2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组B卷)
萌到你眼炸
768次浏览
2021年01月25日 13:18
最佳经验
本文由作者推荐
材料采购合同-
2017
年第二十二届
“
华罗庚金杯
”
少年数学邀请赛
决赛试卷（小高组
B
卷）
一、填空题（每小题
10
分，共
80
分）
1．
（
10
分）
+
+
…
+
=
．
2
．
（
1 0
分）甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，出发时甲 乙两车
的速度比为
5
：
4
．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮 胎后继续前进，
并且将速度提高
20%
，结果在出发后
3
小时，与乙 车相遇在
AB
两地中点，相
遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到< br>A
地时，乙车恰好
到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了
分钟．
3
．
（
10分）在
3
×
3
的网格中（每个格子是个
1
×
1
的正方形）放两枚相同的棋
子，每个格子中最多放一枚棋子，共有
种不同的摆放方法．
（如果两
种放法能够由旋转而重 合，则把它们视为同一种摆放方法）
．
4
．
（
10
分）小于
1000
的自然数中，有
个数的数字组成中最多有两个不
同的数字．
5
．
（
10
分）
如图，
△
ABC
的面积为
100平方厘米，
△
ABD
的面积为
72
平方厘米．
M
为
CD
边的中点，∠
MHB=90°
，已知
AB=20
厘 米，则
MH
的长度为
厘
米．
6
．
（
10
分）一列 数
a
1
、
a
2
…
，
a
n
…
，记
S
（
a
i
）为
a
i
的所有 数字之和，如
S
（
22
）
=2
+
2=4
，
若
a
1
=2017
，
a
2
=22
，
a
n
=S
（
a
n
﹣
1
）
+
S
（
a
n
﹣
2
）
，
那么a
2017
等于
．
7
．
（
10
分）一个两位数，其数字和是它的 约数，数字差（较大数减去较小数）
也是它的约数，这样的两位数的个数共有
个．
8
．
（
10
分）如图，六边形的六个顶点分别标志为
A
，
B
，
C
，< br>D
，
E
，
F
．开始的时
候
“
华罗庚 金杯赛
”
六个汉字分别位于
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
顶点处．将六个汉字
在顶点处任意摆放 ，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始
位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有
种．
二、解答下列各题（每小题
10
分，共
40
分）
9
．
（
10
分）平面上有
5
条不同的直线，这
5< br>条直线共形成
m
个交点，则
m
有多
少个不同的数值？
10
．
（
10
分）求能 被
7
整除且各位数字均为奇数，各位数字和为
2017
的最大正
整数 ．
11
．
（
10分）从
1001
，
1002
，
1003
，
10 04
，
1005
，
1006
，
1007
，
1008
，
1009
中
任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不 同的选法．
12
．
（
10
分）使
不为最简分数的三位数
n
之和等于多少．
三、解答下列各题（每小题
15
分，共
30
分）
13
．
（
15
分）一个正六边形被剖分成
6
个小三角形，如 图，在这些小三角形的
7
个顶点处填上
7
个不同的整数，能否找到一个填法， 使得每个小三角形顶点
处的
3
个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一 种填法；如
果不可以，请说明理由．
1 4
．
（
15
分）
7
×
7
的方格黑白染色，
如果黑格比白格少的列的个数为
m
，黑格比
白格多的行的个数为
n< br>，求
m
+
n
的最大值．
2017
年第二十二届
“
华罗庚金杯
”
少年数学邀请赛
决赛试卷（小高组
B
卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题
10
分，共
80
分）
1
．
（
10
分）
+
+
…
+
=
2034144
．
【分析】
观察一下，
首先把分子的两个分数变换一下形式，变成两个分数的乘积，
恰好能和分母约分，这样就把原来的繁杂的分数变成简单的整数加减运算．< br>
【解答】
解：
=
=
=2
×（
2
+
4
+
6
+
8
+
…
+
2016
）
=2
×
=2018
×
1008
=2034144
【点评】
本题考查了分数的拆项运 算知识，
本题突破点：
把分子拆分成两个分数
的乘积形式，从而和分母约分
2
．
（
10
分）甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车
的速度比为
5
：
4
．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，
并且将速度提高20%
，结果在出发后
3
小时，与乙车相遇在
AB
两地中点，相
遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到
A
地时，乙车恰好
到 达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了
52
分钟．
【分析】
首先分析后半程冲中点到
A
的过程，
求出两人的 速度比就可知道路程比，
找到爆胎位置．然后再根据原来的速度比求出正常行驶的时间减去爆胎前的时间．最后根据甲前后两次的速度比求出时间比做差即可．
【解答】
解：依题意可知：
甲乙两车的后来速度比：
5
（
1
+
20%
）
：
4=3
：
2< br>，甲回来走
3
份乙走两份路程．得
知甲车爆胎的位置是
AC
的
处．
如果不爆胎的甲行驶的时间和速度成反比：设甲行驶的时间为
x
则有：
4
：
5=x
：
3
，
x=
甲在行驶
AC
的爆胎位置到中点的正常时间为：
×
=
=
（ 小时）
；
甲乙爆胎前后的速度比为：
5
：
5
（< br>1
+
20%
）
=5
：
6
；
路程一定时间和速度成反比：设爆胎后到中点的时间为
y
则有：
6
：
5=
：
y
，
y=
；
修车时间为：
3
﹣
=52
（分）
故答案为：
52
分
【点评】
本题考查对比例应用题的理解 和运用，关键是根据不变量判断正反比，
找到甲原来不受影响的时间，再和后面的进行比较做差即可，问 题解决．
3
．
（
10
分）在
3
×
3
的网格中（每个格子是个
1
×
1
的正方形 ）放两枚相同的棋
子，每个格子中最多放一枚棋子，共有
10
种 不同的摆放方法．
（如果两种
放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）
．
×
=
（小时）
【分析】
可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，
剩下的四个方格位值相同，故可 以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．
【解答】
解：根据分析，份三种情况：
①当正中间即
E
处 放一颗棋子，
然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，
除去对
称性因素，有
2
种不同的摆放方法，即
AE
、
BE
；
②当两颗棋 子都不在正中间
E
处时，
而其中有一颗在顶点处时，
有
4
种 不同摆法，
即
AB
、
AF
、
AH
、
AD< br>；
③当两颗棋子都在顶点处时，有
2
种不同摆法，即
AC< br>、
AI
；
④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的
4
个方格中，
有
2
种不同摆法，
即
BD
、
BH．
综上，共有：
2
+
4
+
2+
2=10
种不同摆放方法．
【点评】
本题考查了排列组合， 突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总
的不同摆放方法．
4
．
（
10
分）小于
1000
的自然数中，有
352
个数的数字组成中最多有两个不
同的数字．
< br>【分析】
可以先求出有三个同数字的数的个数，再用总数
1000
减去后就是符 合
题意
“
数字组成中最多有两个不同的数字
”
的个数．
< br>【解答】
解：根据分析，小于
1000
的自然数中，有三个不同数字的数有：< br>9
×
9
×
8=648
个，
则最多有两个不 同数字的数有：
1000
﹣
648=352
个．
故答案是：
352
．
【点评】
本题考查了数的问题，突破 点是：先求有三个不同数字的数的个数，用
总数减去即可．
5
．
（
10
分）
如图，
△
ABC
的面积为< br>100
平方厘米，
△
ABD
的面积为
72
平方厘米．
M
为
CD
边的中点，∠
MHB=90°
，已知
AB =20
厘米，则
MH
的长度为
8.6
厘
米．
【分析】
可以利用面积公式分别求出 △
ABC
、△
ABD
的高，而已知
AB=20
厘米，
再利用
MH
的中位线性质求出
MH
的长度．
【解答】< br>解：
根据分析，
过
D
，
C
分别作
DE
⊥
AB
交
AB
于
E
，
CF
⊥
A B
交
AB
于
F
，
如图：
△< br>ABD
的面积
=72=
△
ABC
的面积
=100=< br>又∵
MH=
故答案是：
8.6
．
，∴
DE=7.2
厘米，
，∴
CF=10
厘米；
=
×（
7.2
+
10
）
=8.6
厘米．
【点评】
本题考查了三角 形面积，
本题突破点是：
利用三角形面积公式先求出高，
再利用中位线的关系求出MH
的长．
6
．
（
10
分）一列数
a
1
、
a
2
…
，
a
n
…
，记
S
（
a
i
）为
a
i的所有数字之和，如
S
（
22
）
=2
+
2=4
，若
a
1
=2017
，
a
2
=22
，
a
n
=S
（
a
n
﹣
1
）+
S
（
a
n
﹣
2
）
，那么
a
2017
等于
10
．