上海小学数学知识点总结
余年寄山水
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2021年01月25日 17:57
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上海小学数学知识点总结
第一
章
数和数的运
算
一
概念
（一
）整数
1
整
数的意义
自然
数和
0
都是
整数。
2
自
然数
我们
在数物体的时
候，用来表示物体个数的
1
，
2
，
3……
叫做自
然数。
一个
物体也没有，
用
0
表
示
。
0
也是自然数
。
3
计
数单位
一（
个）、十、百
、千 、万、十
万、百万、千
万、亿
……
都是计
数单位。
每相
邻两个计数单
位之间的进率
都是
10
。这样的计数法叫
做十进制计数
法。
4
数
位
计数
单位按照一定
的顺序排列起
来，它们所占
的位置叫做数
位。
5
数
的整除
整
数
a
除以
整数
b(b
≠
0
），除
得的商是整数
而没有余数，
我们就说
a
能
被
b
整除，
或者说
b
能
整除
a
。
如果
数
a
能
被数
b
（
b
≠
0
）整除
，
a
就
叫做
b
的< br>倍数，
b
就叫
做
a
的
约数（
或
a< br>的因
数）。倍数和
约数是相
互依
存的。
因
为
35
能
被
7
整除，所
以
35
是
7
的倍
数，
7
是
35
的约
数。
一个
数的约数的个
数是有限的
，其中最小
的约数是
1
，最大
的
约数是它本
身。例如
：
10
的
约数有
1
、
2
、
5
、
10
， 其中最小
的约数是
1
，最大
的约数是
10
。
一个
数的倍数的个
数是无限的，其中最
小的倍数是它
本身 。
3
的
倍数有：
3
、
6
、
9
、< br>12……
其
中
最小的倍数
是
3
，
没有最大的倍
数。
个位
上是
0、
2
、
4
、
6
、
8
的数
，都 能被
2
整
除，
例
如：
202
、
480、
304
，
都
能被
2
整
除
。。
个位
上是
0
或
5
的
数
，
都
能
被
5
整除，例
如：
5
、
30
、
405
都能
被
5
整除。
。
一个
数的各位上的
数的和能被
3
整除，这个
数就能被
3
整
除，例如：
12
、
108
、
204
都
能
被
3
整除
。
一个
数各位 数上的
和能被
9
整除
，这个数就能
被
9
整
除
。
能
被
3
整除的数
不一定能被9
整除，但是
能被
9
整除的
数一定能被
3
整< br>除
。
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一个
数的末两位数
能被
4
（
或
25
）整除，这个数就能被
4
（
或
25
）整除。例
如：
1 6
、
404
、
1256
都能
被
4
整除，
50
、
325
、
500
、
1675
都
能
被
25
整除
。
一个
数的 末三位数
能被
8
（
或
125
）整
除，这个数就能被
8
（或
125
）整除。
例如：
1168
、
4600
、
5000
、
12344
都
能
被
8
整
除，
1125
、
13375
、
500 0
都
能
被
125
整除
。
能
被
2
整除的数
叫做偶数。
不能
被
2
整除的
数叫做奇数。
0
也
是偶数。自
然数按能否被
2
整除的特征可
分为奇数和
偶数。
一个
数，如果 只有
1
和它本身两
个约数，这样
的数叫做质数
（或素数），
100
以
内的质
数有：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
1 9
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、< br>79
、
83
、
89
、
97
。
一个
数，如果除了
1
和它本身还
有别的约数，
这 样的数叫做
合数，例如
4
、
6
、
8
、
9
、
12
都
是合数。
1
不
是质 数也不
是合数，自然数
除了
1
外，
不是质数就是合
数。如果 把自
然数按其约数
的个数的不同
分类，
可分
为质数、合数
和
1
。
每个
合数都可以写
成几个质数相
乘的形式。其
中每个质数都
是这个合数的
因数，叫做这
个合数的质因
数，例
如
15=3×
5
，
3
和
5
叫
做
15
的
质
因
数
。
把一
个合数用质因
数相乘的形式
表示出来
，叫
做 分解质因数
。
例如
把
28
分解
质因数
几个
数公有的约数
，叫做这几个
数的公约数。
其中最大的 一
个，叫做这几
个数的最大公
约数，例如
12
的
约
数
有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数
有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中，< br>1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的
公约数，
6
是
它们的最大
公约数。
公约
数只有
1
的
两个数，叫做互
质数，成互质
关系 的两个数
，有下列几种
情况：
1
和
任何自然数
互质。
相邻
的两个自然数
互质。
两个
不同的质数互
质。
当合
数不是质数的
倍数时，这个
合数和这个质
数互质。
两个
合数的公约数
只有
1
时
，
这
两个合数互质
，如果几个数
中任意两个都
互质，就说这
几个数两两互
质。
如果
较小数是较大
数的约数，那
么较小数就是< br>这两个数的最
大公约数。
如果
两个数是互质
数，它们的最
大公约数就是
1
。
几个
数公有的倍数
，叫做这几个
数的公倍数，
其中最小的 一
个，叫做这几
个数的最小公
倍数，如
2
的
倍
数< br>有
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2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
……
3
的
倍数有
3
、
6
、
9
、
12
、
15
、
18
……
其
中
6
、
12
、
18……
是
2
、
3
的
公倍数，
6
是
它们的最小
公倍数。。
如果
较大数是较小
数的倍数，那
么较大数就是
这两个数的 最
小公倍
数
。
如果
两个数是互质
数，那么这两< br>个数的积就是
它们的最小公
倍数。
几个
数的公 约数的
个数是有限的
，而几个数的
公倍数的个数
是无限的。
（二
）小数
1
小
数的意义
把整
数
1
平均分
成
10
份
、
100
份
、
1000
份……
得到
的十分
之几、
百分之
几、
千分之几
……
可
以用小数表示
。
一位小数表示十分
之几，两位小
数表示百分之
几，三位小数
表示千分之几……
一个
小数由整数部
分、小数部分
和小数点部 分
组成。数中的
圆点叫做小数
点，小数点左
边的数叫做整
数部分，< br>小数
点左边的数叫
做整数部分，
小数点右边的
数叫做小数部
分 。
在小
数里，每相邻
两个计数单位
之间的进率都是
10
。小数
部分的最高分
数单位
“
十分
之一
”
和整数部
分的最低
单
位
“
一
”
之间的进率
也是
10
。
2
小
数的分类
纯小
数：整数部分
是零的小数，
叫做纯小数。
例如：
0.25
、
0.368
都
是
纯小
数
。
带小
数：整数部分
不是零的小数
，叫做带小数
。
例如
：
3.25
、
5.26
都
是带
小
数
。
有限
小数：小数部
分的数位是有
限的小数，叫
做有限小数。
例
如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限
小数。
无限
小数：小数部
分的数位是 无
限的小数，叫
做无限小数
。
例
如：
4.33
……
3.1415926
……
无限
不循环小数：一 个数
的小数
部分，数字排列无规
律且位
数无限，这样的小数
叫做无< br>限不循环小数。
例
如
：
∏
循环
小数：一个数
的小数部分，
有一个数字或
者几个数字依
次不断重复出
现，这个数叫
做循环小数。
例
如
：
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个
循环小数的小
数部分，依次
不断重复出现
的数字叫做 这
个循环小数的
循环节。
例如
：
3.99
……
的循
环
节
是
“
9
”
，
0.5454
……
的循
环节是
“
54
”
。
纯循
环小数：循
环
节从小数部分
第一位开始的
，叫做纯循环
小数。
例
如
：
3.111
……
0.5656
……
混循
环小数：循环
节不是从小数
部分第 一位开
始的，叫做混
循环小数。
3.1222
……
0.03333
……
写循
环小数的时候
，为了简便，
小数的循环部
分只需写出一
个循环节，并
在这个循环节
的首、末位数
字上各
点一
个圆点。如果
循环
节
只
有
一
个数字，就
只在它的上
面点一个点。
例如：
3.777
……
简写
作
0.5302302
……
简
写
作
。
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（三
）分数
1
分
数的意义
把单
位
“1”
平均分< br>成若干份，表
示这样的
一份
或者几份的数
叫做分数。
在分
数里，中间的横线
叫做分数
线；分数线下面的
数，叫 做
分母，表示把单位
“1”
平均
分成多少份；分数
线下
面的
数叫做分子，
表示有这样的
多少份。
把单
位
“1”
平均分
成若干份，表
示其中的一份
的数，叫做分
数单 位。
2
分
数的分类
真分< br>数：分子比分
母小的分数叫
做真分数。真
分数小于
1
。
假分
数：分子比分
母大或者分子
和分母相等的
分数 ，叫做假
分数。假分数
大于或等于
1
。
带分
数：假分数可
以写成整数与
真分数合成的
数，通常叫做
带分数。
3
约
分和通分
把一
个 分数化成同
它相等但
是分
子、分母都比
较小的分数
，叫
做约分。
分子
分母是互质数
的分数，叫做
最简分数。
把异
分母分数分别
化成和原来分
数相等的同分
母分数，叫做
通分。< br>
（四
）百分数
1
表
示一个数是另
一个数的百分
之几的数
叫做
百分数
,
也叫
做百分率
或百
分比。 百分
数通常用
来
表
示
。
百分
号是表示百分
数的符号。
二
方法
（一
）数的读法和
写法
1.
整数的读法：从
高位到低位
，一级一
级地读
。读亿级
、万级时
，先按照
个级的读法
去读，再
在后面加一
个
“
亿
”
或
“
万
”
字。每一级
末尾的
0
都不读出来
，其它数位连续
有几个
0
都
只
读
一个
零< br>。
2.
整数的
写法：从高位
到低位
，一级一级地
写，哪一个数
位上一个单位
也没有，就在
那个数位上写
0
。
3.
小数的
读法：读小数的时候，整
数部分按照整
数的读法
读，小数点读作
“
点
”
，小数部分从左向右
顺次读出
每一
位数位上的数
字。
4.
小数的
写法：写小数
的时候
，整数部分
按照整数的写 法
来写，小数
点写在个位右下
角，小数部
分顺次写出
每一
个 数位上的数
字。
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5.
分数的
读法：读分数
时，先
读分 母再读
“
分
之
”
然后读分
子，分子和分
母按照整数 的
读法来读。
6.
分数的
写法：先写分
数 线，
再写分母，
最
后写分子，按
照整数的写法
来写。
7.
百分数
的读法：读百
分数时
，先读百分之
，再读百分号
前面的数，读
数时按照整数
的读法来读。
8.
百分数
的写法：百分
数通常
不写成分数形
式，而在原 来
的分子后面加
上百分号
“%”
来
表示。
（二
）数的改写
一个
较大的多位数
，为了读 写方
便，常常把它
改写成用
“
万
”
或
“
亿
”
作单位的数
。有时还
可以根据需要
，省略
这个
数 某一位后面
的数，写成近
似数。
1.
准确数
：在实际生活
中，为
了计数的简
便，可以把一个
较大的数改写
成以 万或亿为
单位的数。改写后的数
是原
数的准确数。
例
如
把
1254300000
改写成以
万做单
位的数是
125430
万；改
写成
以亿做单
位
的
数
12.543
亿
。
2.
近似数
：根据实
际需要，我们还可以
把一个较大的数
，省略某一
位后面的尾数，用一个近似< br>数来表示
。
例
如
：
1302490015
省略亿后面
的尾数是
13
亿
。
3.
四舍五
入法：要省略
的尾数
的最高位上的
数是
4
或者
比
4
小，就
把尾数去掉；如
果尾数的最高
位上的数是
5
或
者
比
5
大，就把尾数舍
去，并向它的前 一位进
1
。例
如：省略
345900
万后面
的尾数约是
35
万。省
略
4725097420
亿
后
面的尾数
约是
47
亿
。
4.
大小比
较
1.
比较整
数大小：比较
整数的
大小，位数多
的那个数就 大
，如果位数相
同，就看最高
位，最高位上
的数大
，
那个< br>数就大；最高
位上的数相同
，就看下一位
，哪一位上的
数大那个数就< br>大。
2.
比较小
数的大小
：先看它们
的整数部分
，，整数部分大
的那个数就大；整数
部分相
同的，十分位上的数
大
的那
个数就大；十
分位上的数也
相同的，百分
位上的数大 的
那个数就大
……
3.
比较分
数的大小< br>:
分母相同的
分数，分子大
的分数比较大
；分子相同的
数，分 母小的
分数大。分数
的分母
和分
子都不相同的
，先通分
，再
比较两个数的
大小。
（三
）数的互化
1.
小数化
成分数：原来有几位
小数，就在
1
的后
面写几个
零作分母，把原来的
小数去
掉小数点作分
子，能约分的
要约分。
2.
分数化
成小数
：用 分母去除
分子。能除尽的就化
成有限
小数，有的不能除尽，不能
化成有限小数
的，一般
保留
三位小数。
3.
一个最简分数，如果
分母中
除了
2
和
5
以外，不含有
其他的质因数
，这个分数就
能化成有限小
数；如果
分母
中含有
2
和
5
以外的质因
数，这个分数
就不能化成有
限小数。
4.
小数化
成百分数：只
要把小
数点向右移动
两位，同时 在
后面添上百分
号
。
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5.
百分数
化成小数：把
百分数
化成 小数，只
要把百分号去
掉，同时把小
数点向左移动
两位。
6.
分数化
成百分数：通
常先把
分数化成小数
（除不尽时，
通常保留三位
小数
)
，再把
小数化成百分
数。
7.
百分数
化成小数：先
把百分
数改写成 分数
，能约分的要
约成最简分数
。
（四
）数的整除
1.
把一个
合数分解质因
数，通
常用短除法
。先用能整除这
个合数的质数
去除，一直除
到商是质数为
止，再把
除数
和商写成连乘
的形式。
2.
求几个
数的最大公约
数的方
法是：
先用
这几 个数的公约
数连续去除
，
一直除到所得
的商只有公约
数
1< br>为
止
，
然后
把所有的除数
连乘求积，这
个积就是这几
个数的的最大
公约数
。
3.
求 几个
数的最小公倍
数的方
法是：先用这几个数（或其
中的部分数
）的 公约
数去除，一直
除到互质（或两
两互
质）为止，然
后把所有的除< br>数和商连乘求
积，这个积就
是这几个数的
最小公倍数。
4.
成为互
质关系的两个
数：
1
和任何自然
数互质
；
相邻
的两个自然数
互质；
当合
数 不是质数的
倍数时，
这个
合数和这个质
数互质；
两个合< br>数的公约数
只有
1
时，
这两个合数互
质。
（五
）
约
分和
通
分
约分
的方法：用分
子和分母的公
约数（
1
除外）去除分子、
分母
；通常要
除到得出最简
分数为止。
通分
的方法：
先求
出原来的几个
分数分母的最
小 公倍数，
然
后把各分数化
成用这个最小
公倍数作分母
的分数。
三
性质
和规律
（一
）商不变的规
律
商不
变的规律：在除法里，被除
数和除数同时
扩大或者同时
缩小相同的倍
，商不变。
（二
）小数的性质
小数
的性质：在 小
数的末尾添上
零或者去掉零
小数的大小不
变。
（三
）小数点位置
的移动引起小
数大小的变化
1.
小数点
向右移动一位，原来
的数就扩大
10
倍；小数 点
向右移动两位，原来的数就
扩大
100
倍；小数点向
右移
动三位，原来
的数就
扩
大
1000
倍
……
2.
小数点
向左移动一位，原来
的数就缩小
10
倍；小数点
向左移动两位，原来的数就
缩小
100
倍；小数点向
左 移
动三位，原来
的数就缩小
1000
倍
……
3.
小数点
向左移或者向
右移位
数不够时，要
用
“0
补足位
。
（四
）分数的基本
性质
分数的
基 本性质：
分数的分子
和分母都乘以
或者除以相同
的数（零除外
），分 数的大
小不变。
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（五
）分数与除法
的关系
1.
被
除
数
÷
除
数
=
被
除
数
/
除
数
2.
因为零
不能作除数，
所以分
数的分母不能
为零。
3.
被
除
数
相
当于分子，
除数相
当
于
分
母
。
四
运算
的意义
（一
）整数四则运
算
1
整
数加法：把
两个数合并成一
个数的运算叫
做加法。
-
在加法里，
相加的数叫
做加数
，加得的数叫
做和。加数是
部分数，和 是
总数。
-
加数
+
加
数
=
和
一
个加数
=
和－
另一个加数
2整
数减法：已
知两个加数的和
与其中的一个
加数，求另一
个加数 的运算
叫做减法。
-
在减法里，
已知的和叫
做被减
数，已知的加
数叫做减数，
未知的加数叫
做差。被减数
是总 数，减数
和差分
别是
部分数。
-
加法和减法
互为逆运算
。
3
整
数乘 法：求
几个相同加数的
和的简便运
算
叫做乘法。
-
在乘法里，
相同的加数
和相同
加数的个数都
叫做因数。 相
同加数的和叫
做积。
-
在
乘
法里
，
0
和任何数
相乘都
得
0. 1
和任何
数相乘都
的任何数。
-
一个
因
数
×
一
个因数
=
积
一
个
因
数
=
积
÷
另
一个因
数
4
整
数除法：已知
两个因数的
积与 其中一个
因数，求另一
个因数的运算
叫做除法。
-
在除法里，
已知的积叫
做被除
数，已知的一
个因数叫做除
数 ，所求的因
数叫做商。
-
乘法和除法
互为逆运算
。
-
在除法里，
0
不能做
除数。因为
0
和任
何数相乘都得
0
，所以任
何一个数除以
0
，均得不到
一个确定的商。
-
被除
数
÷
除
数
=
商
除
数
=
被除
数
÷
商
被
除
数
=
商
×
除数
（二
）小数四则运
算
1.
小数加
法 ：小数加法
的意义
与整数加法的
意义相同。是
把两个数合并
成一个数 的运
算。
2.
小数减
法：小数减法的意义
与整数减法的
意义相同。已知
两个加数的和
与其中的一
个加数，求另一
个加数
的运
算
.
3.
小数乘
法：小数乘 整数的意
义和整数乘法
的意义相同，就
是求几个相同
加数和的简
便运 算；一个数
乘纯小
数的
意义是求这个
数的十分之几
、百分之几、千分之几
……
是多少
。
4.
小数除< br>法：小数除法的意
义
与整数除法的
意义相同，就是
已知两个因数
的积与其中
一个因数，求另
一个因
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数的
运算。
5.
乘
方
求几
个相同因数
的积的
运算叫做乘方
。例如
3 × 3 =32
（三
）分数四则运
算
1.
分数加
法：分数加法
的意义
与整数加法的
意义相同。
是把
两个数合并
成一个数的
运算。
2. < br>分数减
法：分数减法的意义
与整数减法的
意义相同。已知
两个加数的和
与其中的一
个加数，求另一
个加数
的运
算。
3.
分数乘
法：分数乘法
的意义
与整数乘法的
意义相同， 就
是求几个相同
加数和的简便
运算。
4.
乘
积
是
1
的两个数
叫做互为
倒数
。
5.
分数除
法：分数除法的意义
与整数除法的
意义相同 。就是
已知两个因数
的积与其中
一个因数，求另
一个因
数的
运算。
（四
）运算定律
1.
加法交
换律：两个数
相加，
交换加数的位
置，它们的和
不变，即< br>a+b=b+a
。
2.
加法结
合律：三个 数相加
，先把前
两个数相加
，再加上
第三个数；或者先把
后两个数相加，再和第一个
数
相加
它们的和不变
，即（
a+b)+c= a+(b+c)
。
3.
乘法交
换律：两个数相乘，
交换因数的位
置它们的积不
变，即
a×
b=b×
a
。
4.
乘法结
合律：三个数相乘
，先把 前
两个数相
乘
，再乘以
第三个数；或者先把
后两个
数相乘， 再和第一个
数
相乘
，它们的积不
变，即
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
。
5.
乘法分
配律：两个数
的和与
一个数相乘，
可以把两个 加
数分别与这个
数相乘再把两
个积相加，即
(a+b)×
c=a×< br>c+b×
c
。
6.
减法的
性质： 从一个
数里连
续减去几个数
，可以从这个
数里减去所有
减数的和，差
不变，即
a-b-c=a-(b+c)
。
（五
）运算法则
1.
整数加
法 计算法则：
相同数
位对齐，从低
位加起，哪一
位上的数相加
满十，就 向前
一位进一。
2.
整数减
法计
算法则< br>：相同数
位对齐
，从低位加起
，哪一
位上的数不够
减，就从它 的
前一位退一作
十，和本
位上
的数合并在一
起，再减。
3.
整数乘
法计算法则
：先用一
个因数每一位
上的数分别去
乘另一个因数
各个数位上的
数，用因数
哪一位上的
数去
乘，乘得的数
的末尾就对齐
哪一位，然后
把各次乘得的
数加起来。< br>
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4.
整 数除
法计算法则：
先从被
除数的高位除
起，除数是几
位数，就看被< br>除数的前几位
；
如果不够除
，就多
看一
位，除到被 除数
的哪一位，商就
写在哪一位
的上面。如果哪
一位上不够
商
1
，要补
“0”
占位。每次除
得的
余数
要小于除数。
5.
小数乘
法
法则：
先按照整数
乘法 的计算法
则算出积，
再看因
数中共有几
位小数，
就从积
的右 边起数
出几位，
点上
小数点；如果
位数不够，就
用
“0”< br>补
足
。
6.
除数是
整数的小数 除
法计算
法则：先按照整
数除法的法
则去除，商的小
数点要和被除数的小数点
对齐；如
果除
到被除数的末
尾仍有余数，
就在余数 后面
添
“0”
，再继
续除。
7.
除数是
小数的除法计
算法则
：先移动除
数的小数点，使
它变成整数< br>，除数的小数点
也向右移动几
位（位数
不够
的补
“0”
），
然后按照除数
是整数的除法
法则进行计算
。
8.
同分母
分数加减法计
算方法
:
同分
母分数相 加减
，只把
分子相加减，
分母不变。
9.
异分母
分数加减法计
算方法
:
先通
分，然后按照
同分母分数加减法的
的法则进行计
算。
10.
带分< br>数加减法的计
算方法
:
整数
部分和分数部
分分别
相加 减，再把
所得的数合并
起来。
11.
分数
乘法的计算法
则
:
分数
乘整数，用分数的分
子和整
数相乘的 积作
分子，分母不
变；分数
乘分数
，用分
子相
乘的积作分子
，分母相乘的
积作分母。
12.
分数
除法 的计算法
则
:
甲数
除以乙数（
0
除外），等于
甲数 乘乙数的
倒数。
（六
）
运
算顺
序
1.
小数四
则运算的运算
顺序和
整数四则运算
顺序相同。
2.
分数四
则运算的运算
顺序和
整数四则运算
顺序相同。
3.
没有括
号的混合运算
:
同级运
算从左往右 依
次运算；两级
运算
先算乘、
除法，后算
加减法。
4.
有括号
的混合运算
:
先算小括
号里面的，再
算中括号里面
的，最后 算括
号外面的。
5.
第一级
运算：加法和
减法叫
做第一级运算
。
6.
第二级
运算：乘法和
除法叫
做第二级运算
。
五
应用
（一
）整数和小数
的应用
1
简
单应用题
（
1
）
简单 应用题
：只含有一种
基本数量关系
，或用一步运
算解答的应用
题，通 常叫做
简单应用题。
（
2
）
解
题
步骤：
a
审题理解题
意：了 解应用题的
内容，知道应
用题的条件和
问题。读题时
，不丢字不添
字 边读边思考
，弄明
白题
中每句话的意
思。也可以复
述条件和问题，帮助理解题
意。
b
选择算法和列
式计算：这是 解
答应用题的中
心工作。从题
目中告诉什么
，要求什么着
手，逐步根 据
所给的
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条件
和问 题，联系
四则运算的含
义，分析数量
关系，确定算
法，进行解答
并标 明正确的
单位名称。
C
检验
：就是根据应
用 题的条件
和问题进行检
查看所列算式
和计算过程是
否正确，是否
符合 题意。如
果发现
错误
，马上改正。
d
答案： 根据计
算的结果，先口
答，逐步过渡
到笔
答。
( 3 )
解答加法应用
题：
a
求总数的
应用题：已知
甲数是
多少，乙数是
多少，求甲乙
两数的和是多
少。
b
求比一个数多
几的数应用题：
已知甲数是多
少和乙数比甲
数多多少，求
乙数是多少。
(4 )
解答减法应用
题：
a
求剩余的
应用题：从已
知数中
去掉一部分，
求剩下的部分
。
- b
求两个
数相差的多少
的应用
题：已知甲乙两
数各是多少，求甲数比 乙数
多多少，或乙
数比甲数少多
少。
c
求比 一个
数少几的数的
应用题
：已知甲数是
多少，，乙数
比甲数少多少< br>，求乙数是多
少。
(5 )
解答乘法应
用题：
a
求相同加
数和的应用题
：已知
相同的加数和
相同加数的个
数，求总数。
b
求一个数的几
倍是多少的应用
题：已知一个
数是多少，另
一个 数是它的
几倍，求另一
个数是多少。
( 6)
解答除法应
用题：
a
把一个数
平均分成几份
，求每
一份是多少的
应用题：已知
一个数和把这
个数平均分成
几份的，求每
一份是
多少
。
b
求一个数里 包
含几个另一个数
的应用题：已
知一个数和每
份是多少，求
可以分成 几份
。
C
求一个
数是另一个数
的的几倍< br>的应用题：已
知甲数乙数各
是多少，求较
大数是较小数
的几倍。
d
已知一个数的
几倍是多少，求
这
个数的应用
题。
（
7
）常见的数量
关系：
-
总价
=
单
价
×
数
量
-
路程
=
速
度
×
时
间
-
工作
总
量
=
工
作时间
×< br>工
效
-
总产
量
=
单产
量
×
数
量
2
复
合应用题
（
1
）
有两个或两
个以上的基本
数量关系组成
的，
用两步或
两步以 上运算
解答的应用题，
通常叫做复
合应用题。
（
2
）含有三个已
知条件的两步
计算的应用题
。
-
求比两个数
的和多（少
）几个
数的应用题。
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-
比较两数差
与倍数关系
的应用
题。
（
3
）含有两个已
知条件的两步
计算的应用题
。
-
已知两数相
差多少（或
倍数关
系）与
其中一
个数，求两个
数的和（或差
）。
-
已知两 数之
和与其中一
个数，
求两个数相差
多少（或倍数
关系）。
（
4
）解答连乘连
除应用题。
（
5
）解答三步计
算的应用题。
（
6
）解答小
数计算的应用题
：小数计算的
加法、减
法、乘法和除法的
应用题，他们的
数量关系、结构、和
解
题方
式都与正式应
用 题基本相同
，只是在已知
数或未知数中
间含有小数。
3
典
型应用题
具有
独特的结构特
征 的和特定的
解题规律的复
合应用题，通
常叫做典型应
用题。
（
1
）平均数问题
：平均数是等
分除法的发展
。
-
解题关键：
在于确定总
数量和
与之相对应的
总份数。
-
算术平均数
：已知几个不相等
的同类量和与
之相对应 的份
数，求平均每
份是多少。数量
关系式：数量
之和
÷
数量
的个数
=
算术平
均数。
- 加权平均数
：已知两个
以上若
干份的平均数
，求总平均数
是多少 。
-
数量
关
系式
（
部
分
平
均
数
×
权数
）的总和
÷
（权
数的和
）
=
加权平均数
。
-
差额平均数：是把各个大于
或小于标准数
的部分之和被
总份数均分，求
的是标准数
与各数相差之
和的平均
数
。
-
数量关系式
：（大数
－小数）
÷
2=
小数应得
数< br>
最大数
与各数之差的
和
÷
总
份数
=
最大
数应给数
最
大
数与
个数之差的和
÷
总
份
数
=
最小数
应得数。
例：
一辆汽车以每
小时
100
千
米
的速度从甲
地开往乙地
，又以每小时
60
千米的速
度从 乙地开往
甲地。求
这辆
车的平均速度
。
分析
：求汽车
的平均速度
同样可
以利用公式
。此题可
以把甲地到乙地的路
程设为
“
1
”
，则汽车
行驶的总路程
为
“
2
”
，从甲地到乙
地的速度
为
100
，
所用的时间为
，汽
车从乙地到甲
地速度为
60
千
米
，所
用的时间
是
，汽
车共行的时间
为
+ = ,
汽车的平均
速度为
2 ÷ =75
（
千米
）
（
2
）
归一问题：
已知
相 互关联
的两个量，其
中一种量改变
，另一种量也
随之而改变，
其变化 的规律
是相同
的，
这种问题称之
为归一问题。
-
根据
求
“
单一
量
”
的步骤的多少，归一问题可
以分为一次归
一问题，两次
归一问题。
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-
根据球痴单
一量之 后，
解题采
用乘法还是除
法，归一问题
可以分为正归
一问题，反归< br>一问题。
-
一次归一问
题，用一步
运算就< br>能求出
“
单
一
量
”
的归一问题
。又称
“
单归一
。
”
-
两次归一问
题 ，用两步
运算就
能求出
“
单
一
量
”
的归一 问题
。又称
“
双归一
。
”
- 正归一问题
：用等分除
法求出
“
单
一
量
”之后，
再用乘法计
算结果的归一
问
题
。
-
反归一问题
：用等分除
法求出
“
单
一
量
”
之后，
再用除法计
算结果的归一
问题。
-
解题关键：
从已知的一
组对应
量中用等分除
法求出一份 的
数量（单一量
），然后以它
为标准，根据
题目的
要求
算出 结果。
数量关
系式：单一
量
×
份
数
=
总数量
（正归一）
-
总
数
量
÷
单一
量
=
份数（反归
一）
例
一个
织布工人，
在七月份织
布
4774
米
，
照这样计算
，织布
6930
米
，需要多
少天？
分析
：必须先求出
平均每天织布
多少米，就是
单一量。
693 0 ÷
（
477 4 ÷
31
）
=45
（
天）
（
3
）归总
问题： 是已知单位数
量和计量单位
数量的个数
，以及不
同的单位数量（或单
位数量的个数
），通过
求总
数量求得单位
数量的个数（
或单位数量）
。
-
特点：两种
相关联的量
，其中
一种量变化，
另一种量也跟
着变化，不过
变化的规律相
反，和反比例
算法彼
此相
通。
-
数量关系式：单
位数 量
×
单位
个数
÷
另一个单
位数量
=
另一个
单位数量
单位数
量
×
单位
个
数
÷
另一
个
单位
数量
=
另一个单位
数量。
例
修一
条水渠，原
计划每天修
800
米
，
6
天修完。实
际
4
天修完，
每天修了多
少米？
分析
：因
为要求出
每天修的长度
，就必须先求
出水渠的长度
。所以也把这
类 应用题叫做
“
归
总
问题
”
。不
同之
处是
“
归
一
”
先求出单
一量，再求
总量，归总问 题
是先求出总
量，再求单一量。
80 0 × 6 ÷
4=1200
（
米
）
（
4
）
和差问题：
已知大小两个
数的和，以及
他们的差，求
这两个数各是< br>多少的应用题
叫做和差问题
。
-
解题关键：
是把大小两
个数的
和转化成两个
大数的和（或
两个小数的和
），然后再求
另一个数。
-
解题规律：
（和＋差）
÷
2 =
大
数
大
数
－
差
=
小数
（和
－差）
÷
2=
小
数
和－
小数
=
大
数
例
某加
工厂甲班和
乙班共有工
人
94
人，因
工作需要临时
从乙班调
46
人到甲班工作
，这时乙班比
甲班人数
少
12
人，求原来
甲班和乙班各
有多少人？
分析：从
乙班调
46
人到甲班，对于
总数没有变
化，现在把
乙数转化成
2
个乙班，即
9 4
－
12
，由此
得到
现在
的乙班是（
9 4
－
12
）
÷
2=41
（人），
乙班在调
出
46
人之前
应该为
41+46=87
（
人），甲班
学习好资料
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为
9 4
－
87=7
（
人
）
（
5
）和倍问题：
已知两个数的
和及它们之间
的倍数
关系
，求两个数各
是多少的应用
题
，叫做 和倍
问题。
-
解题关键：
找准标准数
（即
1
倍数）一般
说来，题中说是
“
谁
”
的几倍，把< br>谁就确定为
标准数。求出
倍数和
之后
，再求出标准
的数量是多 少
。根据另一个
数（也可能是
几个数）与标
准数的倍数关
系，再去求 另
一个数
（或
几个数）的数
量。
-
解题规律：
和
÷
倍
数
和
=
标准
数
标
准
数
×
倍数
=
另一个
数
例
:
汽车运
输场有大小货
车
115
辆，
大货车比
小货车的
5
倍
多
7
辆，
运输场有
大货车和
小汽车各有多
少辆？
分析
：大货车比
小货车的
5
倍
还
多
7
辆，这
7
辆
也
在总数
115
辆内
，为了使总数与（
5+1
）倍对应，总
车辆
数应（
115-7
）
辆
。
列式
为（
115-7
）
÷
（
5+1
）
=18
（
辆
）
，
18 ×
5+7=97
（
辆）
（
6
）差倍问题：
已知两个数的
差，及两个数
的倍数关系，
求两个数各是
多少的应用题
。
-
解题规律：
两个数的差
÷
（倍
数－
1
）
=
标准
数
标
准
数
×倍
数
=
另一
个
数
。
例
甲乙
两根绳子，
甲绳长
63
米
，
乙
绳
长
29
米
，两根
绳剪去同样的
长度，结果甲
所剩的长度是
乙绳
长
的
3
倍，甲乙两绳
所剩长度各
多少米？
各减
去多少米？
分析
：两根绳子剪
去相同的一段
，长度差没变
，甲绳所剩的
长度是乙绳的
3
倍，实比
乙绳多（
3-1
）倍
，
以乙
绳的长度为标
准数。列式（
63-29
）
÷
（
3-1
）
=17
（米
）
…
乙绳剩下
的长度
，
17 × 3=51
（
米）
…
甲绳
剩下的长度，
29-17=12
（
米
）
…
剪去
的长度。
< br>（
7
）行程问题：关
于走路、行车
等问题，一般都
是计算路< br>程、时间、速度，叫
做行程
问题。解答这类
问题首
先要
搞清楚 速度、
时间、路程、
方向、杜速度
和、速度差等
概念，了解他
们之间 的关系
，再根据这类
问题的
规律
解答。
-
解题关键及
规律：
-
同时
同
地相
背而行：路
程
=
速
度
和
×
时
间< br>。
-
同时相向而
行：相遇时
间
=< br>速
度
和
×
时
间
-
同时同向而
行（速度慢
的在前
，快的在后）
：追及时间
=
路 程
速度差。
同时同
地同向而行
（速度慢的
在后，快的在
前）：路程
=
速度
差
×
时间
。
例
甲在
乙的后面
28
千
米
，两
人同时同向而
行，甲每小时
行
16
千米
，
乙每小时行
9
千
米
，甲几
小时追
上乙
？
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分析
：甲每小时比
乙多行（
16-9
）千米，也就
是甲每小时
可以追近乙（
16-9
）千米
，这是速度差
。
已知
甲在乙的后面
28
千
米
（追击
路程），
28
千
米
里包
含着几个（
16-9
）千米，
也就是追击所
需要的
时间
。列式
2 8 ÷
（
16-9
）
=4
（
小
时
）
（
8
） 流水问
题：一般
是研究船
在
“
流
水
”
中航 行
的问题。它是行程问题
中比较特殊的一
种类型，它
也是一种和
差问
题。它的特点
主要是考虑水
速在逆行和顺
行中的不同作
用。
-
船速：船在
静水中航行
的速度
。
-
水速：水流
动的速度。
-
顺水速度：
船顺流航行
的速度
。
-
逆水速度：
船逆流航行
的速度
。
-
顺速
=
船速＋
水速
-
逆速
=
船速－
水速
-
解题关键：
因为顺流速
度是船
速与水速的和
，逆流速度是
船速与水速的
差，所以流水
问题当作和差
问题解
答
。
解
题时要以水
流为线索。
-
解题规律：
船行速度
=
（顺水
速度
+
逆
流
速度）
÷2
流水
速度
=
（顺流速
度
-
逆流速
度）
÷
2
路
程
=
顺
流速度
×
顺流航
行所需
时间
路
程
=
逆
流速度
×
逆流航
行所需
时间
例
一只
轮船从甲地
开往乙地顺
水而行，每小
时行
28
千米
，
到乙地后，
又逆水
航行
，回到甲地。
逆水比顺
水多
行
2
小时，已
知水速每小
时
4
千米。求
甲乙两地相
距多少千米？
分析
：< br>此题必须先
知道顺水的速
度和顺水所需
要的时间，
或
者逆水速 度和
逆水的时
间。
已知顺水速度
和水流
速
度，因 此
不难算出逆
水的速度，但顺
水所用的时
间，逆水所
用的时间不知< br>道，只知道顺
水比逆水少用
2
小
时
，
抓住
这一点，就可
以就能算出顺
水从甲地到乙
地的所用的时
间，这样就能
算出甲乙两地
的路程。列式
为
28- 4 ×
2=20
（
千
米
）
2 0 ×
2 =40
（千米
）
40 ÷
（
4 ×
2
）
=5
（小
时）
28 ×
5=140
（
千米）
。
（
9
）
还原问题：
已知某未知数
，经过一定的< br>四则运算后所
得的结果，求
这个未知数的
应用题，我们
叫做还
原问
题。
-
解题关键：
要弄清每一
步变化
与未知数的关
系。
-
解题规律：
从最后结果
出发
，采用与原题
中相反的运算
（逆运算）方
法，逐步推导
出原数。
-
根据原题的
运算顺序列
出数量
关系，然后采
用逆运算的 方
法计算推导出
原数。
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-
解答还原问
题时注意观
察运算
的顺 序。若需
要先算加减法
，后算乘除法
时别忘记写括
号。
例
某小
学三年级四
个班共有学
生
168
人
，如果四班调
3
人到三班，三
班调
6
人到
二班，二班调
6
人
到
一
班，
一班调
2
人到
四班，则四
个班的人数相
等，四个班原
有学生多少人
？
分析：当四个班人数
相等时，应为
168 ÷
4
，以
四班为例，它调给三班
3
人，又从
一班调入
2
人，所以四
班原
有的人数减去
3
再
加
上
2
等于平均数。
四班原有人
数列式为
168 ÷
4-2+3=43
（人
）
一班
原有人数列式
为
168 ÷ 4-6+2=38
（人）；
二班原
有人数列式为
168 ÷
4-6+6=42
（
人
）
三
班
原
有人
数列式为
168 ÷
4-3+6=45
（
人
）
。
（
1 0
）植树问
题：这类应用题
是以
“
植
树
”
为内
容。凡是研
究总路程、株
距、段数、棵
树四种数量关
系的应用< br>题，
叫做植树问题
。
-
解题关键：
解答植树问
题首先
要判断地形
，
分清是否封闭
图形，从而确
定是沿线段植
树还是沿周长
植树，
然后
按基本公式进
行计算。
-
解题规律：
沿线段植树
-
棵树
=
段
数
+1
棵
树
=
总路
程
÷
株
距
+1
-
株距
=
总
路
程
÷
（
棵
树
-1
）
总
路
程
=株
距
×
（
棵
树
-1
）
-
沿周
长
植树
-
棵树
=
总
路
程
÷
株
距
-
株距
=
总
路
程
÷
棵
树
-
总路
程
=
株
距
×
棵
树
例
沿公
路一旁埋电
线杆
301
根
，每相邻的两
根的间距是
50
米
。后来全
部改装，只
埋了
201
根
。求
改
装
后每
相邻两根的间
距。
分析：
本
题是沿线段
埋电线杆，
要把
电线杆的根
数减掉一。
列式
为
50 ×
（
301-1
）
÷
（
201-1
）
=75
（
米
）
（
11
）盈亏问
题：是在等分除
法的基础上发
展起来的。
他的< br>特点是把一
定数量的物
品，平均分配
给一定数
量的
人，在两次
分配中，一次有
余，一次不
足（或两次都有
余），或两
次都不足）， 已
知所余和不
足的数量，
求物
品适量和参加
分配人数的问
题 ，叫做盈亏
问题。
-
解题关键：
盈亏问题的
解法要
点是先求两次
分配中分配者
没份所得物品
数量的差，再
求两 次分配中
各次共
分物
品的差（也称
总差额），用
前一个差去除
后一个差，就
得到分配者的
数，进而再
求
得物品数。
-
解题规律：
总差额
÷
每
人
差
额
=
人
数
-
总差额的求
法可以分为
以下四
种情况：
-
第一次多余
，第二次不
足，总
差额
=
多
余
+
不
足
-
第一次正好
，第二次多
余或不
足
，
总
差
额
=
多余
或不足