我家的家规-

2021年1月25日发(作者：血战钢锯岭迅雷)


排列组合计算公式排列组合公式
/

和顺序有
关排列

A
------







不牵涉到顺序的问题组合

C
-------
,
组合不分排列分顺序


排
列
3
个人
,
有几种分法
.

把例如

5
本不同的书分给

组合
3
个人
,
有几种分法
5
把本书分给
1
．排列及计算公式





从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n)
个元素按照 一定的顺序排成
一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排 列；从
n
个不同元素中取出
m(m
≤
n)
个元素的所有排列 的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A(n,m)
表示
.




A (n,m)=n(n
-
1)(n
-
2)
……
(n
-
m+1)= n!/(n
-
m)!(
规定
0!=1).




2
．组合及计算公式





从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n )
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合 ；从
n
个不同元素中取
出
m(m
≤
n)
个元素的所 有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中
取


用符号
.
个元素的组合数
m
出



c(n,m)
表示
.




c(n ,m)=A(n,m)/m!=n!/((n
-
m)!*m!)
；
c(n,m )=c(n,n
-
m);




3
．其他排列与组合公式





从< br>n
个元素中取出
r
个元素的循环排列数＝
A(n,r)/r=n!/r (n
-
r)!.




n
个元素被分 成
k
类，每类的个数分别是
n1,n2,...nk
这
n
个 元
素的全排列数为





n!/(n1!*n2!*...*nk!).




k
类元素
,
每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的 组合数为
c(m+k
-
1,m).


排列（
Anm(n
为下标，
m
为上标
)
）





Anm=n
×
（
n
-< br>1
）
....
（
n
-
m+1
）
；< br>Anm=n
！
/
（
n
-
m
）
！（注：
！是
阶乘符号）
；
Ann
（两个
n
分别 为上标和下标）

=n
！
；
0
！
=1
；< br>An1
（
n
为下标
1
为上标）
=n




组合（
Cnm(n
为下标，
m
为上标
)
）





Cnm=Anm/Amm
；
Cnm=n
！
/m
！
（
n
-
m
）
！
；
Cnn
（两个
n
分别
为上标和下标）

=1 < br>；
Cn1
（
n
为下标
1
为上标）
=n
；
Cnm=Cnn
-
m



2008-07-08 13:30




公式A
是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列。

公式
C
是指组合，从
N
个元素取
R
个，不进行排列。
N-
元素的总个数

R
参与选择的元素个数

！
-
阶乘

，如
9
！＝
9*8*7*6*5*4*3*2*1
从
N
倒数
r
个，表达式应该为
n*
（
n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从
n
到（
n-r+1)个数为
n
－（
n-r+1)
＝
r

举例：

Q1:

有从
1
到
9共计
9
个号码球，请问，可以组成多少个三
位数？


A1:

123
和
213
是两个不同的排列数。即 对排列顺序有要求
的，既属于“排列
A
”计算范畴。


上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现
988,997
之类的组合，
我们可以这么看，百位数有
9
种可能，
十位数则应该有
9-1
种可能，个位数则应该只有
9-1-1
种可能，
最终共有
9*8*7
个三位数。计算公式＝
A
（
3
，
9)
＝
9 *8*7,(
从
9
倒数
3
个的乘积）


Q2:

有从
1
到
9
共计
9
个号码球，请问，如果三个一组，代
表“三国联盟”
，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:

213
组合和
312
组 合，代表同一个组合，只要有三个号
码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合
C
”计算范畴。


上问题中，
将所有的包括排列数的个数去 除掉属于重复
的个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析



例
1
设有
3
名学生和
4
个课外小组．
（
1
）每 名学生都只）每
名学生都只参加一个课外小组，而
2
参加一个课外小组；
（．

且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？


解
（
1
）
由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中 的任何一
个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有
种不同方


法．


（
2
）由于每名学生都只参加一个 课外小组，而且每个小
组至多有一名学生参加，因此共有
种不同方法．




点评

由于要让
3
名学生逐个选择课外 小组，
故两问都用乘
法原理进行计算．


例
2
排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第


三，
不排第四的不同排法共有多少种？




解

依题意，符合要求的排法可分为第一个排
、
、中


的某一个，共
3
类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式
逐一排出：


∴

符合题意的不同排法共有
9
种．


点评

按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握
不同排法的规律，
“树图”是一种 具有直观形象的有效做
法，也
是解决计数问题的一种数学模型．


例３

判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．


（
1
）
高三年级学生会有
11
人：
① 每两人互通一封信，共通了
多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？


（
2
）
高二年级数学课外小组共
10
人：①从中选一名正组长和
一名副组长，
共有多少种不同的选法？②从中选
2
名参加
省数学
竞赛，有多少种不同的选法？


（
3
）有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
八个质数：①从中任取< br>两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两．

个求它的积，可以得到多少个不同的积？


（
4
） 有
8
盆花：①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆，
有多少种不同 的选法？②从中选出
2
盆放在教室有多少种不同
的选法？


分析

（
1
）
①由于每人互通一封信，
甲给乙的信 与乙给甲的信
是不同的两封信，
所以与顺序有关是排列；
②由于每两人
互握一
次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序
无关，所
以是组合问题．其他类 似分析．


（
1
）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握


手
（次）
．




（
2
）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问


题，共有种不同的选法．




（
3
）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共


有种不同的积．




（
4
）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，


共有种不同的选法．




例４

证明．




证明

左式



右式．




∴

等式成立．


点评

这是一个排列数等式的证明问题，
选用阶乘之商的
形式，并利用阶乘的性质
，可使变形过程得以简化．




例
5
化简．




解法一

原式








解法二

原式



点评

解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的
性质；
解法二选用了组合数的两个性质，
都使变形过程得以简化．


例
6
解方程：
（
1
）
；
（
2< br>）
．




解

（
1
）原方程







解得．



（
2
）原方程可变为


∵

，
，




∴

原方程可化为．




即

，解得



第六章

排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.
掌握 加法原理及乘法原理，
并能用这两个原理分析解决一些简
单的问题
.
2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组
合数的性质，并能用它们解决一些 简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质，
并能用它们计算 和论证
一些简单问题
.

二、知识结构．


三、知识点、能力点提示


(
一
)
加法原理乘法原理


说明

加法原理、
乘法原理是学习排列组合的基础，
掌握此两原
理为处理排

列、组合中有关问题提供了理论根据
.

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