关于保护地球的名言-

2021年1月25日发(作者：爱情重点)

2014
年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组
B< br>卷）

一、填空题（每小题
10
分，共
80
分）

1．
（
10
分）如图，边长为
12
米的正方形池塘周围是草地，池 塘边
A
、
B
、
C
、
D
处各有一根木桩，< br>且
AB
＝
BC
＝
CD
＝
3
米，现用长
4
米的绳子将一头羊拴
在其中的某根木桩上，
为了使羊在草地上活 动区域的面积最大，
应将绳子
拴在


处的木桩上．


2
．
（
10
分）在所有是
20
的倍数的 自然数中，不超过
3000
并且是
14
的倍数
的数之和是


．

3
．
（
10
分）从
1
～
8
这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的
取法有


种．

4
．
（
10
分）如图所示 ，网格中每个小正方格的面积都为
1
平方厘米．小明在
网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪 影
（马的轮廓由小线段组成，
小线段的端
点在格子点上或在格线上）
，则这个 剪影的面积为


平方厘米．


5
．（
10
分）如果
＜
＜
，则“○”与“□”中可以填入的非零自然 数之
和最大为


．

第
15
页（共
15
页）



6
．
（
10
分）如图，三个圆交出七个部分．将整数
1
～7
分别填到七个部分中，
要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是


．


7
．
（
10
分）
学校组织
482
人去郊游，
租用
42
座大巴和
20
座中巴两种汽车．
如
果要求每人一座且每座一人，则有


种租车方案．

8
．
（
10
分）平面上的五个点< br>A
，
B
，
C
，
D
，
E
满足：
AB
＝
16
厘米，
BC
＝
8厘
米，
AD
＝
10
厘米，
DE
＝
2< br>厘米，
AC
＝
24
厘米，
AE
＝
12
厘米．
如果三角形
EAB
的面积为
96
平方厘米，则点
A
到
CD
的距离等于


厘米．

二、解答下列各题（每题
10
分，共
40
分，要求写出简要过程）

9
．
（
10
分）
把n
个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，
拼成至少两层
的多层长方形
（含正方形）
组成的图形，
并且每一个上层正方形纸片要有
两个顶点各自在某个下层 的正方形纸片一边的中点上．如图给出了
n
＝
6
时所有的不同放置方法，那么
n
＝
8
时有多少种不同放置方法？


10．
（
10
分）有一个杯子装满了浓度为
15%
的盐水，有大、中 、小铁球各一
个，它们的体积比为
10
：
5
：
3
， 首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢
出
10%
，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中 ，又将它取出，接着将大球
沉入盐水杯中后取出，
最后在杯中倒入纯水至杯满为止，
此 时杯中盐水的
浓度是多少？

11
．
（
10
分）清 明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶
1
个小时后
将车速提高五分之一，就可 以比预定时间提前
10
分钟赶到；如果该车先
按原速行驶
60
千米，
再将速度提高三分之一，
就可以比预定时间提前
20
第
15
页（共
15
页）



分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？

12
．
（
10
分）如图，在三角形
ABC
中，
AF
＝
2BF
，
CE
＝
3AE
，
CD
＝
2BD
，连接< br>CF
交
DE
于
P
点，求
的值．


三、解答下列各题（每小题
15
分，共
30
分，要求写出详细过程）

13
．
（
15
分）在右边的算式中，字母
a，
b
，
c
，
d
和“□”代表十个数字
0
到
9
中的一个，其中
a
，
b
，
c
，d
四个字母代表□□□□不同的数字，求
a
，
b
，
c< br>，
d
代表的数字之和．


14
．
（
15
分）从连续自然数
1
，
2
，
3
，…，
2014
中取出
n
个数，使这
n
个数
满足：
任意 取其中两个数，
不会有一个数是另一个数的
7
倍．
试求
n
的 最
大值，并说明理由．

第
15
页（共
15
页）




2014
年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组
B
卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题
10
分，共
80
分）

1．
（
10
分）如图，边长为
12
米的正方形池塘周围是草地，池 塘边
A
、
B
、
C
、
D
处各有一根木桩，< br>且
AB
＝
BC
＝
CD
＝
3
米，现用长
4
米的绳子将一头羊拴
在其中的某根木桩上，
为了使羊在草地上活 动区域的面积最大，
应将绳子
拴在

B
处的木桩上．


【分析】分别把
A
、
B
、
C
、
D
这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行
比较即可选择出正确答案．

【 解答】解：①
S
A
＝
π×
4
2
+
×
π×（
4
﹣
3
）
2
＝
8.25
π（平方 米）
；

②
S
B
＝
π×
4
2＝
12
π（平方米）
；

③
S
C
＝< br>π×
4
2
+
×π×（
4
﹣
3
）2
＝
8.25
π（平方米）
；

④
S
D
＝
π×
4
2
＝
8
π（平方米）
，

π＜
8.25
π＜
12
π，

所以为了使羊在 草地上活动区域的面积最大，
应将绳子拴在
B
处的木桩上．

故答案为：
B
．

2
．
（
10
分 ）在所有是
20
的倍数的自然数中，不超过
3000
并且是
14的倍数
的数之和是

32340
．

【分析】
在所有
20
的倍数中不超过
2014
并且是
14
的倍数最 小是
140
，
最
第
15
页（共
15
页）< br>


大是
2940
，共
21
个，然后根据 “高斯求和”的方法解答．

【解答】解：
20
＝
2
×
2
×
5
14
＝
2
×
7
20
和
14
的最 小公倍数是：
2
×
2
×
5
×
7
＝
140
3000
÷
140
≈
21.4
140
×
21
＝
2940
所以在所有
20
的倍数中不超过
3000
并且是
14
的倍数最小是
140
，
最大是
2940
，共
21
个，

（
140+2940
）×
21
÷
2
＝
3080
×
21
÷
2
＝
32340
．

答：在所有是
20
的倍数的自然 数中，不超过
3000
并且是
14
的倍数的数
之和是
323 40
．

故答案为：
32340
．

3
．
（
10
分）从
1
～
8
这八个自然数中，任取三个数 ，其中没有连续自然数的
取法有

20
种．

【分析】首先取
3
个所有的方法有
＝
56
种
连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是
12
或
78< br>，则各有
5
种不同的方法，

如：
124
，
125
，
126
，
127
，
128
，
< br>如果这两个两个数在中间，是
23
、
34
、
45
、< br>56
、
67
，则各有
4
种不同的方
法，
< br>如：
235
，
236
，
237
，
238；

第
15
页（共
15
页）



这样一共有
5
×
2+5
×
4
种方法；
< br>三个连续的有
123
，
234
，
345
，
4 56
，
567
，
678
，
6
种情况；

用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．

【解答】解：
＝
＝
56
（种）

有两个连续数的可能是：

5
×
2+5
×
4
＝
30
（种）

有三个连续的数的可能有
6
种：

56
﹣
30
﹣
6
＝
20
（种）

答：没有连续自然数取法为
20
种．

故答案为：
20
．

4
．
（
10
分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为
1
平方厘米．小明在
网格纸上画了一匹 红鬃烈马的剪影
（马的轮廓由小线段组成，
小线段的端
点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为

56
平方厘米．


【分析 】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面
积，利用剪切和拼接的性质求得每部分 的面积，最后求和．

【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，

第
15
页（共
15
页）




通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积

＝
0.5+3+16+2+ 1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5
＝< br>56
（平方厘米）

故答案是：
56
．

5
．
（
10
分）如果
＜
＜
，则“○”与“□”中可以 填入的非零自然数之
和最大为

77
．

【分析】将与
，
和
都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不
等式的性质确定“○ ”与“□”的和的最大值即可解决问题．

【解答】解：
＜
通分为：

所以，
4
×□＞
35
，则□≥
9
；

与
通分为：

所以，○×□＜
77
，

则，○×□的乘积最大为
76
，

只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，

76
＝
1
×
76
，

所以，当○＝
1
，□＝
76
时，两数之和最大，

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15
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