放烟花的作文-

2021年1月25日发(作者：李渔)


1985
年全国统一高考数学试卷（理科）



一、选择题（共
5
小题，每小题
3
分，满分
15
分）

1
．
（
3
分）如果正方体
ABCD
﹣
A′B′C′D′
的棱长为
a
，那么四面体
A′
﹣
ABD
的体积是（


）


A

．

B
．

C
．

D
．







2
．
（
3
分）
的（


）


A

．
必
要条件


B
．
充

分条件


C

．

分必要条件

充
D
．
既

不充分又不
必要的条件



3
．
（
3
分）在下面给出的函数中，哪一个函 数既是区间
上的增函数又是以
π
为周期的偶函
数？（


）


A

．
y
=x
2
（
x
∈
R
）
B
．

y

=|sinx|
（
x
∈
R
）
C
．

y
=cos2x

D
．
y

=e
sin2x
（
x
∈
R
）

（
x
∈
R
）



4
．
（
3
分）极坐标方程
ρ=asinθ
（
a
＞
0
）的图象是（


）


A

．

B
．

C
．

D
．





5
．
（
3
分）用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字，可以组成比
20000
大，并且百位数不是数字
3
的没有重复
数字的五位数，共有（


）


A

．
9
6
个


B
．
7

8
个

C
．
7
2
个


D
．
6

4
个



二、解答题（共
13
小题，满分
90
分）

6
．
（
4
分）求方程
解集．



7
．
（
4
分）设
|a|≤1
，求
arcc osa+arccos
（﹣
a
）的值．



8< br>．
（
4
分）求曲线
y
2
=
﹣
16x +64
的焦点．



9
．
（
4
分）设（
3x
﹣
1
）
6
=a
6
x
6
+a
5
x
5
+a
4
x
4
+a< br>3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
，求
a
6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
的值．



10
．
（
4
分）设函数
f
（
x
）的定义域是
[0
，
1
]
，求函数
f
（
x
2
）的定义域．



11
．
（
7
分）解方程
log
4
（
3
﹣x
）
+log
0.25
（
3+x
）
=log< br>4
（
1
﹣
x
）
+log
0.25
（
2x+1
）
．



12
．
（
7
分）解不等式






13
．
（
15
分）如图，设平面
AC
和
BD
相交于
BC
，它们所成的一个二面角为
45°
，
P
为平面
AC
内的
一点，
Q
为面
BD
内的一点，已知直线
MQ
是直线
PQ
在平面
BD
内 的射影，并且
M
在
BC
上又设
PQ
与平面
BD所成的角为
β
，∠
CMQ=θ
（
0°
＜
θ＜
90°
）
，线段
PM
的长为
a
，求线段PQ
的长．




14
．
（
15
分）设
O
为复平面的原点，
Z
1
和
Z
2
为复平面内的两动点，并且满足：

（
1
）
Z
1
和
Z
2
所对应的复数的辐角分别为定值
θ
和﹣
θ
；

（
2
）
△
OZ
1
Z
2
的面积为定值
S
求
△
OZ
1
Z
2
的重心
Z
所对应的复数的模的最小值．




15
．
（
15
分）已知两点
P
（﹣
2
，< br>2
）
，
Q
（
0
，
2
）以及一条直线 ：
L
：
y=x
，设长为
的线段
AB
在直线
L
上移动，如图，求直线
PA
和
QB
的交点
M
的轨 迹方程．
（要求把结果写成普通方程）




16
．
（
14
分）设
（
1
）证明不等式
，

对所有的正整数
n
都成立；

（
2
）设


17
．
（
12
分）设
a
，
b< br>是两个实数，


，用定义证明



A= {
（
x
，
y
）
|x=n
，
y=na+b< br>，
n
是整数
}
，

B={
（
x，
y
）
|x=m
，
y=3m
2
+15
，
m
是整数
}
，

C={
（
x
，
y
）
|x
2
+y
2
≤144}
，

是平面
XOY
内的点集合，讨论是否存在
a
和
b
使 得

（
1
）
A∩B≠φ
（
φ
表示空集）< br>，

（
2
）
（
a
，
b
）
∈
C
同时成立．



18
．已知曲线
y=x
3
﹣
6x
2
+11x
﹣
6
．在它对应于
x
∈
[0
，
2
]
的弧段上求一点
P
，使得曲 线在该点的切线在
y
轴上的截距为最小，并求出这个最小值．







1985
年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共
5
小题，每小题
3
分，满分< br>15
分）

1
．
（
3
分）如果正方体
ABCD
﹣
A′B′C′D′
的棱长为
a
，那么四面体
A ′
﹣
ABD
的体积是（


）


A

．


B
．


C
．


D
．



考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

计算题．

分析：

画出图形，直接求解即可．

解答：

解：如图四面体
A′
﹣
ABD
的体积是

V=

故选
D
．

点评：

本题考查棱锥的体积，是基础题．



2
．
（
3
分）
的（


）


A

．
必

要条件

B
．
充

分条件


C

．

充
分必要条件

D
．
既

不充分又不
必要的条件


考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．


专题：

计算题．

分析：

先解出
tanx=1
的解，再判断两命题的关系．

解答：

解：

由
tanx=1
得
，

当
k=1
时，
x=
，

固由前者可以推出后者，

所以
tanx=1
是
的必要条件．

故选
A
．

点评：

此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．






3
．
（
3
分）在下面给 出的函数中，哪一个函数既是区间
上的增函数又是以
π
为周期的偶函
数？（< br>

）


A

．
y
=x
2
（
x
∈
R
）
B
．

y

=|sinx|
（
x
∈
R
）
C
．

y
=cos2x

D
．
y

=e
sin2x
（
x
∈
R
）

（
x
∈
R
）


考点：

三角函数的周期性及其求法．


专题：

压轴题．

分析：

根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．

解答：
解：
y=x
2
（
x
∈
R
）不是周期函数，故排 除
A
．

∵
y=|sinx|
（
x
∈R
）周期为
π
，且根据正弦图象知在区间
上是增函数．

故选
B
．

点评：

本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．



4< br>．
（
3
分）极坐标方程
ρ=asinθ
（
a
＞
0
）的图象是（


）


A

．

B
．

C
．

D
．




考点：

专题：

分析：

解答：

简单曲线的极坐标方程．


计算题；压轴题．

先将原极 坐标方程两边同乘以
ρ
后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．

解：∵
极坐标方程
ρ=asinθ
（
a
＞
0
）< br>
∴
ρ
2
=aρsinθ
，

∴
x
2
+y
2
=ay
，它表示圆心在（
0
，
） 的圆．

点评：

故选
C
．

本题考查点 的极坐标和直角坐标的互化，
能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，
体会在极坐
标系 和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，
能进行极坐标和直角坐标的互化．
利用直角坐
标与极坐标间的关系，即利用
ρcosθ=x
，
ρsinθ=y
，
ρ
2
=x
2
+y
2
，进行代换即得．



5
．
（
3
分）用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字，可以组成比
2000 0
大，并且百位数不是数字
3
的没有重复
数字的五位数，共有（


）


A

．
9
6
个


B
．
7

8
个

C
．
7
2
个


D
．
6

4
个


考点：

排列、组合的实际应用．


专题：

计算题；压轴题；分类讨论．

分析：

根据题意，分析首位数字， 要求这个五位数比
20000
大，则首位必须是
2
，
3
，< br>4
，
5
这
4
个数



解答：

点评：

字，由于百位数不是数字
3
，分
2
种情况讨论，①
百位是
3
，②
百位是
2
，
4
，
5
，分别求得其情
况数目，由乘法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求这个五位数比
20000
大，则首位必须是
2，
3
，
4
，
5
这
4
个数字，

分
2
种情况讨论，

当首位是
3
时，百位数不是数 字
3
，有
A
4
4
=24
种情况，

当首位是
2
，
4
，
5
时，由于百位数不能是数字
3
，有
3
（
A
4
4
﹣
A
3
3
）
=54
种情况，

综合可得，共有
54+24=78
个数字符合要求，

故选
B
．

本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨 论，特别是
“
百位数不是数字
3”
的要
求．



二、解答题（共
13
小题，满分
90
分）

6
．
（
4
分）求方程

考点：

专题：

分析：

解答：

解集．

任意角的三角函数的定义．


计算题．

直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．

解：方程

所以
方程
解集为：
化为：



点评：

本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．



7
．
（
4
分）设
|a|≤1
，求
arccosa+arccos
（﹣
a
）的值．


考点：

反三角函数的运用．


专题：

计算题．

分析：

直接应用反函数的运算法则，求解即可．

解答：

解：
a rccosa+arccos
（﹣
a
）
=arccosa+π
﹣arccosa=π

点评：

本题考查反函数的运算，是基础题．



8
．
（
4
分）求曲线
y
2
=
﹣
16x+64
的焦 点．


考点：

抛物线的简单性质．


专题：

计算题；转化思想．

分析：

先把曲线 方程整理成标准方程，设
x
﹣
4=t
，则可求得
y
2
=
﹣
16t
的焦点坐标，则抛物线
y
2
=
﹣16
（
x
﹣
4
）的焦点坐标可得．

解答：

解：整理曲线方程可得
y
2
=
﹣
16
（
x
﹣
4
）

令
x
﹣
4=t
，则
y
2
=
﹣
16t
，焦点坐标为（﹣< br>4
，
0
）

∴
y
2
=
﹣< br>16
（
x
﹣
4
）的焦点为（
0
，
0
）

点评：

本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础的灵活运用．



9
．
（
4
分）设（
3x
﹣
1< br>）
6
=a
6
x
6
+a
5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a< br>2
x
2
+a
1
x+a
0
，求
a6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
的值．


考点：

二项式系数的性质．

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