行程问题解题技巧精编版
温柔似野鬼°
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2021年01月25日 08:44
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赞美黄山的诗句-
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行程问题解题技巧
走走停停的要点及解题技巧
一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做
1.
画出速度和路程的图。
2.
要学会读图。
3.
每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。
4.
要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀
行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行程分类细，变化多，工程抓住工 作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一，
因此没有一个关键点可以抓
题目难： 理解题目、
动态演绎推理——静态知识容易学，
动态分析需要较高的理解能力、逻
辑分 析和概括能力
跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来 加深理解、
夯实基础
那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？
要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是
学透
基本公式
< br>要诀二：无规律的题目有
攻略
，一画（画图法）二抓（比例法、方程法 ）
竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练
运用，而这些方法和思想，都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。
< br>例
1.
甲乙两人同时从一条
800
环形跑道同向行驶，
甲100
米
/
分，
乙
80
米
/
分，两人每跑
200
米休息
1
分钟，甲需多久第一次追上乙？
【解答】
这样的题有三种情况：
在乙休息结束时被追上、
在休息过程中被追上和在 行进中被
追上。
很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，
如果不行再考虑在休息过程 中被追上，
最
后考虑行进中被追上。
其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必 须考虑是否是在休
息点追上的。
由此首 先考虑休息
800
÷
200
－
1
＝
3
分钟 的情况。甲就要比乙多休息
3
分钟，就相当于
甲要追乙
800
＋80
×
3
＝
1040
米，
需要
1040
÷
（
100
－
80
）
＝
52
分钟，52
分钟甲行了
52
×
100
＝
5200
米， 刚好是在休息点追上的满足条件。行
5200
米要休息
5200
÷
2 00
－
1
＝
25
分钟。
因此甲需要
52
＋
25
＝
77
分钟第一 次追上乙。
例
2.
在
400
米环形跑道上，
A< br>、
B
两点的跑道相距
200
米，甲、乙两人分别从
A
、
B
两点同
时出发，
按逆时针方向跑步，
甲每秒跑
7
米，
乙每秒跑
5
米，
他们每人跑
100
米都停
5
秒．
那
么，甲追上乙需要多少秒？
【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。
这里分三种情况讨论休息的时间， 第一、如果在行进中追上，甲比乙多休息
10
秒，第二，
如果在乙休息结束的时候追上 ，
甲比乙多休息
5
秒，
第三，
如果在休息过程中且又没有休息
结束，
那么甲比乙多休息的时间，
就在这
5
～
10
秒之间 。
显然我们考虑的顺序是首先看是否
在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追 上。
有了以上的分析，
我们就可以来解 答这个题了。
我们假设在同一个地点，
甲比乙晚出发
的时间在
200/7＋
5
＝
235/7
和
200/7
＋
10
＝
270/7
的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用
这么多时间，由于甲行100
米比乙少用
100/5
－
100/7
＝
40/7
秒。
继续讨论，因为
270/ 7
÷
40/7
不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追上
的。因 为在这个范围内有
240/7
÷
40/7
＝
6
是整数，说明 在乙休息的中追上的。即甲共行了
6
1
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×
100
＋
200
＝
800
米，休息了
7
次，计算出时间就 是
800/7
＋
7
×
5
＝
149
又
2/7
秒。
注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。
例
1
、快车和慢车分别从
A
，
B
两地同 时开出，相向而行
.
经过
5
小时两车相遇
.
已知慢
车从
B
到
A
用了
12.5
小时，慢车到
A
停留半小时后返回
.
快车到
B
停留
1
小时后返回
.
问：
两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？
【解答】画一张示意图：
设
C
点是第一次相遇处
.
慢车从
B
到
C
用了
5
小时，
从
C
到
A
用了
12.5-5=7.5
（小时）
.
我 们把慢车半小时行程作为
1
个单位
.B
到
C10
个单位，< br>C
到
A15
个单位
.
慢车每小时走
2
个单位，快车每小时走
3
个单位
.
有了上面
取单位
准备后，下面很易计算了
.
慢车从
C
到
A
，再加停留半小时， 共
8
小时
.
此时快车在何处呢？去掉它在
B
停留
1
小
时
.
快车行驶
7
小时，
共行驶
3
×
7=21
（单位）
.
从
B
到
C
再往前 一个单位到
D
点
.
离
A
点
15-1
＝14
（单位）
.
现在慢车从
A
，快车从
D
，同时出发共同行走
14
单位，相遇所需时间是
14
÷（
2
＋
3
）＝
2.8
（小时 ）
.
慢车从
C
到
A
返回行驶至与快车相遇共用了
7. 5
＋
0.5
＋
2.8
＝
10.8
（小时）
.
答：从第一相遇到再相遇共需
10
小时
48
分。
例
2
、小轿车的速度比面包车速度每小时快
6
千米，小轿 车和面包车同时从学校开出，
沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早
10
分钟到达城门 ，当面包车到达城门时，小轿车已
离城门
9
千米，问学校到城门的距离是多少千米？< br>
【解答】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间
.
此时，小 轿车比面包车多走了
9
千米，而小轿车与面包车的速度差是
6
千米
/
小时，因此
所用时间
=9
÷
6
＝
1.5
（小时）
.
小轿车比面包车早
10
分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门
9
千米，说明小轿车的
速度是
面包车速度是
54-6
＝
48
（千米
/
小时）
.
城门离学校的距离是
48
×
1.5
＝
72
（千米）
.
答：学校到城门的距离是
72
千米
.
简单相遇的要点及解题技巧
一、
简单相遇问题的特点：
（
1
）两个运动物体一般同时不同地（或不同时不同地）出发作相向运动．
（
2
）在一定时间内，两个运动物体相遇。
（
3
）相遇问题的解题要点：相遇所需时间
=
总路程÷速度和。
解答相遇问题必 须紧紧抓住
速度和
这个关键条件．主要数量关系是：
二：简单相遇问题与追及问题的共同点：
（
1
）是否同时出发
（
2
）是否同地出发
2
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（
3
）方向：同向、背向、相向
（
4
）方法：画图
三、简单相遇在解题时的入手点及需要注意的地方
相遇问题与速度和、路程和有关
（
1
）是否同时出发
（
2
）是否有返回条件
（
3
）是否和中点有关：判断相遇点位置
（
4
）是否是多次返回：按倍数关系走。
（
5
） 一般条件下，入手点从
和
入手，但当条件与
差
有关时，就从差入手，
再分析出时间，由此再得所需结果
例
1.
两列对开的列车相遇，
第一列车的车速为
10
米
/
秒，
第 二列车的车速为
12.5
米
/
秒，
第二列车的旅客发现第一列车在旁 边开过时用了
6
秒，则第一列车的长度为多少米？
A.60
米
B.75
C.80
米
D.135
米
【解答】
D
。解析：这里
A
，
B
两地的 距离就为第一列车的长度，那么第一列车的
长度为（
10+12.5
）×
6= 135
米。
例
2.
甲、乙二人同时从相距
60
千 米的两地同时相向而行，
6
小时相遇。如果二人每小
时各多行
1
千米 ，那么他们相遇的地点距前次相遇点
1
千米。又知甲的速度比乙的速
度快，乙原来的速 度为（
）
A.3
千米
/
时
B.4
千米
/
时
C.5
千米
/
时
D.6
千米
/
时
【解答】
B
。
解析：
原来两人速度和为
60
÷
6=10
千米
/
时 ，
现在两人相遇时间为
60
÷
（
10+2
）
=5< br>小时，
设原来乙的速度为
X
千米
/
时且乙的速度较慢，
则
5
（
X+1
）
=6X+1
，
解得
X= 4
。
注意：在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。
例
3 .
每天早上李刚定时离家上班，张大爷定时出家门散步，他们每天都相向而行且准
时在途中相遇 。有一天李刚因有事提早离家出门，所以他比平时早
7
分钟与张大爷相
遇。已知李刚每 分钟行
70
米，张大爷每分钟行
40
米，那么这一天李刚比平时早出门
（
）分钟。
A.7
B.9
C.10
D.11
【答案】
D
。解析：设每天李刚走< br>X
分钟，张大爷走
Y
分钟相遇，李刚今天提前
Z
分
钟 离家出门，可列方程为
70X+40Y=70
×（
X+Z
－
7
）
+40
×（
Y
－
7
）
，解得
Z=11
，故应
选择
D
。抓住了，两地距离不变，列方程。
例
1.
甲、乙两车同时从
A
、
B
两地相向而行，在距< br>B
地
54
千米处相遇他们各自到达
对方车站后立即返回原地，途中有在 距
A
地
42
千米处相遇。求两次相遇地点的距离。
【解答】设两次相遇地点的距离为
x
千米
根据他们相遇时用的时间是相等的
在距
B
地
54
千米处相遇时有：
（
42+x
）
/V
甲
=54/V
乙
在距
A
地
42
千米处相遇时有：
（< br>54*2+x
）
/V
甲
=
（
x+42*2
）
/V
乙
则（
42+x
）
/54=
（108+x
）
/
（
x+84
）
x2+72x-2304=0
（
x-24
）
（
x+96
）
=0
解得
x=24
，
x=-96
（舍去）
所以两次相遇地点的距离为
24
千米。
3
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例
2.
在一次野外长跑比赛中，
A
、
B
两人同 时从起点开始跑，
A
的速度为每秒
3
米，
B
的速度为每秒< br>2
米。途中，一辆汽车以每秒
10
米的速度迎面开来，在与
A
相遇
2
分钟
后，又遇
B
擦肩而过。问：当汽车与
A
擦肩而过时，
A
、
B
二人相距多远？当汽车与
B
擦肩而过时 ，
A
、
B
二人相距多远？
【解答】
当汽车与
A
擦肩而过、与
B
相向而行时，这道题可改编为：
汽车与
B
相向而行，已知汽车每秒前进
10
米，
B
每秒前进
2
米，二者
2
分钟相遇，问
两地相距多远？
非常容易的一道题，先将
2
分钟换算成
120
秒，然后按照公式
速度和×时间＝距离
的方法，得到：﹙
10
＋
2
﹚×
120
＝
1440
米。
即：当汽车与
A擦肩而过时
A
、
B
二人相距
1440
米
我们把第二问也简化以下。
A
、
B
二人赛跑，已知
A
在
B
前面
1440
米的地方，二人同向而行，又知
A< br>的速度是每
秒
3
米，
B
的速度是每秒
2
米，
跑了
2
分钟时﹙就是汽车从相遇
A
到相遇
B
的时间 ﹚，
两人相距多远？
我们已知开始跑时﹙即汽车与
A
相遇时﹚，两 人本来就相距
1440
米，二人速度差为每
秒
1
米﹙
3－
2
﹚。汽车走了
120
秒，两人的距离就增加了
120
米﹙
1
×
120
﹚。那么，
2
分钟时，两人距离应为1560
米﹙
120
＋
1440
﹚。
即：当 汽车与
B
擦肩而过时，
A
、
B
二人相距
1560< br>米。
多人行程的要点及解题技巧
行程问题是小学奥数中难度系数比 较高的一个模块，
在小升初考试和各大奥数杯赛中都
能见到行程问题的身影。行程问题中包括： 火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环
形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点，解 决方法也有所不同，但是，行程问
题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”
：
这三个量是：路程
(s)
、速度
(v)
、时间
(t)
三个关系：
1.
简单行程：路程
=
速度×时间
2.
相遇问题：路程和
=
速度和×时间
3.
追击问题：路程差
=
速度差×时间
牢牢把握住这三个 量以及它们之间的三种关系，
就会发现解决行程问题还是有很多方法可循
的。
如“多人行程问题”
，实际最常见的是“三人行程”
例：有甲、乙、丙三人 同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、
丙相背而行。甲每分钟走
4 0
米，乙每分钟走
38
米，丙每分钟走
36
米。在途中，甲和乙相< br>遇后
3
分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？
分析：
这个三人行程的问题由两个相遇、
一个追击组成，
题目中所给的条件只有三个人的速
度，以及一个“
3
分钟”的时间。
第一个相遇：在
3
分钟 的时间里，甲、丙的路程和为（
40+36
）×
3=228
（米）
第一个追击：这
228
米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造 成的，
是逆向的追击过程，可求出甲 、乙相遇的时间为
228
÷（
38-36
）
=114
（分钟 ）
第二个相遇：在
114
分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（
40+38
）×
114=8892
（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的
4
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“三个关系”
，解决行程问题并非难事！
多人行程例题及答案（一）
行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都
能见到行程问题的身影。
多人行程
---
这类问题主要涉及的人数为
3
人，
主要考察的问题就是
求前两个人相遇或追 及的时刻，
第三个人的位置，
解题的思路就是把三人问题转化为寻找两
两人之间的关系 。
例
1.
甲乙丙三人同时从东村去西村， 甲骑自行车每小时比乙快
12
公里，比丙快
15
公
里，甲行
3.5
小时到达西村后立刻返回。在距西村
30
公里处和乙相聚，问：丙行了多长时< br>间和甲相遇？
答案一：
设乙每小时行
x
公里，则 甲为
x+12
，丙为
x-15+12=x-3
3.5*12=(x+12)*2
x=9
甲为
21
公里，丙为
6
公里，
21*3.5*2/(21+6
）
=5.44
小时
丙行了
5.44
小时和甲相遇
答案二：
在距西村
30
公里处和乙相聚，则甲比乙多走
60
公里，
而甲骑自行车每小时比乙快
12
公里，
所以，甲乙相聚时所用时间是
60/12=5
小时，
所以甲从西村到和乙相聚用了
5-3.5=1.5
小时，
所以，甲速是：
30/1.5=20
公里
/
小时，
所以，丙速是：
20-15=5
公里
/
小时，
东村到西村的距离是：
20*3.5=70
公里，
所以，甲丙相遇时间是：
(2*70)/(20+5)=5.6
小时
例
2.
难度：高难度
甲、
乙、
丙三辆车同时从< br>A
地出发到
B
地去，
甲、
乙两车的速度分别为
60< br>千米／时和
48
千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后
6
时、
7
时、
8
时先后与甲、乙、丙
三辆车相遇。求丙车的速度。
【解答】
解题思路：
（多人相遇问题要转化成两两之间的问题，咱们 的相遇和追击公式也是研究的两
者。另外
ST
图也是很关键）
第一 步：
当甲经过
6
小时与卡车相遇时，乙也走了
6
小时，甲比乙多走了
660-486=72
千米；
（这也是现在乙车与卡车的距离）
第 二步：接上一步，乙与卡车接着走
1
小时相遇，所以卡车的速度为
72-481=24
第三步：综上整体看问题可以求出全程为：
（
60+24
）
6=50 4
或（
48+24
）
7=504
第四步：收官之战：
5048-24=39
（千米）
注意事项：画图时，要标上时间，并且多人要同时标，以防思路错乱！
例
3.
难度：高难度
李华步行以每小时
4
千米的 速度从学校出发到
20.4
千米外的冬令营报到。
0.5
小时后，
营 地
老师闻讯前来迎接，每小时比李华多走
1.2
千米，又经过了
1.5
小时，张明从学校骑车去营
地报到。结果
3
人同时在途中某地相遇。问：张明每小时 行驶多少千米？
【解答】
老师出发时和李华相距
20.4-4< br>×
0.5=18.4
千米，再过
18.4
÷（
4+4+1.2
）
=2
小时相遇，相遇
5
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地点距学校< br>2
×
4+2=10
千米，张明行驶的时间为
0.5
小时，因此 张明的速度为
10
÷
0.5=20
千米
/
时。
多人行程例题及答案（二）
例
1. AB
两地相距
30< br>千米，甲乙丙三人同时从
A
到
B
，而且要求同时到达。现在有两
辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自
行车的平均速 度为每小时
20
千米，甲步行的速度是每小时
5
千米，乙和丙每小时
4
千米，
那么三人需要多少小时可以同时到达？
【解答】
因为乙丙步行速度相等，
所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的。< br>对于甲因为他步行速度快一些，所以骑车路程少一点，步行路程多一些。
现在考虑甲和乙丙步行路程的距离。
甲多步行
1
千米要用
1/5小时，
乙多骑车
1
千
米用
1/20
小时，甲多用
1/5-1/20=3/20
小时。
甲步行
1千米比乙少用
1/4-1/5=1/20
小时。
，所以甲比乙多步行的路程是乙步 行路
程的：
1/20/
（
3/20=1/3.
这样设乙丙步行路程为
3
份，甲步行
4
份。如下图安排：
这样甲骑车行骑车的
3/5
，步行
2/5.
所以时间为：
30*3/5/20+30*2/5/5=3.3
小时。
例
2.
有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走， 甲
与乙、丙相背而行。甲每分钟走
40
米，乙每分钟走
38
米，丙每 分钟走
36
米。在途中，甲
和乙相遇后
3
分钟和丙相遇。问：这个花 圃的周长是多少米？
【解答】
这个三人行程的问题由两个相遇、
一个追击组 成，
题目中所给的条件只有三个人的
速度，以及一个“
3
分钟”的时间。
第一个相遇：在
3
分钟的时间里，甲、丙的路程和为（
40+36）×
3=228
（米）
第一个追击：这
228
米是由 于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，
是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的 时间为
228
÷（
38-36
）
=114
（分钟）
第二个相遇：在
114
分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（
40+38
）×
114=8892
（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的
“三个关系”
，解决行程问题并非难事！
二次相遇的要点及解题技巧
一、
概念：
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动 ，随着时间的发展，必
然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
二、特点：
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
三、类型：
6
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相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
四、三者的基本关系及公式：
它们的基本关系式如下：
总路程
=
（甲速
+
乙速）×相遇时间
相遇时间
=
总路程÷（甲速
+
乙速）
另一个速度
=
甲乙速度和
-
已知的一个速度
答题 思路点拨：甲从
A
地出发，乙从
B
地出发相向而行，两人在
C
地相遇，相遇后甲
继续走到
B
地后返回，乙继续走到
A
地后返回， 第二次在
D
地相遇。一般知道
AC
和
AD
的距离，主要抓住 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例
1.
甲乙两车同 时从
A
、
B
两地相向而行，在距
B
地
54
千米处相遇，它们各自到达对
方车站后立即返回，在距
A
地
42
千米 处相遇。请问
A
、
B
两地相距多少千米？
A.120
B.100
C.90
D.80
【解答】< br>A
。解析：设两地相距
x
千米，由题可知，第一次相遇两车共走了
x< br>，第二次
相遇两车共走了
2x
，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇 走的路程分别为
第一次相遇的二倍，即
54
×
2=x-54+42
， 得出
x=120
。
例
2.
两汽车同时从
A
、
B
两地相向而行，在离
A
城
52
千米处相遇，到达对方 城市后立
即以原速沿原路返回，在离
A
城
44
千米处相遇。两城市相 距（
）千米
A.200
B.150
C.120
D.100
【解答】
D
。解析：第一次相 遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全
程，从
A
城出发的汽车在第二 次相遇时走了
52
×
2=104
千米，从
B
城出发的汽车走 了
52+44=94
千米，故两城间距离为（
104+96
）÷
2= 100
千米。
绕圈问题：
例
3.
在一个圆形跑 道上，甲从
A
点、乙从
B
点同时出发反向而行，
8
分钟后两 人相遇，
再过
6
分钟甲到
B
点，又过
10
分钟两人 再次相遇，则甲环行一周需要（
）？
A
．
24
分钟
B
．
26
分钟
C
．
28
分钟
D
．
30
分钟
【解答】
C
。解析：甲、 乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了
6+10=16
分钟。也就
是说，
两 人
16
分钟走一圈。
从出发到两人第一次相遇用了
8
分钟，
所以两人共走半圈，
即从
A
到
B
是半圈，
甲从
A< br>到
B
用了
8+6=14
分钟，
故甲环行一周需要
14
×
2=28
分钟。
也是一个倍数关系。
例
1.< br>两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行
56
千米，另一辆汽车每
小时行
63
千米，经过
4
小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？
（ 适于五年级程度）
【解答】
两辆汽车从同时相对开出到相遇各行
4
小时。
一辆汽车的速度乘以它行驶的时
间，
就是它行驶的路程；
另一辆汽车的 速度乘以它行驶的时间，
就是这辆汽车行驶的路
程。两车行驶路程之和，就是两地距离。
56
×
4=224
（千米）
63
×
4=252
（千米）
224+252=476
（千米）
综合算式：
56
×
4+63
×
4
=224+252
=476
（千米）
答：甲乙两地相距
476
千米。
例
2.
两列火车 同时从相距
480
千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶
40
千< br>米，乙车每小时行驶
42
千米。
5
小时后，两列火车相距多少千米？< br>（适于五年级程度）
7
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解：
此题的答案 不能直接求出，
先求出两车
5
小时共行多远后，
从两地的距离
480
千米
中，减去两车
5
小时共行的路程，所得就是两车的距离。
480-
（
40+42
）×
5
=480-82
×
5
=480-410
=70
（千米）
答：
5
小时后两列火车相距
70
千米。
例
3.
两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶
60
千米，第 二
列火车每小时行驶
55
千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了
20
千米。
求甲、乙两地间的距离。
（适于五年级程度）
解：两车相遇时，
两车的路程差是
20
千米。
出现路程差的原因是两车行驶的 速度不同，
第一列火车每小时比第二列火车多行（
60-55
）千米。由此可求出两车 相遇的时间，进
而求出甲、乙两地间的距离。
（
60+55
）×< br>[20
÷（
60-55
）
]
=115
×
[20
÷
5]
=460
（千米）
答：甲、乙两地间的距离为
460
千米。
追及问题的要点及解题技巧
一、多人相遇追及问题的概念及公式
多人相遇追及问题，即在同一直线上，
3
个或
3
个以上的对象之间的相遇追及 问题。
所有行程问题都是围绕
这一条基本关系式展开 的，
比如我们遇到的两大典型行程
题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．
由此还可以得到如下两条
关系式：
多人相 遇与追及问题虽然较复杂，
但只要抓住这两条公式，
逐步表征题目中所涉及的数
量，问 题即可迎刃而解．
二、多次相遇追及问题的解题思路
所有行程问题都是围 绕
这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，
但只要抓住这个公式， 逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：
第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………，………………；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了 第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果 走了
N
米，以
后每次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：
第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇，共走
4
个全程；
8 < br>……………………………………………………………最新资料推荐……………………………………………… …
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………，………………；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差
火车过桥的要点及解题技巧
一、什么是过桥问题？
火车过桥问题 是行程问题的一种，
也有路程、
速度与时间之间的数量关系，
同时还涉及
车长 、桥长等问题。基本数量关系是火车速度×时间
=
车长
+
桥长
二、关于火车过桥问题的三种题型：
（
1
）基本题型：这类问题需 要注意两点：火车车长记入总路程；重点是车尾：火车与
人擦肩而过，即车尾离人而去。
如：
火车通过一条长
1140
米的桥梁用了
50
秒，
火 车穿过
1980
米的隧道用了
80
秒，
求
这列火车的速度和 车长。
（过桥问题）
一列火车通过
800
米的桥需
55< br>秒，通过
500
米的隧道需
40
秒。问该列车与另一列长
38 4
、每秒钟行
18
米的列车迎面错车需要多少秒钟？（火车相遇）
（
2
）错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长
如：快、慢两列火车相向而行，快车的车长是
50
米，慢车的车长是
80
米 ，快车的速度
是慢车的
2
倍，
如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5
秒，
那么，
坐在快车的人
见慢车驶过窗口的时间是多少？
< br>（
3
）综合题：用车长求出速度；虽然不知道总路程，但是可以求出某两个时刻间两人< br>或车之间的路程关系
如：铁路旁有一条小路，一列长为
110
米的火 车以每小时
30
千米的速度向南驶去，
8
点时追上向南行走的一名军人，15
秒后离他而去，
8
点
6
分迎面遇到一个向北走的农民，12
秒后离开这个农民。问军人与农民何时相遇？
例
1.
一列 火车长
150
米，每秒钟行
19
米。全车通过长
800
米的 大桥，需要多少时间？
【解答】列车过桥，就是从车头上桥到车尾离桥止。车尾经过的距离< br>=
车长
+
桥长，车
尾行驶这段路程所用的时间用车长与桥长和除以车速 。
解：
（
800+150
）÷
19=50
（秒）
答：全车通过长
800
米的大桥，需要
50
秒。
例
2.
一列火车长
200
米，以每秒
8
米的速度通过一条隧 道，从车头进洞到车尾离洞，
一共用了
40
秒。这条隧道长多少米？
【解答】先求出车长与隧道长的和，
然后求出隧道长。火车从车头进洞到车尾离洞，
共
走车长
+
隧道长。这段路程是以每秒
8
米的速度行了
40
秒。
解：
（
1
）火车
40
秒所行路程：
8
×
40=320
（米）
（
2
）隧道长度：
320-200=120
（米）
答：这条隧道长
120
米。
例
3.
一列火车长< br>119
米，它以每秒
15
米的速度行驶，小华以每秒
2
米的速 度从对面走
来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？
【解答】
本题是求火车 车头与小华相遇时到车尾与小华相遇时经过的时间。
依题意，
必
须要知道火车车头与小 华相遇时，车尾与小华的距离、火车与小华的速度和。
解：
（
1
） 火车与小华的速度和：
15+2=17
（米
/
秒）
（
2
）相距距离就是一个火车车长：
119
米
9
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（
3
）经过时间：
119
÷
1 7=7
（秒）
答：经过
7
秒钟后火车从小华身边通过。
例
1.
某列车通过
250
米长的隧道用
25
秒，通 过
210
米的铁桥用
23
秒，该列车与另一
列长
320米，速度为每小时行
64.8
千米的火车错车时需要（
）秒。
【解答】火车过桥问题
公式：
(
车长
+
桥长)/
火车车速
=
火车过桥时间
速度为每小时行
64. 8
千米的火车，每秒的速度为
18
米
/
秒，
某列 车通过
250
米长的隧道用
25
秒，通过
210
米的铁桥用
23
秒，则
该火车车速为：
(250-210)/(25-23) =20
米
/
秒
路程差除以时间差等于火车车速
.
该火车车长为：
20*25-250=250(
米
)
或
20*23-210=250(
米
)
所以该列车与另一列长320
米，速度为每小时行
64.8
千米的火车错车时需要的时间为
(320+250)/(18+20)=15(
秒
)
例
2.
一列火车长
160m
，匀速行驶，首先用
26s
的时间通过甲隧 道（即从车头进入口到
车尾离开口为止）
，
行驶了
100km
后又用
16s
的时间通过乙隧道，
到达了某车站，
总行
程
100. 352km
。求甲、乙隧道的长？
【解答】设甲隧道的长度为
xm
那么乙隧道的长度是（
100.352-100
）
（单位是千米！
）
*1000-x
＝（
352-x)
那么
(x+160)/26=(352-x+160)/16
解出
x
＝
256
那么乙隧道的长度是
352-256=96
火车过桥问题的基本公式
（火车的长度
+
桥的长度）
/
时间＝速度
例3.
甲、乙两人分别沿铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在
甲身旁 开过，用了
15
秒，然后在乙身旁开过，用了
17
秒，已知两人的步行速度都 是
3.6
千米
/
小时，这列火车有多长？
【解答】从题意 得知，甲与火车是一个相遇问题，两者行驶路程的和是火车的长
.
乙与
火车是一个追及 问题，
两者行驶路程的差是火车的长，
因此，
先设这列火车的速度为
χ
米
/
秒，两人的步行速度
3.6
千米
/
小时＝
1
米
/
秒，所以根据甲与火车相遇计算火车的长
为
(15
χ< br>＋
1
×
15)
米，根据乙与火车追及计算火车的长为
(17< br>χ
-1
×
17)
米，两种运算结果
火车的长不变，列得方程为
15
χ
＋
1
×
15
＝
17χ
-1
×
17
解得：
χ
＝
16
故 火车的长为
17
×
16-1
×
17
＝
255
米
流水行船的要点及解题技巧
一、什么叫流水行船问题
船在水中航行时，
除了自身的速度外，
还受到水流的影响，
在这种情况下计算船只 的航
行速度、
时间和行程，
研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，
叫 作流水行船问
题。
二、流水行船问题中有哪三个基本量？
流水行 船问题是行程问题中的一种，
因此行程问题中的速度、
时间、
路程三个基本量之
间的关系在这里也当然适用．
10
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三、流水行船问题中的三个基本量之间有何关系？
流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度
=
船速
+
水速，
（
1
）
逆水速度
=
船速
-
水速
.
（
2
）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程
.
水速，是指
水在单位时间里流过的路程
.
顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流 航行时船在
单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（
l
）可以得到：
水速
=
顺水速度
-
船速，
船速
=
顺水速度
-
水速。
由公式（
2
）可以得到：
水速
=
船速
-
逆水速度，
船速
=
逆水速度
+
水速。
这就是说，
只 要知道了船在静水中的速度，
船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，
就可以求出第三个量 。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（
1
）和公式（
2
）
，相加和相减就可以
得到：
船速
=
（顺水速度
+
逆水速度）÷
2
，
水速
=
（顺水速度
-
逆水速度）÷
2
。
例
1.
一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙
港，共用了
12
小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的
2
倍， 水流速度是每小时
2
千米，从甲港到乙港相距
18
千米。则甲、丙两港间的距 离为（
）
A.44
千米
B.48
千米
C.30
千米
D.36
千米
【答案】
A
。解析：顺流速度－逆流速度< br>=2
×水流速度，又顺流速度
=2
×逆流速度，可
知顺流速度
=4
×水流速度
=8
千米
/
时，逆流速度
=2
×水 流速度
=4
千米
/
时。设甲、丙两
港间距离为
X
千 米，可列方程
X
÷
8+
（
X
－
18
）÷< br>4=12
解得
X=44
。
例
2.
一艘轮船 在两码头之间航行。如果顺水航行需
8
小时，如果逆水航行需
11
小时。已知水速为每小时
3
千米，那么两码头之间的距离是多少千米？
A.180
B.185
C.190
D.176
【答案】
D
。解析：设全程 为
s
，那么顺水速度为，逆水速度为，由（顺水速度
-
逆水速
度）< br>/2=
水速，知道－
=6
，得出
s=176
。
【知识点拨】我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上
行进，
同时整个水面又按水流动的速度在前进，
因此船顺水航行的实际速度
（简称顺水
速度）就等于船速和水速的和，即：
顺水速度
=
船速
+
水速
同理：逆水速度
=
船速
-
水速
可推知：船速=
（顺水速度
+
逆水速度）
/2
；水速
=
（顺 水速度
-
逆水速度）
/2
例
1.
甲、乙两港间的水路长< br>208
千米，一只船从甲港开往乙港，顺水
8
小时到达，从
乙港返回甲 港，逆水
13
小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
【分析】
根据题意，
要想求出船速和水速，
需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度
和逆水 速度，
而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，
用路程分别除以顺
水、逆 水所行时间求出。
解：
顺水速度：
208
÷
8 =26
（千米
/
小时）
11
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逆水速度：
208
÷
13=16
（千米
/
小时）
船速：
（
26+16
）÷
2=21
（千米
/
小时）
水速：
（
26
—
16
）÷
2= 5
（千米
/
小时）
答：船在静水中的速度为每小时
21< br>千米，水流速度每小时
5
千米。
例
2.
某船在静水 中的速度是每小时
15
千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了
8
小
时，水速每小时
3
千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
【分析】要想求从乙地返回甲地需要多少时间，
只要分别求出甲、
乙两地之间的路程和
逆水 速度。
解：
从甲地到乙地，顺水速度：
15+3=18
（千米
/
小时）
，
甲乙两地路程：
18
×
8=144
（千米）
，
< br>从乙地到甲地的逆水速度：
15
—
3=12
（千米
/
小时）
，
返回时逆行用的时间：
144
÷
12
＝
12
（小时）
。
答：从乙地返回甲地需要
12
小时。
例
3.
甲、 乙两港相距
360
千米，一轮船往返两港需
35
小时，逆流航行比顺流航行多 花
了
5
小时
.
现在有一机帆船，
静水中速度是每小时
12
千米，
这机帆船往返两港要多少小
时？
【分析】要求帆船往 返两港的时间，就要先求出水速
.
由题意可以知道，轮船逆流航行
与顺流航行的时间和 与时间差分别是
35
小时与
5
小时，用和差问题解法可以求出逆流
航 行和顺流航行的时间
.
并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度
.
在此基础 上再用和
差问题解法求出水速。
解：
轮船逆流航行的时间：（
35+5
）÷
2=20
（小时）
，
顺流航 行的时间：
（
35
—
5
）÷
2=15
（小时），
轮船逆流速度：
360
÷
20=18
（千米
/
小时）
，
顺流速度：
360
÷
15=24< br>（千米
/
小时）
，
水速：
（
24
—
18
）÷
2=3
（千米
/
小时）
，
< br>帆船的顺流速度：
12
＋
3
＝
15
（千米
/
小时）
，
帆船的逆水速度：
12
—
3=9
（千米
/
小时）
，
帆船往返两港所用时间：
360
÷
15
＋
360
÷
9
＝
24+40 =64
（小时）
。
答：机帆船往返两港要
64
小时。
环形跑道的要点及解题技巧
一、什么是环形跑道问题？
环形跑道问题特殊场地行程问题之一。
是多人
（一般至少两人）
多次相遇或追及的过 程
解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一
个行程状 态作出正确合理的线段图进行分析。
二、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：
路程和
=
相遇时间×速度和
路程差
=
追及时间×速度差
三、解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道问题，
从同一地点出发，如果是 相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同
向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我 们解决问题的关键。
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同向：路程差
相对
(
反向
)
：路程
和
环线型
同一出发点
nS
nS
直径两端
nS
+0.5
S
nS-
0.5
S
环形跑道问题特殊场地行程问题之一。
是多人
（一般至少两人）
多次相遇或追及的 过程
解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一
个行程 状态作出正确合理的线段图进行分析。
下面通过几道例题来帮助大家巩固环形跑
道的相关知识。
例
1.
甲、乙两人从
400
米的环形跑道上一 点
A
背向同时出发，
8
分钟后两人第五次相
遇，已知每秒钟甲比乙多 走
0.1
米，那么两人第五次相遇的地点与点
A
沿跑道上的最
短路程 是多少米？
【解答】设乙的速度是
x
米
/
分
0. 1
米
/
秒
=6
米
/
分
8x+8x+8×
6=400
×
5x=122122
×
8
÷
4 00=2....176
那么两人第五次相遇的地点与点
A
沿跑道上的最短路程是176
米
例
2.
二人沿一周长
400
米的环 形跑道均速前进，甲行一圈
4
分钟，乙行一圈
7
分钟，
他们同时同地 同向出发，甲走
10
圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都
要击掌。问第 十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？
【解答】
甲走完
10
圈走了
10*400=4000
米他们每击掌一次，
甲走一圈
(
画画 图就会明白
的
)
，
则
15*400=6000
米总共走了< br>6000+4000=10000
米
10000/400=25
分钟因为甲乙所 走
时间想同所以乙走了
25/7*400
≈
1428
米
< br>例
3.
林玲在
450
米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒 跑
5
米，后一半时
间每秒跑
4
米，那么他后一半路程跑了多少秒？< br>
【解答】总共用时为
450
÷（
5+4
）＝
50< br>秒后半程用时＝（
225-4
×
50
）÷
5+50
＝
55
秒
例
4.
某人在
360
米的环形跑 道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑
5
米，后一半时
间每秒跑
4
米，则他后一半路程跑了多少秒？
【解答】
44
秒因为共花了
80
秒的时间（
（
80/2
）
-360/2
）
/5+8 0/2=44
例
5.
一条环形跑道长
400
米，小青每分钟跑260
米，小兰每分钟跑
210
米，两人同时
出发，经过多少分钟两人相 遇（不用解方程）
【解答】小青每分钟比小兰多跑
50
米一圈是
4 00
米
400/50=8
所以跑
8
分钟
例
6.
两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑
3
米，小雅每秒跑< br>4
米，反向而行，
45
秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇
【解答】
（
4+3
）×
45=315
米——环形跑道 的长（相遇问题求解）
315
÷（
4-3
）
=315秒——（追及问题求解）
答：
315
秒后两人再次相遇
. < br>例
1.
甲、乙两人同时从
400
米的环形路跑道的一点
A背向出发，
8
分钟后两人第三次
相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行
0. 1
米，两人第三次相遇的地点与
A
点沿跑道上
的最短距离是（
）
。
A.166
米
B.176
米
C.224
米
D.234
米
【解答】甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是
3
╳
400=1200
（米）
。根据题意，
甲乙两人的速度和为< br>1200/8=150
（米
/
分）
因为甲乙两人的每分速度 差为
0.1
╳
60=6
（米
/
分）
，
所以 甲的速度为
（
150+6
）
/2=78
（米
/
分）
甲
8
分钟行的路程为
78
╳
8=624
（米）
，离开原点
624-400=224
米，因为
224>400/2，所
以
400-224=176
（米）即为答案。
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