ABC
中，若∠A=30，则∠B= 、例
6
：
(1)
如图①，在
Rt△ABC
中，若
A B=AC
，
AD=AE
，∠BAD=40,则∠EDC=_______、
( 2)
如图②，
∠ACB=90,E、
F
为
AB
上的点，AE=AC
，
BC=BF
，则∠ECF=___ __、
③(3)如图③，
AB=AC=DC
，且
BD=AD
，则∠B=___ __、例
7
：如
图，∠AB
C
、∠ACB
的平分 线相交于点
F
，过点
F
作
DE∥BC，交
AB
于点
D
，交
AC
于点
E
、试说明
BD
＋
EC
＝
DE
、例
8
：如图，已知
AB=AC
，< br>AD=AE
、求证：
BD=CE
、例
9
：在△ABC
中，
AB=AC
，点
D
是
BC
的中
点，点
E
在
AD
上、（
1
）求证：
BE=CE
；（
2
）如图
2
，若
BE
的延
长线交
AC
于 点
F
，且
BF⊥AC，垂足为
F
，∠BAC=45，原题设其它条件不变、求证：△AEF≌△BCF、
10
、（
1
）等边三角形的性质：等边三角形的三条边
，三个
角都是
，每条边上都有三线合一，有
条对称轴
（
2
）等边三角
形的
3
个判定方法：三条边都
的三角形是等边三角形三个角都
的三角形是等边三角形有一个角是
的
三角形是等边三角形例
10
：
(1)
如图①， 在等边三角形
ABC
中，
BD
＝
CE
，
AD
与
BE
相交于
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点
P
，则∠APE=____、
(2)如图②，正方形
ABCD
，△EAD
为等边三
角形，则∠EBC＝
_______
、
ABCD(3)
如图③，已知等边△ABC，
AC=AD ,
且
AC⊥AD，垂足为
A
，则∠BEC＝
_______
、① ② ③例
11
：如图，
C
为线段
AE
上一动点
(
点
C
不与点
A
、
E
重合
)
，在
AE
的同侧分别作等边△ABC
和等边△CDE，
AD
与
BE
相交于点
O
，
AD
与
BC
相交于点
P
，
BE
与
CD
相交于点
Q
，连
接
PQ
、下列五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；
⑤∠AOB=60，其中恒成立的有
__________(
填序号
)
、例
12
：如
图，△ABC
是等边三角形，
D
是
AB< br>边上的一点，以
CD
为边作等边
三角形
CDE
，使点
E
、
A
在直线
DC
的同侧，连接
AE
、求证：AE ∥B
C
、
11
、直角三角形斜边上的中线等于
∵ 又∵ ∴
12
、用等积法求直角三角形斜边上的高
SΔABC= =
13
、直角三角形中，
30
的角所对的直角边等于
∵ 又∵ ∴
例
12
：
(1)
在
Rt△ABC
中，∠ C=90，
CD
是斜边
AB
的中线，且
CD=4
cm，则
AB=_______
、
(2)
在
Rt△ABC
中 ，∠C=90，∠B=30，
AB=8
，
则
AC=_______
、
(3)
在
Rt△ABC
中，∠C=90，
AC=8
，
BC=6
，则
AB
边上的高
CD=
、例
13
：如图，在△ABC
中，
B
D
、
CE
是高，
G
、
F
分别是
B
C
、
DE
的中点，连接
GF
，求证：
第
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< br>GF⊥DE、例
14
：如图，已知：三角形
ABC
中，∠A＝
90
，
AB
＝
AC
，
D
为
BC
的 中点，
E
，
F
分别是
AB
，
AC
上的点 ，且
BE
＝
AF
，求
证：△DEF
为等腰直角三角形、相关 练习：
1
、如图，在△ABC
中，
BC=8 cm
，BP
、
CP
分别是∠ABC
和
∠ACB
的平分线，且< br>PD∥AB，PE∥AC，求△PDE
的周长、
2
、如
图，在边长为< br>2
等边△ABC
中，
AD
是
BC
边上的中线，E
、
F
是
AD
的三等分点，则图中阴影部分的面积是
_ _________cm
2
、
3
、如图，在△ABC
中，
CD
与
C
，分别是△ABC
的内角、外
角平分线，
DF// BC
交
AC
于点
E
、试说明
(1)
△DCF为直角三角形；
(2)DE=EF
、
4
、如图，△ABC
是等腰 三
角形，∠B=∠C，
AD
是底边
BC
上的高，DE∥AB
交
AC
于点
E
、试找
出图中除△ABC
外的等腰三角形，并 说明你的理由、
5
、如图，
AD
是△ABC
的角平分线，点
E
在
AB
上，且
AE=AC
，EF∥BC
交
AC< br>于点
F
、求证：
EC
平分∠DEF、
6
、如图，AC
平分∠BAD，CE⊥AB
于
E
，
CF⊥AD
于< br>F
，且
BC
＝
D
C
、
BE
与< br>DF
相等吗？请说明理由、
7
、如图，
C
为线段
AB
上
任意一点（不与
A
、
B
重合），在
A B
的同侧分别作△ACD
和△BCE，
CA
＝
CD
，
CB
＝
CE
，∠ACD
与∠BCE
都是锐角，且∠ACD＝∠BC E，连接
AE
交
CD
于点
M
，连接
BD
交
CE
于点
N
，
AE
与
BD
交于点
P
，连接
P
C
、试说明：
(1)
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△ACE≌△DC
B
、
(2)
PC
平分∠AP
B
、
8
、如图，等边△ABC< br>中，
D
是
AC
的中点，延长
BC
到点
E，使
CE=CD
，
AB=10cm
、
( l
）求
BE
的长；
(2
）试说明
BD=ED
9
、画图、证明：如图，∠AOB=90，点
C
、
D
分别在
O
A
、
OB
上、 （
1
）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作
∠AOB
的平分线
OP
；作线段
CD
的垂直平分线
EF
，分别与
C
D
、
OP
相交于
E
、
F
；连接
OE
、
CF
、
DF
、（
2
）在所画图中，①
线段OE
与
CD
之间有怎样的数量关系，并说明理由、②求证：
△CDF为等腰直角三角形
10
、如图，已知点
D
为等腰直角△ABC
内一点，∠CAD＝∠CBD
＝
15
，
E
为
AD< br>延长线上的一点，且
CE
＝
C
A
、（
1
） 求证：
DE
平分∠BDC；（
2
）若点
M
在
DE< br>上，且
DC=DM
，求证：
ME=B
D
、
11
、如图，设∠BAC=θ（
0
＜θ＜< br>90
）、现把小棒依次摆放在
两射线之间，并使小棒两端分别落在射线
AB，
AC
上、从点
A1
开
始，用等长的小棒依次向右摆放，其中< br>A1A2
为第一根小棒，且
A1A2=AA1
、
(1)
小棒能无限摆下去吗？答：
第
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