数学发展史中的几次重大思想方法的突破[1]
玛丽莲梦兔
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2021年01月25日 19:55
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范仲淹是哪个朝代的-
1.
承认
“
无理数
”
是对
“
万物皆数< br>”
的思想解放
古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的 团体。他们认为
“
数
”
是万物的本源，是数学严密
性和次序性的唯一 依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，
“
数统治着宇宙
”
，支配着整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例， 这是世界所以美
好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使
“
数
”
不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，
所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个 叫希帕索斯的学生在研究
1
与
2
的比例中项时，发现没有一个能用 整数比例写成的数可以表示它。万物皆数以数为一个价值尺度去解释自
然，揭示了自然界的部分道理，可 把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等
人的信条，
打破了 所谓给定任何两个线段，
必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，
原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。这是数学史上的第一次危机。
2
．
2
微积分的产生是第二次思想解放
第二次数学危机 源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，< br>实
际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四 道屏障，这就是
他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论
、
箭的悖论
、
操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，
牛顿合理地设想：
Δ
t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻
t
时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学 家和物理学家热烈
欢迎。
大家充分地运用它，
解决了大量过去无法问津的科技问题。< br>但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非
难甚至嘲讽与攻击。贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的 微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“
时间微分
”
与
“
距离微分
”
之比，是
牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓
“
最终的比
”
(
如
(2)
中的
2at)
不是
“
最终的量
”
的比，
而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，< br>又没有严
格界说极限的含义。包括莱布尼兹对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而， 牛顿及其后一百年间的
数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。这就是数学史上所谓第二次数学危 机。
2
．
3
非欧几何的诞生是第三次思想解放
希腊人在几何学上取得很大成就，最典型的是《几何原本》
。
《几何原本》 从五个公理、五个公设出发推演出有关的数学问题，这就给了人们一个价值尺度，一把尺子。那么
人们自 然要问，这把尺子准否
?
又有谁去量《几何原本》
。公设①
～④< br>都是很容易接受的，对于叙述最为罗嗦的
“
第五公设
”
有人想能否从中 去掉
它，然后由别的来代替。
那么，
唯一的办法就是用别的定理去证明它也 能获得同样结论。
第一个做这件事的人就是仅与欧几里得相差不到
一世纪的著名天文学家、几何 学家托勒密，但没有获得成
gong
。尔后到公元
5
世纪的普洛克 拉斯，
17
世纪的沃利斯，也都没有获得什么进展。直到
19
世纪初，所有用 欧几里得的公理去证
明欧几里得平行的公理的尝试，都失败了，它整整困惑了人们
2000多年。
19
世纪初，当一大批数学家们开始意识到第五公设是不可证明时，那唯 一的办法，要么干脆承认第五公设，要
么换一个新的思路，重新构筑一个体系。这时，非欧几何可以说已 经呼之欲出了。当时德国数学家
C
．
F
．高斯、
俄国数学家
H
．
И
．罗巴契夫斯基和匈牙利数学家
J
．波尔约等人各自独立地认 识到这种证明是不可能的。高斯
关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在
1855
年他去世后出版时才引起人们的注意。罗
巴契夫斯基和波尔约分别在
1830
年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替代欧几里
得平行公理的是罗 巴契夫斯基平行公理：
在这种几何里，
三角形内角和小于两直角。
当时罗巴契夫斯基称 这种几
何学为虚几何学，后人又称为罗巴契夫斯基几何学，简称罗氏几何，也称双曲几何。
非欧几何的创建打破了
2000
多年来欧氏几何一统天下的局面，从根本上 革新和拓宽了人们对几何学观念的认识。非欧几何的创建导致
人们对几何学基础的深入研究。不仅推广了 几何学观念，而且对于物理学在
20
世纪初期所发生的关于空间和时
间的物理观念的改 革也起了巨大的推动作用。
非欧几何学首先提出了弯曲的空间，
它为更广泛的黎曼几何的产生< br>创造了前提，
而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具。
而这一次思想解放，
数学依然是在物理学的
前面几十年。
A.
爱因斯坦和他后继者在广义相对论的 基础上研究了宇宙的结构。
按照相对论的观点，
宇宙结构的
几何学不是欧几里得几何学 而是接近于非欧几何学，许多人采用了非欧几何作为宇宙的几何模型。
2
．
4
罗索悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放
第三次危机，涉及到了
“
数学自身的基础是什么
”
的根本问题。它的起因是< br>19
世纪的弗雷格根据康托尔创立的集
合论思想撰写一本《算术基础》
，其主要 思想是把算术的基础全部归结为逻辑，以期能建立：数学
→
算术
→
逻辑
的模式，筑起数学的大厦。
1092
年
6
月，罗素给正在致力于 把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信，叙述了他所发现的一条悖论：
我们暂且这样叙述：有些集 合不以自己为元素，
{0
，
1
，
2}
＝
3
，
“
3
”
并不是自己的元素。也可能以自己为元素，
如
“< br>所有集合的集合
”
，自己是个集合，所以也是自己的元素。现在考虑所有那些
“
不以自己为元素的集合
”
。这个
概念的外延确定了一个集合，它是不是自己的 元素呢
?
如果它以自己为元素，它就不符合定义自己的概念，因而
不是自己的元素。如 果它不以自己为元素呢
?
它又和概念相符了。它应当以自己为元素，使得弗雷格的
“< br>逻辑
”
产
生了矛盾，陷入了两难境地。
对罗素的观点，我们 也可以换一种比较具体的好理解的说法。理发师悖论：某村有一位手艺高超的理发师，他只
给村上一切不 给自己刮脸的人刮脸。试问，他给不给自己刮脸呢
?
如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸。
如果他给自己刮脸，由于他只给那些不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸。
罗素悖论是数学史上的第三次危机，它给数学领域沉重的打击。围绕第三次危机，
1 9
世纪、本世纪许多杰出的数学家都参与了
“
数学基础
”
大厦建设工 作，取得卓然成就，
“
数学化
”
(Mathematizing)
很可能是人的一种创造性活动，像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史
性决定不容许 完全的客观的有理化
(rationalization)
。
”
一 部数学文化的原创有着极大诱惑力，它鼓舞着、引导着人们去为他奋斗。就如同美国前数学协会埃里克坦普
尔
·
贝尔说的：
“
人们将会发现，领略现代数学思想的这些令人鼓舞的概念 ，就像热天喝冰水那样使人清新，像一
切艺术那样令人感奋。
”
浅谈数学思想方法的意义
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么 学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓
基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的 、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样
相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理 的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中
来看数学思想、方法教学所具有的重要意义．
１．数学
思想
方法教学的心理学意义
第一，< br>“懂得基本原理使得学科更容易理解”．
心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．
”当学生掌握了一些数学思想、
方法，
再去学习相关的数学知 识，
就属于下位学习了．
下
位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新 学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入
到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就 能够更好地理解和掌握数学内容．
第二，
有利于记忆．
布鲁 纳认为，
“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，
否则很快就会忘记．
“
“学
习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时 候得以
把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆 那个现
象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要 的．无