排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!
玛丽莲梦兔
653次浏览
2021年01月25日 03:13
最佳经验
本文由作者推荐
关于名人读书的名言-
排列组合公式
/
排列组合计算公式
公式
P是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列。
公式
C
是指组合，从
N
个元素取
R
个，不进行排列。
N-
元素的总个数
R
参与选择的元素个数
！
-
阶乘
，如
9
！＝
9*8*7*6*5*4*3*2*1
从
N
倒数< br>r
个，表达式应该为
n*
（
n-1)*(n-2)..(n-r+1) ;
因为从
n
到（
n-r+1)
个数为
n
－（
n-r+1)
＝
r
举例：
Q1:
有从
1
到
9
共计
9
个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1:
123
和
213
是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属
于“排列
P”计算范畴。
上问题中，
任何 一个号码只能用一次，
显然不会出现
988,997
之
类的组合，
我们可以这么看，
百位数有
9
种可能，
十位数则应该有
9- 1
种可能，
个位数则应该只有
9-1-1
种可能，最终共有
9*8* 7
个三位数。计算公式＝
P
（
3
，
9)
＝
9*8*7,(
从
9
倒数
3
个的乘积）
Q2:
有从
1
到
9
共计
9
个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联
盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2:
213
组合和
312
组 合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一
起即可。即不要求顺序的，属于“组合
C”计算范 畴。
上问题中，
将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数
即为最终组合数
C(3 ,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例
1
设有
3
名学生和
4
个 课外小组．（
1
）每名学生都只参加一个课外小组；（
2
）每
名学生 都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（
1
）由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小
组的人数，因此共有
种不同方法．
（
2
）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，
因此共有
种不同方法．
点评
由于要让
3
名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．
例
2
排成一行，其中
不排第一，
不排第二，
不排第三，
不排第四的不同排法共有多
少种？
解
依题意，符合要求的排法可分为第一个排
、
、
中的某一个，共
3
类，每一类中不
同排法可采用画“树 图”的方式逐一排出：
∴ 符合题意的不同排法共有
9
种．
点评
按照分“类”的思路，
本题应用了加法原理．
为把握不同排法的 规律，
“树图”
是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３
判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（
1
）高三年级学生会有
11
人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每 两人互握了
一次手，共握了多少次手？
（
2
）高二年级数学课外小组共
10
人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不
同的选法？②从中选
2
名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（
3
）有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多
少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可 以得到多少个不同的积？
（
4
）有
8盆花：①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中
选 出
2
盆放在教室有多少种不同的选法？
分析
（
1
）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不 同的两封信，所以与顺
序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手 ，与顺序无
关，所以是组合问题．其他类似分析．
（
1
）①是排列问题，共用了
封信；②是组合问题，共需握手
（次）．
（
2
）①是排列问题，共有
（种）不同的选法；②是组合问题，共有
种不同的选法．
（
3
）①是排列问题，共有
种不同的商；②是组合问题，共有
种不同的积．
（
4
）①是排列问题，共有
种不同的选法；②是组合问题，共有
种不同的选法．
例４
证明
．
证明
左式
右式．
∴ 等式成立．
点评
这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质
，可使
变形过程得以简化．
例
5
化简
．
解法一
原式
解法二
原式
点评
解法一选用了组合数公式的阶乘形式，
并利用阶乘的性质；
解法 二选用了组合数
的两个性质，都使变形过程得以简化．
例
6
解方程：（
1
）
；（
2
）
．
解
（
1
）原方程
解得
．
（
2
）原方程可变为
∵ ，
，
∴ 原方程可化为
．
即
，解得
第六章
排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.
掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题
.
2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，
并能用它们解 决一些简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质，
并能用它们 计算和论证一些简单问题
.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(
一
)
加法原理乘法原理
说明
加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排
列、组合中有关问题提供了理论根据
.
例
1
5
位高中毕业生，准备报考
3
所高等院校，每人报且只报一所，不同的
报名方 法共有多少种
?
解：
5
个学生中每人都可以在
3
所高等院校中任选一所报名，因而每个学
生都有
3
种不同的
报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3
5
(
种
)
(
二
)
排列、排列数公式
说明
排列、
排列数公式及解排列的应用题，
在中学代数中较为独特，
它研
究
的对象以及研
究问题的方法都和前面掌握的知识不同，
内容抽象 ，
解题方法比
较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查
.
例
2
由数字
1
、
2
、
3
、
4
、
5
组成没有重复数字的五位数，其中小于
50 000
的
偶数共有
(
)
A.60
个
B.48
个
C.36
个
D.24
个
解
因为要求是偶数，个位数只能是
2
或
4
的排法有
P
1< br>2
；小于
50 000
的五
位数，万位只能是
1
、< br>3
或
2
、
4
中剩下的一个的排法有
P
13
;
在首末两位数排定
后，中间
3
个位数的排法有
P< br>3
3
，得
P
1
3
P
3
3
P
1
2
＝
36(
个
)
由此可知此题应选
C.
例
3
将数字
1
、
2
、
3
、
4
填入标号为
1
、
2
、
3
、
4
的四个方格里，每格填一
个数字，则每 个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种
?
解：
将数 字
1
填入第
2
方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的
填法 有
3
种，即
214
3
，
3142
，
41 23
；同样将数字
1
填入第
3
方格，也对应着
3
种 填法；将数字
1
填入第
4
方格，也对应
3
种填法，因此共有 填法为
3P
1
3
=9(
种
).
例四
例五可能有问题，等思考