小学奥数行程问题(走走停停)
余年寄山水
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2021年01月25日 09:28
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小学奥数行程问题
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走走停停
先出一道比较简单的：
在
200
米环形跑道上，甲、乙两人从同一 个点出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑
7
米，乙
每秒跑
5
米，他们 每人跑
100
米都停
5
秒．那么，甲追上乙一圈需要多少秒？
提高一些难度：第二题
在
200
米环形跑道上，甲、乙 两人从同一个点出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑
7
米，乙
每秒跑
5
米，
甲每跑
100
米停
5
秒．
乙每跑
30
米停
10
秒．
那么，
甲追上乙一圈需要多少秒？
两者都在途中时，追上，可以套用这个方法，进行简单计算可得，结果为
165秒。计算过程
如下：
甲比乙多休息次数
甲休息时乙走的路程
甲实际需要追赶的总距离
甲追上乙需要时间
甲共走了
甲共休息次数
甲共需时
2
50
250
125
875
8
165
但是不适用乙在休息的时候被追上。
这时，甲比乙多休息的时间为
5
～
10
秒。而并非
10
秒整！
现在，我们假 设在同一个地点，甲比乙晚出发
200/7
＋
5
＝
235/7
至
200/7
＋
10
＝
270/7
秒的
之间，在 追赶中，甲就要比乙少用这么多时间，由于甲走
100
米比乙少用
100/5
－
100/7
＝
40/7
秒。
因为
270/7÷ 40/7
除不断，
即第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的。
因为在这个范围内有
240/7÷40/7＝
6
是整数，
说明在乙休息中追上的。
甲共走了
6×100＋
200
＝
800
米，
休
息 了
7
次，计算出时间就是
800/7
＋7×5＝
149
又< br>2/7
秒。
明显这个数据比
165
秒要提前很多。
165
秒实际上是第二次被追上
走走停停行程问题
在有些行程问题中，
既有路程上的 前后调头，
又有时间上的走走停停，
同时
又有速度上的前后变化。
遇到此类问 题，
我们应分析其中的运动规律，
把整个运
动过程分成几段，
再仔细分析每一 段中的情况，
然后再类推到其它各段中去。
这
样既可使运动关系明确、简化，又可减少 复杂重复的推理及计算。
例：甲、乙两名运动员在周长
400
米的环形跑道上进行
10000
米长跑比赛，
两人从同一起跑线同时起跑，< br>甲每分钟跑
400
米，
乙每分钟跑
360
米，
当甲比 乙
领先整整一圈时，
两人同时加速，
乙的速度比原来快，
甲每分比原来多跑< br>18
米，
并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？
【题目】甲乙两人同时从一条
800
环形跑道同向行驶，甲100
米
/
分，乙
80
米
/
分，两人每跑200
米休息
1
分钟，甲需多久第一次追上乙？
【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追
上和在行进中被追上 。
很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，
如果不行再考
虑在休息过程中被追上，< br>最后考虑行进中被追上。
其中在休息结束时或者休息过
程中被追上的情况必须考虑是否是 在休息点追上的。
由此首先考虑休息
800÷200－
1
＝
3
分钟的情况。
甲就要比乙多休息
3
分钟，
就相当于甲要追乙
800
＋80×3＝
1040
米，需要
1040÷ （
100
－
80
）＝
52
分钟，
52
分钟 甲行了
52×100＝
5200
米，刚好是在休息点追上的满足条件。行
52 00
米
要休息
5200÷200－
1
＝
25
分钟。
因此甲需要
52
＋
25
＝
77
分钟第一次追上乙。
休息点不同的走走停停行程问题
【题目】在
400< br>米环形跑道上，
A
、
B
两点的跑道相距
200
米，甲 、乙两人
分别从
A
、
B
两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑
7
米，乙每秒跑
5
米，
他们每人跑
100
米都停< br>5
秒．那么，甲追上乙需要多少秒？
【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。
这里分三种 情况讨论休息的时间，
第一、
如果在行进中追上，
甲比乙多休息
10
秒，第二，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息
5
秒，第三，如果
在休息过程 中且又没有休息结束，
那么甲比乙多休息的时间，
就在这
5
～
10< br>秒之
间。
显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，
又是否在休息中追上 ，
最
后考虑在行进中追上。
有了以上的分析，
我们就可以来解答这个题了。
我们假设在同一个地点，
甲
比乙晚出发的时间在
200/7
＋
5
＝
235/7
和
200/7
＋< br>10
＝
270/7
的之间，在以后的
行程中，甲就要比乙少用这么多时 间，由于甲行
100
米比乙少用
100/5
－
100/7
＝
40/7
秒。
继续讨论，
因为
27 0/7÷40/7
不是整数，
说明第一次追上不是在乙休息结束
的时候追上的。因为在 这个范围内有
240/7÷40/7＝
6
是整数，说明在乙休息的
中追上的。
即甲共行了
6×100＋
200
＝
800
米，
休息 了
7
次，
计算出时间就是
800/7
＋7×5＝
149又
2/7
秒。
注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。