小学数学几何五大模型教师版
余年寄山水
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2021年01月26日 00:58
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幽径悲剧-
几何五大模型
一、五大模型简介
（
1
）等积变换模型
1
、等底等高的两个三角形面积相等；
2
、两个 三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，
S
1
：
S
2=a:b
；
3
、
两个三角形底相等 ，
面积在之比等于高之比，
如图②所示，
S
1
：
S
2
=a:b
；
4
、在一组平行线之间的 等积变形，如图③所示，
S
△ACD
=S
△BCD
；反之，如果S
△ACD
=S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于CD
。
例、如图，三角形
ABC
的面积 是
24
，
D
、
E
、
F
分别是
BC
、
AC
、
AD
的中点，求三
角形
DEF
的 面积。
（
2
）鸟头（共角）定理模型
1
、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
2
、共角三角形的面积之比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之
比。
如图下图三角形
ABC
中，
D
、
E
分别是
AB
、
AC上或
AB
、
AC
延长线上的点
则有：
S
△ABC
：
S
△ADE
=（AB×AC）：（AD×AE）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接
BE
，根据等积变化模型知，
S
△ADE
：
S
△ABE=AD
：
AB
、
S
△ABE
：
S
△C BE
=AE
：
CE
，
所以
S
△ABE
：< br>S
△ABC
=S
△ABE
：（
S
△ABE
+ S
△CBE
）
=AE
：
AC
，因此
S
△A DE
：
S
△ABC
=
（
S
△ADE
：S
△ABE
）
×（
S
△ABE
：
S
△
ABC
）
=
（
AD
：
AB
）×（
AE
：
AC
）。
例、
如图在
Δ
ABC< br>中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，
且
AB
：
AD=5:2
，
AE
：
E C=3:2
，
△ADE
的面积为
12
平方厘米，求
Δ
ABC
的面积。
（
3
）蝴蝶模型
1
、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
例、
如图 ，
梯形
ABCD
，
AB
与
CD
平行，
对角 线
AC
、
BD
交于点
O
，
已知△AOB、
△BOC
的面积分别为
25
平方厘米、
35
平方厘米，求梯形
ABCD
的面积。
2
、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
例、如图，四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
交 于点
O
，如果三角形
ABD
的面积等于
三角形
BCD
面积的
1/3
，且
AO=2
、
DO=3
，求
CO
的长度是
DO
长度的几倍。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，
通过构
造模型，一方 面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另
一方面，也可以得到与面积对应的对角 线的比例关系。
（
4
）相似模型
1
、相似三角形：形状相同
,
大小不相等的两个三角形相似；
2
、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其 他两
边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3
、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段
(
对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中 都含
有
BC
平行
DE
这样的一对平行线！
例、如图，已知在平行四边形
ABCD
中，
AB=16
、
AD=10
、
BE=4
，那么
FC
的长度是
多少？
（
5
）燕尾模型
叫做燕尾模型
,
看一下它都有哪些性质：
S
△ABG：
S
△ACG
=S
△BGE
：
S
△CGE=BE
：
CE
S
△BGA
：
S
△B GC
=S
△GAF
：
S
△GCF
=AF
：
CF
S
△AGC
：
S
△BGC
=S
△A GD
：
S
△BGD
=AD
：
BD
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，
所以在数学上把这样的几何图形
例 、如图，
E
、
D
分别在
AC
、
BC
上，且
AE
：
EC=2:3
，
BD
：
DC=1:2
，
AD
与
BE
交于
点
F
，四边形
DFE C
的面积等于
22
平方厘米，求三角形
ABC
的面积。
二、五大模型经典例题详解
（
1
）等积变换模型
例
1
、图中的
E< br>、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条边的三等分点， 如果正方形的边
长是
12
，那么阴影部分的面积是多少？