数学函数的发展史
玛丽莲梦兔
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2021年01月25日 19:55
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小学三年级数学上册练习题-
总课题：数学的发展史
子课题：函数的发展史
一
、
组长：李
组员：刘
田
二
、
指导老师：张
仁
姬
孙
三
、班级：高一
12
班
四
、成员简介：
李：性格开朗、刻苦认真
担任组长
刘
：喜欢英语、大方
担任搜集
仁
：喜欢信息、刻苦认真
担任写作
姬：开朗大方、热情
担任搜集
孙：爱好动漫、画画
性格外向
担任整理
田
：开朗大方刻苦认真
担任整理
五
、选题的原因：
开阔视野，增长见识。提高 我们的数学修养‘可以使我们更好的融合
在一起，加强团结，了解数学。
六
：研究计划：
共六人：
姬
刘
担任搜集
李
仁
担任写作
孙
田
整理资料
七：
研究成果：
历史表明，
重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，
函数概念对数学
发 展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发
展，看一看函数概念不断被 精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分
有益的事情，
它不仅有助于我们提高对函 数概念来龙去脉认识的清晰度，
而且更
能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作 用．
（一）
1.
早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略
(G
．
Galileo
，意，
1 564
－
1642)
在《两门新科学》一
书中，几乎全部包含函数或称为变量 关系的这一概念，用文字和比例的语
言表达函数的关系。
1673
年前后
( Descartes
，法，
1596
－
1650)
在他的中，
已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼
函数概念，因此直到
17
世纪后期、建立时还没有人明确函数的一般意义，
大部分函数是被当作曲线来研究的。
马克思曾经认为，
函数概念来源于代数学中不定方程的研究．
由于 罗马时代
的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，
运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的
问题，人们在思索： 既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降
的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地 球上
?
行星运行的轨道是椭圆，原
理是什么
?
还有，研究在地球表面 上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，
以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，
既是 科学家的力图解决的问题，
也
是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的 一个数学概
念，这是函数概念的力学来源．
（二）
早在函数 概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函
数，比如对数函数、三角函数、双曲函数 等等．
1673
年前后笛卡儿在他的解析
几何中，
已经注意到了一个变量对于 另一个变量的依赖关系，
但由于当时尚未意
识到需要提炼一般的函数概念，因此直到
1 7
世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积
分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线
上点的横坐标、纵坐标、切 线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数
一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，
牛顿在微积分的
讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到
1689
年，瑞士数学
家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进 行了明确定义，
贝努里把变量
x
和常量按任何方式构成的量叫“x
的函数”， 表示为
yx.
当时，
由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、
三角运 算、
指数运算和
对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数
x
和常 数
c
而成的式子，
取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的
函数”的说法．
在解释“任意的函数”概念的时候，
达朗贝尔说是指“任意的解
析式”，
而欧 拉则认为是“任意画出的一条曲线”．
现在看来这都是函数的表达
方式，是函数概念的外延．< br>
（三）十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718
年约翰·贝努利
(Johann
Bernoulli
， 瑞，
1667
－
1748)
在莱布尼
兹函数概念的基础上对函数概念 进行了定义：“由任一变量和常数的任一
形式所构成的量。”他的意思是凡变量
x
和构 成的式子都叫做
x
的函数，
并强调函数要用公式来表示。
175 5
，欧拉
(L
．
Euler
，瑞士，
1707
－< br>1783)
把函数定义为
“
如果某些变量，
以某一种方式依赖于另一 些变量，
即当后面这些变量变化时，
前面这些变量也随
着变化，我们把前面的变量称为 后面变量的函数。
”
18
世纪中叶欧拉
(L
．
Euler
，瑞，1707
－
1783)
给出了定义：
“
一个变量的
函数 是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
”
他把约
翰
·< br>贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为为代数函数
和超越函数，还考虑了“
随意函数
”
。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰
·
贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
（四）
十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821
年，柯西(Cauchy
，法，
1789
－
1857)
从定义变量起给 出了定义：
“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他
变数的值可 随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函
数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量 一词，同时指出对函数来说不
一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，
这是一个很大的局限。
1822
年（
Fourier
，法 国，
1768
——
1830
）发现某些函数也已用曲线表
示，也可以 用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是
否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的 认识又推进了一个新层次。
函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如， 偏微分方
程在工程技术中有广泛应用，
但由于没有函数的科学定义，
就极大地限制了偏 微
分方程理论的建立．
1833
年至
1834
年，高斯开始把注意力 转向物理学．他在和
W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，
使得函数作为数学的一个独立分支而出
现了，实际 的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，
人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，
当后一量变
化时前一量也随着变化，
那么第一个量称 为第二个量的函数．
“这个定义虽然还
没有道出函数的本质，
但却把变化、
运 动注入到函数定义中去，
是可喜的进步．
”
在函数概念发展史上，
法国数学家富里埃的工作影响最大，
富里埃深刻地揭
示了函数的本质，主张函数不必局限于解 析表达式．
1822
年，他在名著《热的
解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一 组值或纵坐标，它们中的每一个都
是任意的……，
我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；
他们以任何方式一
个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的< br>“线”所给出的函数．
更确切地说就是，
任意一个以
2
π
为周 期函数，
在
〔－
π
，
π
〕区间内，可以由
表示出
.
其中，
富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思 想，在
当时的数学界引起了很大的震动．
原来，
在解析式和曲线之间并不存在不可逾越
的鸿沟，
级数把解析式和曲线沟通了，
那种视函数为解析式的观点终于成为揭示
函数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
年，
俄国数 学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：
“x
的函数是这样的一
个数，
它对于每个
x
都有确定的值，
并且随着
x
一起变化．
函数值可以由解析 式
给出，
也可以由一个条件给出，
这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．
函
数的这种依赖关系可以存在，
但仍然是未知的．
”这个定义建立了变量与函数之< br>间的对应关系，
是对函数概念的一个重大发展，
因为“对应”是函数概念的一种
本质属性与核心部分．
1837
年
(Dirichlet
，德，
1805
－
1859)
突破了这一局 限，认为怎样去
建立
x
与
y
之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念 ，指出：“对于在某
区间上的每一个确定的
x
值，
y
都有一个或多个 确定的值，那么
y
叫做
x
的
函数。”这个定义避免了函数定义中对依 赖关系的描述，以清晰的方式被
所有接受。这就是人们常说的经典函数定义。
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（函数）：
f
（
x
）
（
x
为有理数），
（
x
为无理数）．