小学奥数几何五大模型蝴蝶模型
别妄想泡我
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2021年01月26日 00:50
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本文由作者推荐
过年祝福的成语-
任意四边形、
梯形与相似模型
模型三
蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
（
“蝴蝶定理”
）
：
D
①
S
1
:S
2
S
4
: S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO :OC S
1
S
2
: S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问 题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的
面积关系与四边形内的 三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
例
1
】
（
小数报竞赛活动试题
）
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，被对角线
AC
、
BD
分成四个部
分，
△
AOB
面积为
1
平方千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米
，△
COD
的面积为
3
平方千米，公园由陆地面
积是
6
．
92
平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
分析】
根据蝴蝶定理求得
S
△
AOD
3 1 2 1.5
平方千米，公园四边形
ABCD
的面积是
1 2 3 1.5 7.5
平
方千米，所以人工湖的面积是
7.5 6.92 0.58
平方千米
巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG:GC
？
解析】
⑴根据蝴蝶定理，
S
VBGC
1 2 3
，那么
S
VBGC
6
；
⑵根据蝴蝶定理，
AG:GC 1 2 : 3 6 1:3
．
（
？？？
）
四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
（
如图所示
）
。如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的
面积的
，且
AO 2
，
DO 3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的
___________
倍。
1
3
解析】
在本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件 ，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件
S
VABD
: S
VBCD
1:3
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已
知条件 是面
积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四
边形” ，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。
再应用结论：三角< br>形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使
学生体会到蝴蝶定理的
优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵
AO :OC S
ABD
:S
BDC
1:3
，
∴
OC 2 3 6
，
∴
OC :OD 6:3
2:1
．
解法二：作
AH
BD
于
H
，
CG BD
于
G
．
∵
S
ABD
1
1
3
BCD
S
，
S
BCD
，
CG
，
3
S
，
S
AOD
S
DOC
3
CO
，
∴
AO
3
∴
AH
∴
1
，
1
∴
OC
2 3 6
，
∴
OC :OD 6:3
2:1
．
如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△
CEF
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4
、
4
和
6
。求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△
GCE
的面积
。
⑴根据题意可知，
△
BCD
的面积为
2 4 4 6 16
，那么
△
BCO
和
CDO
的面积都是
16 2 8
，
所以
△
OCF
解析】
的面积为
8 4 4
；
⑵由于
△
BCO
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所以
△
OCE
的面积为
8 6 2
，
根据蝴蝶定理，
EG:FG S
COE
: S
COF
2:4 1: 2
，所以
S
GCE
:S
GCF
EG:FG 1:2
，
例
4
】
图中的四边形土地的总面积是
1
那么
S
GCE
S
CEF
GCE
1 2
CEF
33
52
公顷，两条对角线把它分成了
4
个小三角形，其中
2
个小三角形的
面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
D
解析】
CED
，所以
VABE
，
VCDE
的面积比为
(AE EB) :(CE DE)
。同
理有
VADE
，
VBCE
的面积比为
(AE DE):(BE EC)
。所以有
SV
ABE
×
SV
CDE
= SV
ADE
×
SV
BCE
，也就是
说在所有凸四边形中，连接顶点得到
2
条对角线，有图形分成上、下、
左、右
4
个部分，有：上、
21
公顷，
SV
ADE
=
39
18
公顷。
67
部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即
SV
ABE
6= SV
ADE
7
，所以有
VABE
与
VADE
的面积
显然，最大的三角形的面积为
21
公顷。
7
6
7
6
比为
7:6
，
SV
ABE
=
39
例
5
】
( 2008
年清华附中入学测试题
为。
)
如图相邻两个格点间的距离是
1
，则图中阴影三角形的面积
巩固】
1
，求三角形
ABC
的面积。
解析】
因为
BD:CE 2:5
，且
BD
∥
CE
，所以
DA:AC 2:5
，
S
ABC
5
25
S
DBC
10
7
A
A
D
D
B
B
O
C
C
解析】
连接
AD
、
CD
、
BC
。
ABC
的面积
：
1
1
则可根据格点面积公式，可以得到
为
4
3
2
2
，
ACD
的面积为：
3
1 3.5
，
2
3
4
ABD
的面积为：
2 1 3
．
2
2
所以
BO:OD S
ABC
:S
ACD
2:3.5
4:7
，所以
S
ABO
4
47
S
ABD
3
．
11 11
4
12
2
例
6
】
（
2007
年人大附中考题
）
如图，边长为
1
的正方形
ABCD
中，
BE 2EC
，
CF FD
，求三角形
AEG
的面积．
A
D
解析】
连
接
EF
．
解析】
例
8
】
解析】
因为
BE 2EC
，
CF FD
，所以
S
DEF
) S
WABCD
S
2
W
1
12
W
WABCD
．
因为
S
AED
S
WABCD
，
根据蝴蝶定理，
AG :GF
6:1
，
2
W
12
所以
S
6
AGD
6S
GDF
S
S
ADF
ADF
S
WABCD
S
7
7
4
W
14
W
WA
BCD
．
S
所以
S
WABCD
7
W
S
AGE
S
AED
S
AGD
WABCD
14
W
S
WABCD
2
，
2
W
7
即三角形
AEG
的面积是
2
7
如图，长方形
ABCD
中，
BE:EC 2:3
，
DF:FC 1: 2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方厘米，
求长
方形
ABCD
的面积．
F
连接
AE
，
FE
．
因为
BE: EC 2:3
，
DF
:FC
1:2
，
所以
S
1 1 1
VDEF
(
5
3
3 2
)S
长方形
ABCD
10
S
长方形
ABCD
．
1
1
因为
S
AG :GF :
5:1
，
VA ED
S
长方形
ABCD
，
12
平
2
2 10
所以
S
VAGD
5S
VGDF
10
平方厘米，所以
S
VAFD
1
方厘米．因为
S
VAFD
6
S
长方形
ABCD
，所以长方形
ABCD
的面积是
72
平方厘米．
如图，已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，
E
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
为
BF
中点，求三角
形
BDG
的面积．
设
BD
与
CE
的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
由蝴蝶定理可知
EO:OC S
VBED
: S
VBCD
，而
S
VBED
S
WABCD
4
WABCD
，
S
VBCD
S
WABCD
，
2
WABCD
1
:2
，故
EO EC
．
3
EC
，故
EO: EF
由于
F
为
CE
中点，所以
EF
2
所以
EO :OC
S
VBED
: S
VBCD
1
1
1
2:3
，
FO:EO
1:2
．
S
VBFD
S
VBED
2
VBED
S
WABCD
，
8
WABCD
FO :EO 1: 2
，所以
由蝴蝶定理可知
S
VBFD
: S
VBED
那么
S
VBGD
S
VBFD
S
WABCD
1
2 16 16
10 10 6.25
(
平方厘米）．
例
9
】如图，在
ABC
中，已知
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
AOM
、
ABO
和
BON
的面积分别是
3
、
2
、
1
，则
MNC
的面积是
．
C
解析】
这
道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
SS
根据蝴蝶定理得
S
MON
AOM
BON
S
S
S
AOB
3 1 3
22
设
MON
S
x
，根据共边定理我们可以得
3
3
32
1
S
ANM
S
MNC
S
ABM
S
MBC
2
x
3
，解得
x 22.5
．
2
x
例
10
】
（
2009
年迎春杯初赛六年级
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是
2009
平方厘米，
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
）
正六边形
B
6
B
2
B
5
B
3
解析】
如图，设
B
6
A
2
与
B
1
A
3
的交点为
O
，则图中空白部分由
6
个与
A
2
OA
3
一样大小的三角形组成，
只要求
出了
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．
连接
6
3
、
6
1
、
6
3
．
A
A
B
B
B
A
设
A
1
B
1
B
6
的面积为”
1
“，则
B
1
A
2
B
6
面积为”
1
“，
A
1
A
2
B
6
面积为”
2
“，那么
A
6
A
3
B
6
面积为
A
1
A
2
B
6
的
2
倍，为”
4
“，梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
的面积为
2 2 4 2 12
，
A
2
B
6
A
3
的面积为”
6
“，
B
1
A
2
A
3
的
面积为
2
．
根据蝴蝶定理，
B
1
O A
3
O S
B
1
A
2
B
6
: S
A
3
A
2
B
6
1:6
，故
S
A
OA3
2
1
6
6
，
S
B
A
A
1
2
3
12
7
1
1
所以
S
A
OA
:S
梯形< br>A
A
A
A
2
3
1
2
3
6
1
1
12
:12:1: 7
，即
A
2
OA
3
的面积
为梯形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
面积的
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
14
3
A
1
A
2
A
3
A
6
面
积的
，
故为六
边形
7
13
6
，所以阴影部分面积为
14 7
1
3
2009 1 1148
（
平方厘米
）
．
7
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
（
“梯形蝴蝶定理”
）
：
b
22
①
S
1
:S
3
a
2
:b
2
②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
2
③
S
的对应份数为
a b
2
．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通 过构造模型，直接应用结
论，
往往在题目中有事半功倍的效果．
（
具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
）
解析】
设
S
1
为
a
2
份，
S
3
为
b
2
份，根据梯形蝴蝶定理，
S
3
4 b
2
，所以
b 2
；又因为
S
2
2 a b
，所以
2
a
1
；那么
S
1
a
2
1
，
S
4
a b 2
，所以梯形面积
S
S
1
S
2
S
3
S
4
1 2 4 2 9
，或者根
2
2
22
据梯形蝴蝶定理，
S a b
1 2
9
．
巩固】
（
2006
年南京智力数学冬令营
）
如下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
，
BD
交于
O
，
已
知
△
AOB
与
△
BOC
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
__________
平方厘米．
解析】根据梯形蝴蝶定理，
S
VAOB
:S
VBOC
a
2
:ab 25:35
，可得
a:b 5:7
，再根据梯形蝴蝶定理，
S
V AOB
: S
VDOC
a
2
:b
2
5
2
:7
2
25: 49
，所以
S
V
DOC
49
（
平方厘米
）
．那么
梯形
ABCD
的面积为
25 35 35 49 144
（
平方厘米
）
．
例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为
2
，且三角形
ABO
的面积等于三角形
2
2
BOC
面积的
，求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
3
D
解析】
根据梯形蝴蝶定理，
S
VAOB
: S
VBOC
ab:b
2
2:3
，可以求出
a:b 2:3
，
2 2 2 2
再根据梯形蝴蝶定理，
S
VAOD
: S
VBOC
a :b 2 :3 4:9
．
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了
这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛万苦进行构造假设，所以，请同
学们一定要牢记几何模型的结论．
例
13
】
（
三角形
第十届华杯赛
）
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
三角形
ABD
CBD
的面积
的面积
3
BD
交于
O
点，已知
AO 1
5
，那么
OC
的长是多少？
C
解析】
根据蝴蝶定理，
三角形
ABD
的面
AO
，所以
AO
3
5
，又
AO 1
，所以
CO
5
3
积
三角形
CBD
的
CO CO
例
14
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，
三角形
OBC
的面积是
9cm
2
，问三角形
AOD
的面积是多少？
解析】
根据梯形蝴蝶定理，
a:b 1:1.5
所
2:3
，
S
AOD
:S
BOC
a :b 2 :3 4:9
2 2 2 2
，
以
S
AOD
4 cm
2
．
巩固】
如图，梯形
ABCD
中，
AOB
、
COD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD
的面积．
C
解
: S
VACOD
a :b
2
2
2
4:9
，所以
a:b 2:3
，
析】
S
2
1.2 1.8
VAOD
: S
VAOB
ab:a b:a 3: 2
，
V V
，
3 S
VAOD
S
VCOB
2
S
梯形
ABCD
1.2 1.8 1.8 2.7 7.5
．
并且