等比数列求和公式
绝世美人儿
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2021年01月25日 08:30
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等比数列求和公式
等比数列求和公式
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等比数列
等比数列的通项公式
等比数列求和公式
(1)
等比数列：
a (n+1)/an=q (n
∈
N)
。
(2)
通项公式：
an=a1
×
q^(n-1)
；
推广式：
an=am
×
q^(n-m)
；
(3)
求和公式：
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q
≠
1)
(q
为比值，
n
为项数）
(4)
性质：
①若
m
、
n
、
p
、
q
∈
N
，
且
m
＋
n=p
＋
q
，则
am*an=ap*aq
；
②在等比数列中，依次每
k
项之和仍成等比数列
.
③若
m
、
n
、
q
∈
N
，且
m+n=2q
，则
am*an=aq^2
(5)
是
a
、
b
的等比中项
（
G
≠
0
）
(6 )
在等比数列中，首项
a1
与公比
q
都不为零
.
注意：上述公式中
an
表示等比数列的第
n
项。
等比数列
如果一个数列从第
2
项起，每一项 与它的前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等
比数列的公比， 公比通常用字母
q
表示
(q
≠
0)
。
1
/
6
等比数列求和公式
（
1
）等比数列的通项公式是：
An=A1*q^
（n
－
1
）
若通项公式变形为
an=a1/q*q^n(n
∈
N*),
当
q
＞
0
时，则
可把
an
看作自变量
n
的函数，点
(n,a n)
是曲线
y=a1/q*q^x
上
的一群孤立的点。
（
2
）等比数列求和公式：
Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (
即
A-Aq^n)
(
前提：
q
≠
1)
任意两项
am
，
an
的关系为an=am
·
q^(n-m)
（
3< br>）从等比数列的定义、通项公式、前
n
项和公式可
以推出：
a1
·
an=a2
·
an-1=a3
·
an-2=
…
=ak
·
an-k+1
，
k
∈
{1,2,
…
,n}
（
4
）等比中项：
a q
·
ap=ar^2
，
ar
则为
ap
，
a q
等比中项。
记π
n=a1
·< br>a2
…
an
，则有π
2n-1=(an)2n-1
，π
2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比 数列各项取同底数后构
成一个等差数列；反之，以任一个正数
C
为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂
Can
，则是等比数列。在这个意义
2
/
6
等比数列求和公式
下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项
除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项。
（
5
）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列
的前
n
项和，
当
n
无限增大时的极限，
叫做这个无穷递缩数列的各
项和。
性质
①若
m
、
n
、
p
、
q
∈
N*
，
且
m＋
n=p
＋
q
，
则
am*an=ap*aq
；
②在等比数列中，依次每
k
项之和仍成等比数列
.
“< br>G
是
a
、
b
的等比中项”
“
G^2=ab< br>（
G
≠
0
）
”
.
③若（
an
）是等比数列，公比为
q1
，
（bn
）也是等比数
列，公比是
q2
，则
（
a2n
）
，
（
a3n
）…是等比数列 ，公比为
q1^2
，
q1^3
…
（
can
）
，
c
是常数，
（
an*bn< br>）
，
（
an/bn)
是等比数列，公比
为
q1
，
q1q2
，
q1/q2
。
（
4
）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。
（
5
）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段
和为等比。
（
6
）
若
（
an
）
为等比数列且各项为正，
公比为
q
，
则
（
log
以
a
为底
an
的对数）
成等差，
公差为
l og
以
a
为底
q
的对数。
(7)
等比数列前
n
项之和
3
/
6