小学语文课文我爱故乡的杨梅
玛丽莲梦兔
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2021年01月25日 04:21
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2017
年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1
．
（
5
分）设集合
A=
{
1
，
2
，
6
}
，
B=
{
2
，
4
}
，
C=
{
1
，
2
，
3
，
4
}
，则（
A
∪
B
）∩
C=
（
）
A
．
{
2
}
B
．
{
1
，
2
，
4
}
C
．
{
1
，
2
，
4
，
6
}
D
．
{
1
，
2
，
3
，
4
，
6
}
2
．
（
5
分）设
x
∈
R
，则
“2
﹣
x
≥< br>0”
是
“
|
x
﹣
1
|
≤
1 ”
的（
）
A
．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
3
．
（
5
分 ）有
5
支彩笔（除颜色外无差别）
，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从
这< br>5
支彩笔中任取
2
支不同颜色的彩笔，
则取出的
2
支 彩笔中含有红色彩笔的概
率为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．
（
5
分）阅读如图的程序框图 ，运行相应的程序，若输入
N
的值为
19
，则输
出
N
的值为（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点为
F
，点
A
在双曲线
1
5
．
（
5
分）已知双曲线
BatchDoc-Word
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的渐近线上，△
O AF
是边长为
2
的等边三角形（
O
为原点）
，则双曲线的方 程为
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
6
．
（
5
分）
已知奇函数
f
（
x
）
在
R
上是增函数．
若
a=
﹣
f
（
c=f
（
2
0.8
）
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（
）
A
．
a
＜
b
＜
c B
．
b
＜
a
＜
c C
．
c
＜
b
＜
a D
．
c
＜
a
＜
b
）
，
b=f
（
log
2
4.1
）
，
7
．
（
5
分）设函数
f
（
x
）
=2sin
（
ωx
+
φ
）
，
x
∈
R
，其中ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
．若< br>f
（
=2
，
f
（
）
=0
，且
f
（
x
）的最小正周期大于
2π
，则（
）
B
．
ω=
，
φ=
﹣
D
．
ω=
，
φ=
）
A
．
ω=
，
φ=
C
．
ω=
，
φ=
﹣
8
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
=
，设
a
∈
R
，若关于
x
的不等式f
（
x
）
≥
|
+
a
|
在R
上恒成立，则
a
的取值范围是（
）
A
．
[
﹣
2
，
2
]
二、填空题：本大题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分
.
9
．
（
5
分）已知
a
∈
R
，
i
为虚数单位，若
为实数，则
a
的 值为
．
B
．
C
．
D
．
1 0
．
（
5
分）已知
a
∈
R
，设函数
f
（
x
）
=ax
﹣
lnx
的图象在点（
1
，
f
（
1
）
）处的切
线为
l
， 则
l
在
y
轴上的截距为
．
11
．
（
5
分）已知一个正方体的所有顶点在 一个球面上，若这个正方体的表面积
为
18
，则这个球的体积为
．
12
．
（
5
分）设抛物线
y
2
=4x
的焦点为
F
，准线为
l< br>．已知点
C
在
l
上，以
C
为圆心
的圆与y
轴的正半轴相切于点
A
．若∠
FAC=120°
，则圆的方程 为
．
13
．
（
5
分）若
a
，
b
∈
R
，
ab
＞
0
，则
的最小值为
．
=2
，
=λ
﹣
（
λ
14．
（
5
分）在△
ABC
中，∠
A=60°
，< br>AB=3
，
AC=2
．若
2
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∈
R
）
，且
=
﹣
4
，则
λ
的值为
．
三、解答题：本大题共
6
小题 ，共
80
分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15< br>．
（
13
分）
在△
ABC
中，
内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．
已知
asinA=4bsinB
，
ac=
（
a
2
﹣
b
2
﹣
c
2
）
（
Ⅰ
）求
cosA
的值；
（
Ⅱ
）求
sin
（
2B
﹣
A
）的值．
16< br>．
（
13
分）
电视台播放甲、
乙两套连续剧，
每次播 放连续剧时，
需要播放广告．
已
知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广 告播放时长、收视人次如
下表所示：
连续剧播放时长
（分钟）
广告播放时长
（分钟）
收视人次（万）
70
60
5
5
60
25
甲
乙
已知电视台每周安排的甲、
乙连续剧的总播放时间不多于
600
分钟，
广告的总播
放时间不少于
30
分钟，且甲连续剧播放的次数不 多于乙连续剧播放次数的
2
倍．分别用
x
，
y
表示每周计划 播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（
I
）用
x
，
y
列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（
II
）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17
．
（
13
分）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，AD
⊥平面
PDC
，
AD
∥
BC
，
P D
⊥
PB
，
AD=1
，
BC=3
，
CD= 4
，
PD=2
．
（
Ⅰ
）求异面直线
AP
与
BC
所成角的余弦值；
（
Ⅱ
）求证：
PD
⊥平面
PBC
；
（
Ⅲ
）求直线
AB
与平面
PBC
所成角的正弦值．
3
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18
．
（
13
分）已 知
{
a
n
}
为等差数列，前
n
项和为
S< br>n
（
n
∈
N
*
）
，
{
b< br>n
}
是首项为
2
的
等比数列，且公比大于
0
，
b
2
+
b
3
=12
，
b
3=a
4
﹣
2a
1
，
S
11
=11b< br>4
．
（
Ⅰ
）求
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）求数列
{
a
2n
b
n
}
的前
n
项和（
n
∈
N
*
）
．
19．
（
14
分）设
a
，
b
∈
R
，
|
a
|
≤
1
．已知函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
6x
2
﹣
3a
（a
﹣
4
）
x
+
b
，
g
（x
）
=e
x
f
（
x
）
．
（
Ⅰ
）求
f
（
x
）的单调区间；
（
Ⅱ
）已知函数
y=g
（
x
）和
y=e
x
的图象在公共点（
x
0
，
y
0
）处有相同的切线 ，
（
i
）求证：
f
（
x
）在
x =x
0
处的导数等于
0
；
（
ii
）若关 于
x
的不等式
g
（
x
）≤
e
x
在 区间
[
x
0
﹣
1
，
x
0
+
1
]
上恒成立，求
b
的取值
范围．
20
．
（
14
分）已知椭圆
+
=1
（
a
＞< br>b
＞
0
）的左焦点为
F
（﹣
c
，
0
）
，右顶点为
．
A
，点
E
的坐标为（< br>0
，
c
）
，△
EFA
的面积为
（
I
）求椭圆的离心率；
（
II
）设点
Q
在线段AE
上，
|
FQ
|
=
c
，延长线段
F Q
与椭圆交于点
P
，点
M
，
N
在
x
轴上，
PM
∥
QN
，且直线
PM
与直线
QN间的距离为
c
，四边形
PQNM
的面
积为
3c
．
（
i
）求直线
FP
的斜率；
（
ii
）求椭圆的方程．
4
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2017
年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1
．
（
5
分）设集合
A=
{
1
，
2
，
6
}
，
B=
{
2
，
4
}
，
C=
{
1
，
2
，
3
，
4
}
，则（
A
∪
B
）∩
C=
（
）
A
．
{
2
}
B
．
{
1
，
2
，
4
}
C
．
{
1
，
2
，
4
，
6
}
D
．
{
1
，
2
，
3
，
4
，
6
}
【分析】
由并集定义先求出
A
∪
B
，再由交集定义能求出（
A
∪
B
） ∩
C
．
【解答】
解：∵集合
A=
{
1< br>，
2
，
6
}
，
B=
{
2
，
4
}
，
C=
{
1
，
2
，
3
，
4
}
，
∴（
A
∪
B
）∩
C=
{
1
，
2
，
4
，
6< br>}
∩
{
1
，
2
，
3
，
4< br>}
=
{
1
，
2
，
4
}
．< br>
故选：
B
．
【点评】
本题考查并集和交集的求法 ，是基础题，解题时要认真审题，注意交集
和交集定义的合理运用．
< br>2
．
（
5
分）设
x
∈
R
，则
“2
﹣
x
≥
0”
是
“
|
x
﹣< br>1
|
≤
1”
的（
）
A
．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
【分 析】
求出不等式的等价条件，
结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由
2
﹣
x
≥
0
得
x
≤
2
，
由
|
x
﹣
1
|
≤
1
得﹣
1
≤
x
﹣
1
≤
1，
得
0
≤
x
≤
2
．
则
“2
﹣
x
≥
0”
是
“
|
x
﹣
1
|
≤
1”
的必要不充分条件，
故选：
B
．
【点评】
本题主要考查充分条件和必要条件的 判断，
结合充分条件和必要条件的
定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
3
．
（
5
分）有
5
支彩笔（ 除颜色外无差别）
，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从
这
5
支彩笔中任取< br>2
支不同颜色的彩笔，
则取出的
2
支彩笔中含有红色彩笔的概
5
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率为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【 分析】
先求出基本事件总数
n=
包含的基本事件个数
m=
概率．
【解答】
解：有
5
支彩笔（除颜色外无差别）
，颜色分别为红 、黄、蓝、绿、紫，
从这
5
支彩笔中任取
2
支不同颜色的彩笔，
基本事件总数
n=
=10
，
=4
，
< br>=10
，
再求出取出的
2
支彩笔中含有红色彩笔
=4
，
由此能求出取出的
2
支彩笔中含有红色彩笔的
取出的
2
支 彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数
m=
∴取出的
2
支彩笔中含有红色彩 笔的概率为
p=
=
故选：
C
．
．
【点评】
本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解
能力和推理 论证能力，是基础题．
4
．
（
5
分 ）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入
N
的值为
19
，则输
出
N
的值为（
）
6
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A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
【分析】
根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】
解：第一次
N=19
，不能被
3
整除，
N=19
﹣
1=18< br>≤
3
不成立，
第二次
N=18
，
18能被
3
整除，
N=
=6
，
N=6
≤
3
不成立，
第三次
N=6
，能被
3
整除，
N
═
=2
≤
3
成立，
输出
N=2
，
故选：
C
．
【 点评】
本题主要考查程序框图的识别和应用，
根据条件进行模拟计算是解决本
题的关键 ．
5
．
（
5
分）已知双曲线
﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0）的右焦点为
F
，点
A
在双曲线
的渐近线上，△
OAF
是边长为
2
的等边三角形（
O
为原点）
，则双曲线的方程为
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【 分析】
利用三角形是正三角形，推出
a
，
b
关系，通过
c= 2
，求解
a
，
b
，然后
等到双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线
﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点为
F
，点
A
在双曲线 的
渐近线上，△
OAF
是边长为
2
的等边三角形（
O
为原点）
，
可得
c=2
，
，即
，
，
解得
a=1
，
b=
故选：
D
．
，双曲线的焦点坐标在
x
轴，所得双曲线方程为：
．
【点评】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
7
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6
．
（
5
分）
已知奇函数
f
（
x
）
在
R
上是增函数．
若
a=
﹣
f
（
c=f
（
2
0.8
）
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（
）
A
．
a
＜
b
＜
c B
．
b
＜
a
＜
c C
．
c
＜
b
＜
a D
．
c
＜
a
＜
b
）
，
b=f
（
log
2
4.1
）
，
【分析】
根 据奇函数
f
（
x
）在
R
上是增函数，化简
a
、
b
、
c
，即可得出
a
，
b
，
c
的大小．
【解答】
解：奇函数
f
（
x
）在
R
上是增函数，
∴
a=
﹣
f
（b=f
（
log
2
4.1
）
，
c=f
（
2
0.8
）
，
又
1< br>＜
2
0.8
＜
2
＜
log
2
4.1
＜
log
2
5
，
∴
f
（
2
0.8
）＜
f
（
log
2
4.1
）＜
f
（
log
2
5
）
，
即
c
＜
b
＜
a
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．
7
．
（
5
分）设函数
f
（
x< br>）
=2sin
（
ωx
+
φ
）
，
x< br>∈
R
，其中
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
．若
f
（
=2
，
f
（）
=0
，且
f
（
x
）的最小正周期大于
2π< br>，则（
）
B
．
ω=
，
φ=
﹣
D
．
ω=
，
φ=
）
=f
（
log
2
5
）
，
）
A
．
ω=
，
φ=
C
．
ω=
，
φ=
﹣
【分析】
由题意求得
，再由周期公式求得
ω
，最后由若
f
（
【解答】
解：由
f
（
x
）的最小正周期大于
2π
，得
又
f
（
）
=2
，
f
（
，即
）
=0
，得
．
，
，
）
=2
求得
φ
值．
∴
T=3π
，则
∴
f
（
x
）
=2sin
（
ωx
+
φ
）
=2sin
（
x
+
φ
）
，
由
f
（
）
=
，得
sin
（< br>φ
+
）
=1
．
8
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∴
φ
+
=
，
k
∈
Z
．
＜
π
．
．
取
k=0
，得φ=
∴
，
φ=
故选：
A
．
【点评】
本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查
y=Asin
（
ωx
+
φ
）型函
数的性质，是中档题．
8
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
=
，设
a
∈
R
，若关于
x
的不等式
f
（< br>x
）
≥
|
+
a
|
在
R
上恒 成立，则
a
的取值范围是（
）
A
．
[
﹣
2
，
2
]
B
．
C
．
D
．
【 分析】
根据题意，作出函数
f
（
x
）的图象，令
g
（
x
）
=
|
+
a
|
，分析
g（
x
）的
图象特点，将不等式
f
（
x
）≥|
+
a
|
在
R
上恒成立转化为函数
f
（
x
）的图象在
g
（
x
）上的上方或相交的问题，分析可得
f
（
0
）≥
g
（
0
）
，即
2
≥
|
a
|
，解可得
a
的取值范围，即可得答案 ．
【解答】
解：根据题意，函数
f
（
x
）
=
的图象如图：
令
g
（
x
）
=
|
+
a
|
，其图象与
x
轴相交与点（﹣
2a，
0
）
，
在区间（﹣∞，﹣
2a
）上为减函 数，在（﹣
2a
，
+
∞）为增函数，
若不等式
f
（
x
）≥
|
+
a
|
在
R
上恒成立，则函数
f
（
x
）的图象在
g
（
x
）上的上方或相交，
则必有
f
（
0
）≥
g
（
0
）
，
即
2
≥
|
a
|
，
解可得﹣
2
≤
a
≤
2
，
故选：
A
．
9
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【点评】
本题考查分段函数的应用， 关键是作出函数
f
（
x
）的图象，将函数的恒
成立问题转化为图象的 上下位置关系．
二、填空题：本大题共
6
小题，每小 题
5
分，共
30
分
.
9
．
（< br>5
分）已知
a
∈
R
，
i
为虚数单位，若为实数，则
a
的值为
﹣
2
．
< br>，再由复数为实数的条
【分析】
运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简
件： 虚部为
0
，解方程即可得到所求值．
【解答】
解：
a∈
R
，
i
为虚数单位，
=
由
为实数，
=0
，
=
=
﹣
i
可得﹣
解得
a=
﹣
2
．
故答案为：﹣
2
．
【点评】
本题考查复数的乘除运算，< br>注意运用共轭复数，
同时考查复数为实数的
条件：虚部为
0
，考查运算 能力，属于基础题．
10
．
（
5
分 ）已知
a
∈
R
，设函数
f
（
x
）
=ax
﹣
lnx
的图象在点（
1
，
f
（
1
）
）处的切
线为
l
，则
l
在
y
轴 上的截距为
1
．
【分析】
求出函数的导数， 然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方
程，推出
l
在
y
轴上的截距．
10
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【解答】
解：函数
f
（
x
）
=ax
﹣
lnx
，可得
f′
（
x< br>）
=a
﹣
，切线的斜率为：
k=f′
（
1
）
=a
﹣
1
，
切点坐标（
1
，
a
）
，切线方程
l
为：
y
﹣
a=
（
a
﹣
1
）
（
x
﹣
1
）
，
l
在
y
轴上的截距为：
a
+
（
a
﹣
1
）
（﹣
1
）
=1
．
故答案为：
1
．
【点评】
本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
11
．
（
5
分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 ，若这个正方体的表面积
为
18
，则这个球的体积为
．
【分析】
根据正方体和球的关系，
得到正方体的体对角线等于直 径，
结合球的体
积公式进行计算即可．
【解答】
解：设正方体的棱长为
a
，
∵这个正方体的表面积为
18
，
∴
6a
2
=18
，
则
a
2
=3
，即
a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即
a=2R
，
即
R=
，
则球的体积
V=
π•
（
）
3
=
故答案为：
．
；
【点评】< br>本题主要考查空间正方体和球的关系，
利用正方体的体对角线等于直径，
结合球的体积公 式是解决本题的关键．
12
．
（
5
分）设抛物线
y
2
=4x
的焦点为
F
，准线为
l< br>．已知点
C
在
l
上，以
C
为圆心
的圆与y
轴的正半轴相切于点
A
．若∠
FAC=120°
，则圆的方程 为
（
x
+
1
）
2
+
=1
．
11