关于鲸的资料-mother

2021年1月24日发(作者：雨灾)

全等三角形

类型一：全等三角形性质的应用



1
、如图，△
ABD
≌△
ACE
，
AB
=
AC
，写出图中的对应边和对应角
.














按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解
.



思路点拨
:
AB
=
AC
，
AB
和
AC
是对应边，∠
A
是公共角，∠
A
和∠< br>A
是对应角，


解析：
AB
和
AC
是对应边，
AD
和
AE
、
BD
和
CE
是 对应边，∠
A
和∠
A
是对应
角，∠
B
和∠
C
，∠
AEC

和∠
ADB
是对应角
.


总结升华：
已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应
角 ，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边
.


已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角
.


举一反三：



【变式
1
】如图，△
A BC
≌△
DBE
.
问线段
AE
和
CD
相等 吗？为什么？




















【答案】证明：由△
ABC
≌△
DBE
，得
AB =DB,BC=BE
，

则
AB-BE=DB- BC
，即
AE=CD
。



【变式
2
】如右图，







求证：
AE
∥
CF


【答案】
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，
。









∴
AE
∥
CF



2
、如图，已知Δ
ABC
≌Δ
DEF
，∠
A=30
°，∠
B=50
°，
BF=2
，求∠
DFE
的度
数与
EC
的长。



思路点拨
:

由全等三角形性质可知：∠
DFE=
∠
ACB
，
EC+CF=BF+FC
，所以只
需求∠
ACB
的度数与
BF
的长即可。



解析：
在Δ
ABC
中，






∠
ACB=180
°
-
∠
A-
∠
B
，






又∠
A=30
°，∠
B=50
°，






所以∠
ACB=100
°
.





又因为Δ
ABC
≌Δ
DEF
，






所以∠
ACB=
∠
DFE
，






BC=EF
（全等三角形对应角相等，对
应边相等）。






所以∠
DFE=100
°






EC=EF-FC=BC- FC=FB=2
。



总结升华：
全等三角形的对应角相等，对应边相
等。



举一反三：



【变式
1
】如图所示，Δ
ACD
≌Δ
ECD
，Δ
CEF
≌Δ
BEF
，∠< br>ACB=90
°
.







求证：（
1
）
CD
⊥
AB
；（
2
）
EF
∥
AC.


【答案】



(1
）因为Δ
ACD
≌Δ
ECD
，





所以∠
ADC=
∠
EDC
（全等三 角形的对
应角相等）
.




因为∠
ADC+
∠
EDC=180
°，所以∠
ADC=
∠
EDC= 90
°
.




所以
CD
⊥
AB.


(2
）因为Δ
CEF
≌Δ
BEF,




所以∠
CFE=
∠
BFE
（全等三角形的对
应角 相等）
.




因为∠
CFE+
∠
BFE=180
°，





所以∠
CFE=
∠
BFE=90
°
.




因为∠
ACB=90
°
,
所以∠
AC B=
∠
BFE.




所以
EF
∥
AC.
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类型二：全等三角形的证明



3
、如图，
AC
＝
BD
，
D F
＝
CE
，∠
ECB
＝∠
FDA
，求证：△
ADF
≌△
BCE
．



思路点拨
:

欲证△
ADF
≌△
BCE
， 由已知可知已具备一边一角，由公理的条
件判断还缺少这角的另一边，可通过
AC
＝< br>BD
而得



解析：
∵
AC
＝
BD(
已知
)





∴
AB-BD
＝
AB- AC(
等式性质
)





即
AD
＝
BC





在△
ADF
与△
BCE
中











∴△
ADF
≌△
BCE(SAS)



总结升华：
利用全等三角形证明线段
(
角
)
相等的一般方法和步骤 如下：



(1)
找到以待证角
(
线段
)
为内角
(
边
)
的两个三角形，



(2)
证明这两个三角形全等；



(3)
由全 等三角形的性质得出所要证的角
(
线段
)
相等．



举一反三：



【变式
1
】如图，已 知
AB
∥
DC
，
AB
＝
DC
，求证：AD
∥
BC


【答案】∵
AB
∥
CD






∴∠
3
＝∠
4






在△
ABD
和△
CDB
中














∴△
ABD
≌△
CDB(SAS)






∴∠
1
＝∠
2(
全等三角形对应角相等
)






∴
AD
∥
BC(
内错角相等两直线平行
)


【变式
2
】如图，已知
EB
⊥
AD
于< br>B
，
FC
⊥
AD
于
C
，且
EB＝
FC
，
AB
＝
CD
．








求证
AF
＝
DE
．



【答案】∵
EB
⊥
AD(
已知
)






∴∠
EBD
＝
90
°
(
垂直定义
)






同理可证∠
FCA
＝
90
°







∴∠
EBD
＝∠
FCA






∵
AB
＝
CD
，
BC
＝
BC






∴
AC
＝
AB+BC
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＝
BC+CD








＝
BD






在△
ACF
和△
DBE
中














∴△
ACF
≌△
DBE(S
．
A
．
S)






∴
AF
＝
DE(
全等三角形对应边相等
)
类型三：综合应用



4
、如图，
AD
为Δ
ABC
的中线。求证：
AB+AC>2AD.


思路点拨
:

要证
AB+AC>2AD
，由图想到：
AB+BD>AD
，
AC+CD>AD
，所以
AB+AC+BC>2AD< br>，所以不能直接证出。由
2AD
想到构造一条线段等于
2AD
，即倍< br>长中线。



解析：
延长
AD
至
E
，使
DE=AD
，连接
BE





因为
AD
为Δ
ABC
的中线，






所以
BD=CD.





在Δ
ACD
和Δ
EBD
中，











所以Δ
ACD
≌Δ
EBD(SAS).





所以
BE=CA.






在Δ
ABE
中，
AB+BE>AE
，所以AB+AC>2AD.


总结升华：
通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。



举一反三：



【变式
1
】已知：如 图，在
Rt
Δ
ABC
中，
AB=AC,
∠
BAC= 90
°
,
∠
1=
∠
2
，
CE
⊥< br>BD
的延长线于
E
，








求证：
BD=2CE.


【答案】分别延长
CE
、
BA
交于
F.






因为
BE
⊥
CF,< br>所以∠
BEF=
∠
BEC=90
°
.






在Δ
BEF
和Δ
BEC
中，

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所以Δ
BEF
≌Δ
BEC(ASA).






所以
CE=FE=
CF.






又因为∠
BAC=90
°
,BE
⊥
CF.






所以∠
BAC=
∠
C AF=90
°，∠
1+
∠
BDA=90
°，∠
1+
∠
BFC=90
°
.






所以∠
BDA=
∠
BFC.






在Δ
ABD
和Δ
ACF
中，













所以Δ
ABD
≌Δ
ACF(AAS)






所以
BD=CF.
所以
BD=2CE.




5
、如图，
AB
＝
CD
，
BE
＝
DF
，∠
B
＝∠
D
，< br>






求证：
(1)A E
＝
CF
，
(2)AE
∥
CF
，
(3)< br>∠
AFE
＝∠
CEF


思路点拨
:
(1)
直接通过△
ABE
≌△
CDF
而得，
(2)
先证明∠
AEB
＝∠
CFD
，
(3)
由
(1)(2)
可证明△
AEF
≌△
CFE
而得，总之，欲证两边
(
角
)
相等，找这两边
(
角
)
所在的两个三角形然后证明它们全等．



解析：



(1)
在△
ABE
与△
CDF
中










∴△
ABE
≌△
CDF(SAS)




∴
AE
＝
CF(
全等三角形对应边相等
)


(2)
∵∠
AEB
＝∠
CFD(
全等 三角形对应角相等
)




∴
AE
∥
CF(
内错角相等，两直线平行
)


(3)
在△
AEF
与△
CFE
中






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∴△
AEF
≌△
CFE(SAS)



∴∠
AFE
＝∠
CEF(
全等三角形对应角相等
)


总结升华：
在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角
(边
)
作为判定另
一对三角形全等的条件．



举一反三：



【变式
1
】如图，在△
ABC
中，延长
AC
边上的中线
BD
到
F
，使DF
＝
BD
，延
长
AB
边上的中线
CE
到
G
，使
EG
＝
CE
，求证
AF
＝
AG
．



















【答案】在△
AGE
与△
BCE
中













∴△
AGE
≌△
BCE(SAS)







∴
AG
＝
BC(
全等三角形对应边相等
)






在△
AFD
与△
CBD
中













∴△
AFD
≌△
CBD(SAS)






∴
AF
＝
CB(
全等三角形对应边相等
)






∴
AF
＝
AG(
等量代换
)




6
、如图
AB
＝
AC
，
B D
⊥
AC
于
D
，
CE
⊥
AB
于< br>E
，
BD
、
CE
相交于
F
．







求证：
AF
平分∠
BAC
．



思路点拨
:

若能证得得
AD=AE
，由于∠
AD B
、∠
AEC
都是直角，可证得
Rt
△
ADF
≌< br>Rt
△
AEF
，而要证
AD=AE
，就应先考虑
Rt
△
ABD
与
Rt
△
AEC
，由题意已知
A B=AC
，∠
BAC
是公共角，可证得
Rt
△
ABD
≌
Rt
△
ACE
．



解析：
在
Rt
△
ABD
与
Rt
△
ACE
中
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∴
Rt
△
ABD
≌
Rt
△
AC E(AAS)





∴
AD=AE(
全等三角形对应边相等
)





在
Rt
△
ADF
与
Rt
△< br>AEF
中













∴
Rt
△
ADF
≌
Rt
△
AEF(HL)





∴∠
DAF=
∠
EAF(
全等三角形对应角相等
)





∴
AF
平分∠
BAC(
角平分线的定义
)
总结升华：
条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的
结论。


举一反三：



【变式
1
】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．



【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．











已知：如图， 在△
ABC
与△
A
′
B
′
C
′中．
AB=A
′
B
′，
BC=B
′
C
′，
A D
⊥
BC
于
D
，
A
′
D
′⊥B
′
C
′于
D
′且
AD=A
′
D
′



求证：△
ABC< br>≌△
A
′
B
′
C
′



证明：
在
Rt
△
ABD
与
Rt
△
A
′
B
′
D
′中






(HL)






∴
Rt
△
ABD
≌
Rt
△
A
′
B
′
D
′





∴∠
B=
∠
B
′
(
全等三角形对应
角相等
)





在△
ABC
与△
A
′
B
′
C
′中

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∴△
ABC
≌△
A
′
B
′
C< br>′
(SAS)


【变式
2
】已知，如图，
AC
、
BD
相交于
O
，
AC=BD
，∠
C
＝∠
D
＝
90
°

求证：
OC=OD


【答案】∵∠
C=
∠
D=90
°







∴△
ABD
、△
ACB
为直角三角形







在
Rt
△
ABD
和Rt
△
ABC
中














∴
AD=BC






在△
AOD
和△
BOC
中








∴
Rt
△
ABD
≌
Rt
△
ABC(HL)













∴△
AOD
≌△
BOC(AAS)






∴
OD=OC
．





7< br>、⊿
ABC
中，
AB=AC
，
D
是底边
BC
上任意一点，
DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC< br>，
CG
⊥
AB
垂足分别是
E
、
F
、
G..


试判断：猜测线段
DE
、
DF
、
CG
的数量有何关系？并证明你的猜想。




















思路点拨
:
寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径



解析：
结论：
DE+DF=CG



方法一：（截长法）板书此种方法（
3
分钟）







作
DM
⊥
CG
于
M






∵
DE
⊥
AB
，
CG⊥
AB
，
DM
⊥
CG
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