上海小学数学知识点总结
余年寄山水
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2021年01月25日 17:57
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上海小学数学知识点总结
第一
章
数和数的运
算
一
概念
(一
)整数
1
整
数的意义
自然
数和
0
都是
整数。
2
自
然数
我们
在数物体的时
候,用来表示物体个数的
1
,
2
,
3……
叫做自
然数。
一个
物体也没有,
用
0
表
示
。
0
也是自然数
。
3
计
数单位
一(
个)、十、百
、千 、万、十
万、百万、千
万、亿
……
都是计
数单位。
每相
邻两个计数单
位之间的进率
都是
10
。这样的计数法叫
做十进制计数
法。
4
数
位
计数
单位按照一定
的顺序排列起
来,它们所占
的位置叫做数
位。
5
数
的整除
整
数
a
除以
整数
b(b
≠
0
),除
得的商是整数
而没有余数,
我们就说
a
能
被
b
整除,
或者说
b
能
整除
a
。
如果
数
a
能
被数
b
(
b
≠
0
)整除
,
a
就
叫做
b
的< br>倍数,
b
就叫
做
a
的
约数(
或
a< br>的因
数)。倍数和
约数是相
互依
存的。
因
为
35
能
被
7
整除,所
以
35
是
7
的倍
数,
7
是
35
的约
数。
一个
数的约数的个
数是有限的
,其中最小
的约数是
1
,最大
的
约数是它本
身。例如
:
10
的
约数有
1
、
2
、
5
、
10
, 其中最小
的约数是
1
,最大
的约数是
10
。
一个
数的倍数的个
数是无限的,其中最
小的倍数是它
本身 。
3
的
倍数有:
3
、
6
、
9
、< br>12……
其
中
最小的倍数
是
3
,
没有最大的倍
数。
个位
上是
0、
2
、
4
、
6
、
8
的数
,都 能被
2
整
除,
例
如:
202
、
480、
304
,
都
能被
2
整
除
。。
个位
上是
0
或
5
的
数
,
都
能
被
5
整除,例
如:
5
、
30
、
405
都能
被
5
整除。
。
一个
数的各位上的
数的和能被
3
整除,这个
数就能被
3
整
除,例如:
12
、
108
、
204
都
能
被
3
整除
。
一个
数各位 数上的
和能被
9
整除
,这个数就能
被
9
整
除
。
能
被
3
整除的数
不一定能被9
整除,但是
能被
9
整除的
数一定能被
3
整< br>除
。
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一个
数的末两位数
能被
4
(
或
25
)整除,这个数就能被
4
(
或
25
)整除。例
如:
1 6
、
404
、
1256
都能
被
4
整除,
50
、
325
、
500
、
1675
都
能
被
25
整除
。
一个
数的 末三位数
能被
8
(
或
125
)整
除,这个数就能被
8
(或
125
)整除。
例如:
1168
、
4600
、
5000
、
12344
都
能
被
8
整
除,
1125
、
13375
、
500 0
都
能
被
125
整除
。
能
被
2
整除的数
叫做偶数。
不能
被
2
整除的
数叫做奇数。
0
也
是偶数。自
然数按能否被
2
整除的特征可
分为奇数和
偶数。
一个
数,如果 只有
1
和它本身两
个约数,这样
的数叫做质数
(或素数),
100
以
内的质
数有:
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
1 9
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、< br>79
、
83
、
89
、
97
。
一个
数,如果除了
1
和它本身还
有别的约数,
这 样的数叫做
合数,例如
4
、
6
、
8
、
9
、
12
都
是合数。
1
不
是质 数也不
是合数,自然数
除了
1
外,
不是质数就是合
数。如果 把自
然数按其约数
的个数的不同
分类,
可分
为质数、合数
和
1
。
每个
合数都可以写
成几个质数相
乘的形式。其
中每个质数都
是这个合数的
因数,叫做这
个合数的质因
数,例
如
15=3×
5
,
3
和
5
叫
做
15
的
质
因
数
。
把一
个合数用质因
数相乘的形式
表示出来
,叫
做 分解质因数
。
例如
把
28
分解
质因数
几个
数公有的约数
,叫做这几个
数的公约数。
其中最大的 一
个,叫做这几
个数的最大公
约数,例如
12
的
约
数
有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
;
18
的约数
有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中,< br>1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的
公约数,
6
是
它们的最大
公约数。
公约
数只有
1
的
两个数,叫做互
质数,成互质
关系 的两个数
,有下列几种
情况:
1
和
任何自然数
互质。
相邻
的两个自然数
互质。
两个
不同的质数互
质。
当合
数不是质数的
倍数时,这个
合数和这个质
数互质。
两个
合数的公约数
只有
1
时
,
这
两个合数互质
,如果几个数
中任意两个都
互质,就说这
几个数两两互
质。
如果
较小数是较大
数的约数,那
么较小数就是< br>这两个数的最
大公约数。
如果
两个数是互质
数,它们的最
大公约数就是
1
。
几个
数公有的倍数
,叫做这几个
数的公倍数,
其中最小的 一
个,叫做这几
个数的最小公
倍数,如
2
的
倍
数< br>有
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2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
……
3
的
倍数有
3
、
6
、
9
、
12
、
15
、
18
……
其
中
6
、
12
、
18……
是
2
、
3
的
公倍数,
6
是
它们的最小
公倍数。。
如果
较大数是较小
数的倍数,那
么较大数就是
这两个数的 最
小公倍
数
。
如果
两个数是互质
数,那么这两< br>个数的积就是
它们的最小公
倍数。
几个
数的公 约数的
个数是有限的
,而几个数的
公倍数的个数
是无限的。
(二
)小数
1
小
数的意义
把整
数
1
平均分
成
10
份
、
100
份
、
1000
份……
得到
的十分
之几、
百分之
几、
千分之几
……
可
以用小数表示
。
一位小数表示十分
之几,两位小
数表示百分之
几,三位小数
表示千分之几……
一个
小数由整数部
分、小数部分
和小数点部 分
组成。数中的
圆点叫做小数
点,小数点左
边的数叫做整
数部分,< br>小数
点左边的数叫
做整数部分,
小数点右边的
数叫做小数部
分 。
在小
数里,每相邻
两个计数单位
之间的进率都是
10
。小数
部分的最高分
数单位
“
十分
之一
”
和整数部
分的最低
单
位
“
一
”
之间的进率
也是
10
。
2
小
数的分类
纯小
数:整数部分
是零的小数,
叫做纯小数。
例如:
0.25
、
0.368
都
是
纯小
数
。
带小
数:整数部分
不是零的小数
,叫做带小数
。
例如
:
3.25
、
5.26
都
是带
小
数
。
有限
小数:小数部
分的数位是有
限的小数,叫
做有限小数。
例
如:
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限
小数。
无限
小数:小数部
分的数位是 无
限的小数,叫
做无限小数
。
例
如:
4.33
……
3.1415926
……
无限
不循环小数:一 个数
的小数
部分,数字排列无规
律且位
数无限,这样的小数
叫做无< br>限不循环小数。
例
如
:
∏
循环
小数:一个数
的小数部分,
有一个数字或
者几个数字依
次不断重复出
现,这个数叫
做循环小数。
例
如
:
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个
循环小数的小
数部分,依次
不断重复出现
的数字叫做 这
个循环小数的
循环节。
例如
:
3.99
……
的循
环
节
是
“
9
”
,
0.5454
……
的循
环节是
“
54
”
。
纯循
环小数:循
环
节从小数部分
第一位开始的
,叫做纯循环
小数。
例
如
:
3.111
……
0.5656
……
混循
环小数:循环
节不是从小数
部分第 一位开
始的,叫做混
循环小数。
3.1222
……
0.03333
……
写循
环小数的时候
,为了简便,
小数的循环部
分只需写出一
个循环节,并
在这个循环节
的首、末位数
字上各
点一
个圆点。如果
循环
节
只
有
一
个数字,就
只在它的上
面点一个点。
例如:
3.777
……
简写
作
0.5302302
……
简
写
作
。
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(三
)分数
1
分
数的意义
把单
位
“1”
平均分< br>成若干份,表
示这样的
一份
或者几份的数
叫做分数。
在分
数里,中间的横线
叫做分数
线;分数线下面的
数,叫 做
分母,表示把单位
“1”
平均
分成多少份;分数
线下
面的
数叫做分子,
表示有这样的
多少份。
把单
位
“1”
平均分
成若干份,表
示其中的一份
的数,叫做分
数单 位。
2
分
数的分类
真分< br>数:分子比分
母小的分数叫
做真分数。真
分数小于
1
。
假分
数:分子比分
母大或者分子
和分母相等的
分数 ,叫做假
分数。假分数
大于或等于
1
。
带分
数:假分数可
以写成整数与
真分数合成的
数,通常叫做
带分数。
3
约
分和通分
把一
个 分数化成同
它相等但
是分
子、分母都比
较小的分数
,叫
做约分。
分子
分母是互质数
的分数,叫做
最简分数。
把异
分母分数分别
化成和原来分
数相等的同分
母分数,叫做
通分。< br>
(四
)百分数
1
表
示一个数是另
一个数的百分
之几的数
叫做
百分数
,
也叫
做百分率
或百
分比。 百分
数通常用
来
表
示
。
百分
号是表示百分
数的符号。
二
方法
(一
)数的读法和
写法
1.
整数的读法:从
高位到低位
,一级一
级地读
。读亿级
、万级时
,先按照
个级的读法
去读,再
在后面加一
个
“
亿
”
或
“
万
”
字。每一级
末尾的
0
都不读出来
,其它数位连续
有几个
0
都
只
读
一个
零< br>。
2.
整数的
写法:从高位
到低位
,一级一级地
写,哪一个数
位上一个单位
也没有,就在
那个数位上写
0
。
3.
小数的
读法:读小数的时候,整
数部分按照整
数的读法
读,小数点读作
“
点
”
,小数部分从左向右
顺次读出
每一
位数位上的数
字。
4.
小数的
写法:写小数
的时候
,整数部分
按照整数的写 法
来写,小数
点写在个位右下
角,小数部
分顺次写出
每一
个 数位上的数
字。
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5.
分数的
读法:读分数
时,先
读分 母再读
“
分
之
”
然后读分
子,分子和分
母按照整数 的
读法来读。
6.
分数的
写法:先写分
数 线,
再写分母,
最
后写分子,按
照整数的写法
来写。
7.
百分数
的读法:读百
分数时
,先读百分之
,再读百分号
前面的数,读
数时按照整数
的读法来读。
8.
百分数
的写法:百分
数通常
不写成分数形
式,而在原 来
的分子后面加
上百分号
“%”
来
表示。
(二
)数的改写
一个
较大的多位数
,为了读 写方
便,常常把它
改写成用
“
万
”
或
“
亿
”
作单位的数
。有时还
可以根据需要
,省略
这个
数 某一位后面
的数,写成近
似数。
1.
准确数
:在实际生活
中,为
了计数的简
便,可以把一个
较大的数改写
成以 万或亿为
单位的数。改写后的数
是原
数的准确数。
例
如
把
1254300000
改写成以
万做单
位的数是
125430
万;改
写成
以亿做单
位
的
数
12.543
亿
。
2.
近似数
:根据实
际需要,我们还可以
把一个较大的数
,省略某一
位后面的尾数,用一个近似< br>数来表示
。
例
如
:
1302490015
省略亿后面
的尾数是
13
亿
。
3.
四舍五
入法:要省略
的尾数
的最高位上的
数是
4
或者
比
4
小,就
把尾数去掉;如
果尾数的最高
位上的数是
5
或
者
比
5
大,就把尾数舍
去,并向它的前 一位进
1
。例
如:省略
345900
万后面
的尾数约是
35
万。省
略
4725097420
亿
后
面的尾数
约是
47
亿
。
4.
大小比
较
1.
比较整
数大小:比较
整数的
大小,位数多
的那个数就 大
,如果位数相
同,就看最高
位,最高位上
的数大
,
那个< br>数就大;最高
位上的数相同
,就看下一位
,哪一位上的
数大那个数就< br>大。
2.
比较小
数的大小
:先看它们
的整数部分
,,整数部分大
的那个数就大;整数
部分相
同的,十分位上的数
大
的那
个数就大;十
分位上的数也
相同的,百分
位上的数大 的
那个数就大
……
3.
比较分
数的大小< br>:
分母相同的
分数,分子大
的分数比较大
;分子相同的
数,分 母小的
分数大。分数
的分母
和分
子都不相同的
,先通分
,再
比较两个数的
大小。
(三
)数的互化
1.
小数化
成分数:原来有几位
小数,就在
1
的后
面写几个
零作分母,把原来的
小数去
掉小数点作分
子,能约分的
要约分。
2.
分数化
成小数
:用 分母去除
分子。能除尽的就化
成有限
小数,有的不能除尽,不能
化成有限小数
的,一般
保留
三位小数。
3.
一个最简分数,如果
分母中
除了
2
和
5
以外,不含有
其他的质因数
,这个分数就
能化成有限小
数;如果
分母
中含有
2
和
5
以外的质因
数,这个分数
就不能化成有
限小数。
4.
小数化
成百分数:只
要把小
数点向右移动
两位,同时 在
后面添上百分
号
。
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5.
百分数
化成小数:把
百分数
化成 小数,只
要把百分号去
掉,同时把小
数点向左移动
两位。
6.
分数化
成百分数:通
常先把
分数化成小数
(除不尽时,
通常保留三位
小数
)
,再把
小数化成百分
数。
7.
百分数
化成小数:先
把百分
数改写成 分数
,能约分的要
约成最简分数
。
(四
)数的整除
1.
把一个
合数分解质因
数,通
常用短除法
。先用能整除这
个合数的质数
去除,一直除
到商是质数为
止,再把
除数
和商写成连乘
的形式。
2.
求几个
数的最大公约
数的方
法是:
先用
这几 个数的公约
数连续去除
,
一直除到所得
的商只有公约
数
1< br>为
止
,
然后
把所有的除数
连乘求积,这
个积就是这几
个数的的最大
公约数
。
3.
求 几个
数的最小公倍
数的方
法是:先用这几个数(或其
中的部分数
)的 公约
数去除,一直
除到互质(或两
两互
质)为止,然
后把所有的除< br>数和商连乘求
积,这个积就
是这几个数的
最小公倍数。
4.
成为互
质关系的两个
数:
1
和任何自然
数互质
;
相邻
的两个自然数
互质;
当合
数 不是质数的
倍数时,
这个
合数和这个质
数互质;
两个合< br>数的公约数
只有
1
时,
这两个合数互
质。
(五
)
约
分和
通
分
约分
的方法:用分
子和分母的公
约数(
1
除外)去除分子、
分母
;通常要
除到得出最简
分数为止。
通分
的方法:
先求
出原来的几个
分数分母的最
小 公倍数,
然
后把各分数化
成用这个最小
公倍数作分母
的分数。
三
性质
和规律
(一
)商不变的规
律
商不
变的规律:在除法里,被除
数和除数同时
扩大或者同时
缩小相同的倍
,商不变。
(二
)小数的性质
小数
的性质:在 小
数的末尾添上
零或者去掉零
小数的大小不
变。
(三
)小数点位置
的移动引起小
数大小的变化
1.
小数点
向右移动一位,原来
的数就扩大
10
倍;小数 点
向右移动两位,原来的数就
扩大
100
倍;小数点向
右移
动三位,原来
的数就
扩
大
1000
倍
……
2.
小数点
向左移动一位,原来
的数就缩小
10
倍;小数点
向左移动两位,原来的数就
缩小
100
倍;小数点向
左 移
动三位,原来
的数就缩小
1000
倍
……
3.
小数点
向左移或者向
右移位
数不够时,要
用
“0
补足位
。
(四
)分数的基本
性质
分数的
基 本性质:
分数的分子
和分母都乘以
或者除以相同
的数(零除外
),分 数的大
小不变。
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(五
)分数与除法
的关系
1.
被
除
数
÷
除
数
=
被
除
数
/
除
数
2.
因为零
不能作除数,
所以分
数的分母不能
为零。
3.
被
除
数
相
当于分子,
除数相
当
于
分
母
。
四
运算
的意义
(一
)整数四则运
算
1
整
数加法:把
两个数合并成一
个数的运算叫
做加法。
-
在加法里,
相加的数叫
做加数
,加得的数叫
做和。加数是
部分数,和 是
总数。
-
加数
+
加
数
=
和
一
个加数
=
和-
另一个加数
2整
数减法:已
知两个加数的和
与其中的一个
加数,求另一
个加数 的运算
叫做减法。
-
在减法里,
已知的和叫
做被减
数,已知的加
数叫做减数,
未知的加数叫
做差。被减数
是总 数,减数
和差分
别是
部分数。
-
加法和减法
互为逆运算
。
3
整
数乘 法:求
几个相同加数的
和的简便运
算
叫做乘法。
-
在乘法里,
相同的加数
和相同
加数的个数都
叫做因数。 相
同加数的和叫
做积。
-
在
乘
法里
,
0
和任何数
相乘都
得
0. 1
和任何
数相乘都
的任何数。
-
一个
因
数
×
一
个因数
=
积
一
个
因
数
=
积
÷
另
一个因
数
4
整
数除法:已知
两个因数的
积与 其中一个
因数,求另一
个因数的运算
叫做除法。
-
在除法里,
已知的积叫
做被除
数,已知的一
个因数叫做除
数 ,所求的因
数叫做商。
-
乘法和除法
互为逆运算
。
-
在除法里,
0
不能做
除数。因为
0
和任
何数相乘都得
0
,所以任
何一个数除以
0
,均得不到
一个确定的商。
-
被除
数
÷
除
数
=
商
除
数
=
被除
数
÷
商
被
除
数
=
商
×
除数
(二
)小数四则运
算
1.
小数加
法 :小数加法
的意义
与整数加法的
意义相同。是
把两个数合并
成一个数 的运
算。
2.
小数减
法:小数减法的意义
与整数减法的
意义相同。已知
两个加数的和
与其中的一
个加数,求另一
个加数
的运
算
.
3.
小数乘
法:小数乘 整数的意
义和整数乘法
的意义相同,就
是求几个相同
加数和的简
便运 算;一个数
乘纯小
数的
意义是求这个
数的十分之几
、百分之几、千分之几
……
是多少
。
4.
小数除< br>法:小数除法的意
义
与整数除法的
意义相同,就是
已知两个因数
的积与其中
一个因数,求另
一个因
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数的
运算。
5.
乘
方
求几
个相同因数
的积的
运算叫做乘方
。例如
3 × 3 =32
(三
)分数四则运
算
1.
分数加
法:分数加法
的意义
与整数加法的
意义相同。
是把
两个数合并
成一个数的
运算。
2. < br>分数减
法:分数减法的意义
与整数减法的
意义相同。已知
两个加数的和
与其中的一
个加数,求另一
个加数
的运
算。
3.
分数乘
法:分数乘法
的意义
与整数乘法的
意义相同, 就
是求几个相同
加数和的简便
运算。
4.
乘
积
是
1
的两个数
叫做互为
倒数
。
5.
分数除
法:分数除法的意义
与整数除法的
意义相同 。就是
已知两个因数
的积与其中
一个因数,求另
一个因
数的
运算。
(四
)运算定律
1.
加法交
换律:两个数
相加,
交换加数的位
置,它们的和
不变,即< br>a+b=b+a
。
2.
加法结
合律:三个 数相加
,先把前
两个数相加
,再加上
第三个数;或者先把
后两个数相加,再和第一个
数
相加
它们的和不变
,即(
a+b)+c= a+(b+c)
。
3.
乘法交
换律:两个数相乘,
交换因数的位
置它们的积不
变,即
a×
b=b×
a
。
4.
乘法结
合律:三个数相乘
,先把 前
两个数相
乘
,再乘以
第三个数;或者先把
后两个
数相乘, 再和第一个
数
相乘
,它们的积不
变,即
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
。
5.
乘法分
配律:两个数
的和与
一个数相乘,
可以把两个 加
数分别与这个
数相乘再把两
个积相加,即
(a+b)×
c=a×< br>c+b×
c
。
6.
减法的
性质: 从一个
数里连
续减去几个数
,可以从这个
数里减去所有
减数的和,差
不变,即
a-b-c=a-(b+c)
。
(五
)运算法则
1.
整数加
法 计算法则:
相同数
位对齐,从低
位加起,哪一
位上的数相加
满十,就 向前
一位进一。
2.
整数减
法计
算法则< br>:相同数
位对齐
,从低位加起
,哪一
位上的数不够
减,就从它 的
前一位退一作
十,和本
位上
的数合并在一
起,再减。
3.
整数乘
法计算法则
:先用一
个因数每一位
上的数分别去
乘另一个因数
各个数位上的
数,用因数
哪一位上的
数去
乘,乘得的数
的末尾就对齐
哪一位,然后
把各次乘得的
数加起来。< br>
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4.
整 数除
法计算法则:
先从被
除数的高位除
起,除数是几
位数,就看被< br>除数的前几位
;
如果不够除
,就多
看一
位,除到被 除数
的哪一位,商就
写在哪一位
的上面。如果哪
一位上不够
商
1
,要补
“0”
占位。每次除
得的
余数
要小于除数。
5.
小数乘
法
法则:
先按照整数
乘法 的计算法
则算出积,
再看因
数中共有几
位小数,
就从积
的右 边起数
出几位,
点上
小数点;如果
位数不够,就
用
“0”< br>补
足
。
6.
除数是
整数的小数 除
法计算
法则:先按照整
数除法的法
则去除,商的小
数点要和被除数的小数点
对齐;如
果除
到被除数的末
尾仍有余数,
就在余数 后面
添
“0”
,再继
续除。
7.
除数是
小数的除法计
算法则
:先移动除
数的小数点,使
它变成整数< br>,除数的小数点
也向右移动几
位(位数
不够
的补
“0”
),
然后按照除数
是整数的除法
法则进行计算
。
8.
同分母
分数加减法计
算方法
:
同分
母分数相 加减
,只把
分子相加减,
分母不变。
9.
异分母
分数加减法计
算方法
:
先通
分,然后按照
同分母分数加减法的
的法则进行计
算。
10.
带分< br>数加减法的计
算方法
:
整数
部分和分数部
分分别
相加 减,再把
所得的数合并
起来。
11.
分数
乘法的计算法
则
:
分数
乘整数,用分数的分
子和整
数相乘的 积作
分子,分母不
变;分数
乘分数
,用分
子相
乘的积作分子
,分母相乘的
积作分母。
12.
分数
除法 的计算法
则
:
甲数
除以乙数(
0
除外),等于
甲数 乘乙数的
倒数。
(六
)
运
算顺
序
1.
小数四
则运算的运算
顺序和
整数四则运算
顺序相同。
2.
分数四
则运算的运算
顺序和
整数四则运算
顺序相同。
3.
没有括
号的混合运算
:
同级运
算从左往右 依
次运算;两级
运算
先算乘、
除法,后算
加减法。
4.
有括号
的混合运算
:
先算小括
号里面的,再
算中括号里面
的,最后 算括
号外面的。
5.
第一级
运算:加法和
减法叫
做第一级运算
。
6.
第二级
运算:乘法和
除法叫
做第二级运算
。
五
应用
(一
)整数和小数
的应用
1
简
单应用题
(
1
)
简单 应用题
:只含有一种
基本数量关系
,或用一步运
算解答的应用
题,通 常叫做
简单应用题。
(
2
)
解
题
步骤:
a
审题理解题
意:了 解应用题的
内容,知道应
用题的条件和
问题。读题时
,不丢字不添
字 边读边思考
,弄明
白题
中每句话的意
思。也可以复
述条件和问题,帮助理解题
意。
b
选择算法和列
式计算:这是 解
答应用题的中
心工作。从题
目中告诉什么
,要求什么着
手,逐步根 据
所给的
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条件
和问 题,联系
四则运算的含
义,分析数量
关系,确定算
法,进行解答
并标 明正确的
单位名称。
C
检验
:就是根据应
用 题的条件
和问题进行检
查看所列算式
和计算过程是
否正确,是否
符合 题意。如
果发现
错误
,马上改正。
d
答案: 根据计
算的结果,先口
答,逐步过渡
到笔
答。
( 3 )
解答加法应用
题:
a
求总数的
应用题:已知
甲数是
多少,乙数是
多少,求甲乙
两数的和是多
少。
b
求比一个数多
几的数应用题:
已知甲数是多
少和乙数比甲
数多多少,求
乙数是多少。
(4 )
解答减法应用
题:
a
求剩余的
应用题:从已
知数中
去掉一部分,
求剩下的部分
。
- b
求两个
数相差的多少
的应用
题:已知甲乙两
数各是多少,求甲数比 乙数
多多少,或乙
数比甲数少多
少。
c
求比 一个
数少几的数的
应用题
:已知甲数是
多少,,乙数
比甲数少多少< br>,求乙数是多
少。
(5 )
解答乘法应
用题:
a
求相同加
数和的应用题
:已知
相同的加数和
相同加数的个
数,求总数。
b
求一个数的几
倍是多少的应用
题:已知一个
数是多少,另
一个 数是它的
几倍,求另一
个数是多少。
( 6)
解答除法应
用题:
a
把一个数
平均分成几份
,求每
一份是多少的
应用题:已知
一个数和把这
个数平均分成
几份的,求每
一份是
多少
。
b
求一个数里 包
含几个另一个数
的应用题:已
知一个数和每
份是多少,求
可以分成 几份
。
C
求一个
数是另一个数
的的几倍< br>的应用题:已
知甲数乙数各
是多少,求较
大数是较小数
的几倍。
d
已知一个数的
几倍是多少,求
这
个数的应用
题。
(
7
)常见的数量
关系:
-
总价
=
单
价
×
数
量
-
路程
=
速
度
×
时
间
-
工作
总
量
=
工
作时间
×< br>工
效
-
总产
量
=
单产
量
×
数
量
2
复
合应用题
(
1
)
有两个或两
个以上的基本
数量关系组成
的,
用两步或
两步以 上运算
解答的应用题,
通常叫做复
合应用题。
(
2
)含有三个已
知条件的两步
计算的应用题
。
-
求比两个数
的和多(少
)几个
数的应用题。
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-
比较两数差
与倍数关系
的应用
题。
(
3
)含有两个已
知条件的两步
计算的应用题
。
-
已知两数相
差多少(或
倍数关
系)与
其中一
个数,求两个
数的和(或差
)。
-
已知两 数之
和与其中一
个数,
求两个数相差
多少(或倍数
关系)。
(
4
)解答连乘连
除应用题。
(
5
)解答三步计
算的应用题。
(
6
)解答小
数计算的应用题
:小数计算的
加法、减
法、乘法和除法的
应用题,他们的
数量关系、结构、和
解
题方
式都与正式应
用 题基本相同
,只是在已知
数或未知数中
间含有小数。
3
典
型应用题
具有
独特的结构特
征 的和特定的
解题规律的复
合应用题,通
常叫做典型应
用题。
(
1
)平均数问题
:平均数是等
分除法的发展
。
-
解题关键:
在于确定总
数量和
与之相对应的
总份数。
-
算术平均数
:已知几个不相等
的同类量和与
之相对应 的份
数,求平均每
份是多少。数量
关系式:数量
之和
÷
数量
的个数
=
算术平
均数。
- 加权平均数
:已知两个
以上若
干份的平均数
,求总平均数
是多少 。
-
数量
关
系式
(
部
分
平
均
数
×
权数
)的总和
÷
(权
数的和
)
=
加权平均数
。
-
差额平均数:是把各个大于
或小于标准数
的部分之和被
总份数均分,求
的是标准数
与各数相差之
和的平均
数
。
-
数量关系式
:(大数
-小数)
÷
2=
小数应得
数< br>
最大数
与各数之差的
和
÷
总
份数
=
最大
数应给数
最
大
数与
个数之差的和
÷
总
份
数
=
最小数
应得数。
例:
一辆汽车以每
小时
100
千
米
的速度从甲
地开往乙地
,又以每小时
60
千米的速
度从 乙地开往
甲地。求
这辆
车的平均速度
。
分析
:求汽车
的平均速度
同样可
以利用公式
。此题可
以把甲地到乙地的路
程设为
“
1
”
,则汽车
行驶的总路程
为
“
2
”
,从甲地到乙
地的速度
为
100
,
所用的时间为
,汽
车从乙地到甲
地速度为
60
千
米
,所
用的时间
是
,汽
车共行的时间
为
+ = ,
汽车的平均
速度为
2 ÷ =75
(
千米
)
(
2
)
归一问题:
已知
相 互关联
的两个量,其
中一种量改变
,另一种量也
随之而改变,
其变化 的规律
是相同
的,
这种问题称之
为归一问题。
-
根据
求
“
单一
量
”
的步骤的多少,归一问题可
以分为一次归
一问题,两次
归一问题。
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-
根据球痴单
一量之 后,
解题采
用乘法还是除
法,归一问题
可以分为正归
一问题,反归< br>一问题。
-
一次归一问
题,用一步
运算就< br>能求出
“
单
一
量
”
的归一问题
。又称
“
单归一
。
”
-
两次归一问
题 ,用两步
运算就
能求出
“
单
一
量
”
的归一 问题
。又称
“
双归一
。
”
- 正归一问题
:用等分除
法求出
“
单
一
量
”之后,
再用乘法计
算结果的归一
问
题
。
-
反归一问题
:用等分除
法求出
“
单
一
量
”
之后,
再用除法计
算结果的归一
问题。
-
解题关键:
从已知的一
组对应
量中用等分除
法求出一份 的
数量(单一量
),然后以它
为标准,根据
题目的
要求
算出 结果。
数量关
系式:单一
量
×
份
数
=
总数量
(正归一)
-
总
数
量
÷
单一
量
=
份数(反归
一)
例
一个
织布工人,
在七月份织
布
4774
米
,
照这样计算
,织布
6930
米
,需要多
少天?
分析
:必须先求出
平均每天织布
多少米,就是
单一量。
693 0 ÷
(
477 4 ÷
31
)
=45
(
天)
(
3
)归总
问题: 是已知单位数
量和计量单位
数量的个数
,以及不
同的单位数量(或单
位数量的个数
),通过
求总
数量求得单位
数量的个数(
或单位数量)
。
-
特点:两种
相关联的量
,其中
一种量变化,
另一种量也跟
着变化,不过
变化的规律相
反,和反比例
算法彼
此相
通。
-
数量关系式:单
位数 量
×
单位
个数
÷
另一个单
位数量
=
另一个
单位数量
单位数
量
×
单位
个
数
÷
另一
个
单位
数量
=
另一个单位
数量。
例
修一
条水渠,原
计划每天修
800
米
,
6
天修完。实
际
4
天修完,
每天修了多
少米?
分析
:因
为要求出
每天修的长度
,就必须先求
出水渠的长度
。所以也把这
类 应用题叫做
“
归
总
问题
”
。不
同之
处是
“
归
一
”
先求出单
一量,再求
总量,归总问 题
是先求出总
量,再求单一量。
80 0 × 6 ÷
4=1200
(
米
)
(
4
)
和差问题:
已知大小两个
数的和,以及
他们的差,求
这两个数各是< br>多少的应用题
叫做和差问题
。
-
解题关键:
是把大小两
个数的
和转化成两个
大数的和(或
两个小数的和
),然后再求
另一个数。
-
解题规律:
(和+差)
÷
2 =
大
数
大
数
-
差
=
小数
(和
-差)
÷
2=
小
数
和-
小数
=
大
数
例
某加
工厂甲班和
乙班共有工
人
94
人,因
工作需要临时
从乙班调
46
人到甲班工作
,这时乙班比
甲班人数
少
12
人,求原来
甲班和乙班各
有多少人?
分析:从
乙班调
46
人到甲班,对于
总数没有变
化,现在把
乙数转化成
2
个乙班,即
9 4
-
12
,由此
得到
现在
的乙班是(
9 4
-
12
)
÷
2=41
(人),
乙班在调
出
46
人之前
应该为
41+46=87
(
人),甲班
学习好资料
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为
9 4
-
87=7
(
人
)
(
5
)和倍问题:
已知两个数的
和及它们之间
的倍数
关系
,求两个数各
是多少的应用
题
,叫做 和倍
问题。
-
解题关键:
找准标准数
(即
1
倍数)一般
说来,题中说是
“
谁
”
的几倍,把< br>谁就确定为
标准数。求出
倍数和
之后
,再求出标准
的数量是多 少
。根据另一个
数(也可能是
几个数)与标
准数的倍数关
系,再去求 另
一个数
(或
几个数)的数
量。
-
解题规律:
和
÷
倍
数
和
=
标准
数
标
准
数
×
倍数
=
另一个
数
例
:
汽车运
输场有大小货
车
115
辆,
大货车比
小货车的
5
倍
多
7
辆,
运输场有
大货车和
小汽车各有多
少辆?
分析
:大货车比
小货车的
5
倍
还
多
7
辆,这
7
辆
也
在总数
115
辆内
,为了使总数与(
5+1
)倍对应,总
车辆
数应(
115-7
)
辆
。
列式
为(
115-7
)
÷
(
5+1
)
=18
(
辆
)
,
18 ×
5+7=97
(
辆)
(
6
)差倍问题:
已知两个数的
差,及两个数
的倍数关系,
求两个数各是
多少的应用题
。
-
解题规律:
两个数的差
÷
(倍
数-
1
)
=
标准
数
标
准
数
×倍
数
=
另一
个
数
。
例
甲乙
两根绳子,
甲绳长
63
米
,
乙
绳
长
29
米
,两根
绳剪去同样的
长度,结果甲
所剩的长度是
乙绳
长
的
3
倍,甲乙两绳
所剩长度各
多少米?
各减
去多少米?
分析
:两根绳子剪
去相同的一段
,长度差没变
,甲绳所剩的
长度是乙绳的
3
倍,实比
乙绳多(
3-1
)倍
,
以乙
绳的长度为标
准数。列式(
63-29
)
÷
(
3-1
)
=17
(米
)
…
乙绳剩下
的长度
,
17 × 3=51
(
米)
…
甲绳
剩下的长度,
29-17=12
(
米
)
…
剪去
的长度。
< br>(
7
)行程问题:关
于走路、行车
等问题,一般都
是计算路< br>程、时间、速度,叫
做行程
问题。解答这类
问题首
先要
搞清楚 速度、
时间、路程、
方向、杜速度
和、速度差等
概念,了解他
们之间 的关系
,再根据这类
问题的
规律
解答。
-
解题关键及
规律:
-
同时
同
地相
背而行:路
程
=
速
度
和
×
时
间< br>。
-
同时相向而
行:相遇时
间
=< br>速
度
和
×
时
间
-
同时同向而
行(速度慢
的在前
,快的在后)
:追及时间
=
路 程
速度差。
同时同
地同向而行
(速度慢的
在后,快的在
前):路程
=
速度
差
×
时间
。
例
甲在
乙的后面
28
千
米
,两
人同时同向而
行,甲每小时
行
16
千米
,
乙每小时行
9
千
米
,甲几
小时追
上乙
?
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分析
:甲每小时比
乙多行(
16-9
)千米,也就
是甲每小时
可以追近乙(
16-9
)千米
,这是速度差
。
已知
甲在乙的后面
28
千
米
(追击
路程),
28
千
米
里包
含着几个(
16-9
)千米,
也就是追击所
需要的
时间
。列式
2 8 ÷
(
16-9
)
=4
(
小
时
)
(
8
) 流水问
题:一般
是研究船
在
“
流
水
”
中航 行
的问题。它是行程问题
中比较特殊的一
种类型,它
也是一种和
差问
题。它的特点
主要是考虑水
速在逆行和顺
行中的不同作
用。
-
船速:船在
静水中航行
的速度
。
-
水速:水流
动的速度。
-
顺水速度:
船顺流航行
的速度
。
-
逆水速度:
船逆流航行
的速度
。
-
顺速
=
船速+
水速
-
逆速
=
船速-
水速
-
解题关键:
因为顺流速
度是船
速与水速的和
,逆流速度是
船速与水速的
差,所以流水
问题当作和差
问题解
答
。
解
题时要以水
流为线索。
-
解题规律:
船行速度
=
(顺水
速度
+
逆
流
速度)
÷2
流水
速度
=
(顺流速
度
-
逆流速
度)
÷
2
路
程
=
顺
流速度
×
顺流航
行所需
时间
路
程
=
逆
流速度
×
逆流航
行所需
时间
例
一只
轮船从甲地
开往乙地顺
水而行,每小
时行
28
千米
,
到乙地后,
又逆水
航行
,回到甲地。
逆水比顺
水多
行
2
小时,已
知水速每小
时
4
千米。求
甲乙两地相
距多少千米?
分析
:< br>此题必须先
知道顺水的速
度和顺水所需
要的时间,
或
者逆水速 度和
逆水的时
间。
已知顺水速度
和水流
速
度,因 此
不难算出逆
水的速度,但顺
水所用的时
间,逆水所
用的时间不知< br>道,只知道顺
水比逆水少用
2
小
时
,
抓住
这一点,就可
以就能算出顺
水从甲地到乙
地的所用的时
间,这样就能
算出甲乙两地
的路程。列式
为
28- 4 ×
2=20
(
千
米
)
2 0 ×
2 =40
(千米
)
40 ÷
(
4 ×
2
)
=5
(小
时)
28 ×
5=140
(
千米)
。
(
9
)
还原问题:
已知某未知数
,经过一定的< br>四则运算后所
得的结果,求
这个未知数的
应用题,我们
叫做还
原问
题。
-
解题关键:
要弄清每一
步变化
与未知数的关
系。
-
解题规律:
从最后结果
出发
,采用与原题
中相反的运算
(逆运算)方
法,逐步推导
出原数。
-
根据原题的
运算顺序列
出数量
关系,然后采
用逆运算的 方
法计算推导出
原数。
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-
解答还原问
题时注意观
察运算
的顺 序。若需
要先算加减法
,后算乘除法
时别忘记写括
号。
例
某小
学三年级四
个班共有学
生
168
人
,如果四班调
3
人到三班,三
班调
6
人到
二班,二班调
6
人
到
一
班,
一班调
2
人到
四班,则四
个班的人数相
等,四个班原
有学生多少人
?
分析:当四个班人数
相等时,应为
168 ÷
4
,以
四班为例,它调给三班
3
人,又从
一班调入
2
人,所以四
班原
有的人数减去
3
再
加
上
2
等于平均数。
四班原有人
数列式为
168 ÷
4-2+3=43
(人
)
一班
原有人数列式
为
168 ÷ 4-6+2=38
(人);
二班原
有人数列式为
168 ÷
4-6+6=42
(
人
)
三
班
原
有人
数列式为
168 ÷
4-3+6=45
(
人
)
。
(
1 0
)植树问
题:这类应用题
是以
“
植
树
”
为内
容。凡是研
究总路程、株
距、段数、棵
树四种数量关
系的应用< br>题,
叫做植树问题
。
-
解题关键:
解答植树问
题首先
要判断地形
,
分清是否封闭
图形,从而确
定是沿线段植
树还是沿周长
植树,
然后
按基本公式进
行计算。
-
解题规律:
沿线段植树
-
棵树
=
段
数
+1
棵
树
=
总路
程
÷
株
距
+1
-
株距
=
总
路
程
÷
(
棵
树
-1
)
总
路
程
=株
距
×
(
棵
树
-1
)
-
沿周
长
植树
-
棵树
=
总
路
程
÷
株
距
-
株距
=
总
路
程
÷
棵
树
-
总路
程
=
株
距
×
棵
树
例
沿公
路一旁埋电
线杆
301
根
,每相邻的两
根的间距是
50
米
。后来全
部改装,只
埋了
201
根
。求
改
装
后每
相邻两根的间
距。
分析:
本
题是沿线段
埋电线杆,
要把
电线杆的根
数减掉一。
列式
为
50 ×
(
301-1
)
÷
(
201-1
)
=75
(
米
)
(
11
)盈亏问
题:是在等分除
法的基础上发
展起来的。
他的< br>特点是把一
定数量的物
品,平均分配
给一定数
量的
人,在两次
分配中,一次有
余,一次不
足(或两次都有
余),或两
次都不足), 已
知所余和不
足的数量,
求物
品适量和参加
分配人数的问
题 ,叫做盈亏
问题。
-
解题关键:
盈亏问题的
解法要
点是先求两次
分配中分配者
没份所得物品
数量的差,再
求两 次分配中
各次共
分物
品的差(也称
总差额),用
前一个差去除
后一个差,就
得到分配者的
数,进而再
求
得物品数。
-
解题规律:
总差额
÷
每
人
差
额
=
人
数
-
总差额的求
法可以分为
以下四
种情况:
-
第一次多余
,第二次不
足,总
差额
=
多
余
+
不
足
-
第一次正好
,第二次多
余或不
足
,
总
差
额
=
多余
或不足