钟面上的行程问题
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2021年01月26日 01:32
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钟面上的行程问题
钟面行程问题是研究钟面上的时针和 分针关系的问题，
常见的有两种：⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括
重合、成一条直线 、成直角或成一定角度；⑵研究有关时间
误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是
分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因 此常见的钟面
问题往往转化为追及问题来解．
时钟问题
—
钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成
60
小格，每小格我们称为
1
分
格。分针每小时走
60
分格，即一周；而时针只走
5
分格，
故分针每 分钟走
1
分格，时针每分钟走
1
／
12
分格。
②度数方法：
从角度观点看，
钟面圆周一周是
360
°< br>，
分针每分钟转
360/60
度，即
6
°
，时针每分 钟转
360/12*60
度，即
0.5
度。
基础练习题：
1.
现在是下午
3
点，从现在起时针和分针什么时候第一次
重合？
2.
分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和
时针一昼夜重合几次？
3.
钟面上
5
点零
8
分时，时针与分针的夹角是多少度？
4.
在
4
点与
5
点之间，时针与分针什么时候成直角？
5.
9
点过多少分时，
时针和分针离
“
9
”的距离相等，
并且在
“
9
”
的两边？
参考答案详解：
1.
现在是下午
3
点，从现在起时针和分针什么时候第一次
重合？
解析：分针：
1
格
/
分
时针：
(1/12)
格
/
分
3
点整， 时针在分针前面
15
格，所以第一次重合时，分针应
该比时针多走
15
格，
用追及问题的处理方法解：
15
格
/(1-1/12)格
/
分
=16+4/11
分钟
所以下午
3< br>点
16
又
4/11
分时，时针和分针第一次重合
PS:
这类题目也可以用度数方法解
2.
分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和
时针一昼夜重合几次？
解析：分针：
6
度
/
分
时针
0.5
度
/
分
当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转
360
度。
所以 两针再次重合需要的时间为：
360/(6-0.5)=720/11
分，
一昼夜有：
24*60=1440
分
所以两针在一昼夜重合的次数：
1440
分
/(720/11)
分
/
次
=22
次
3.
钟面上
5
点零
8
分时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：分针：
6
度
/
分
时针
0.5
度
/
分
5
点零
8< br>分，时针成角：
5*30+8*0.5=154
度
分针成角：
8*6=48
度
所以夹角是
154-48=106
度
4.
在
4
点与
5
点之间，时针与分针什么时候成直角？
解析：整
4
点时，分针指向
12
，时针指向
4
。此时，时 针领
先分针
20
格。时，分两针成直角，
必须使
时针领先分针
15
格，或分针领先时针
15
格。因此，
在相同时间 内，分针将比
时针多走
(20-15)
格或
(20+15)
格。
(20-15)/(1- 1/12)=60/11,
即
4
点
5
又
5/11
分
(20+15)/(1-1/12)=38
又
2/11
分
,
即
4
点
38
又
2/11
分
5.
9
点过多少分时，
时针和分针离
“
9
”的距离相等，
并且在
“
9
”
的两边？
解析：设经过
X
分，
0.5*X=270-6*X ,
解得
X=540/13
分
所以答案是
9
点过
41
又
7/13
分。
二：时钟问题一般指研究钟表表面时针和分针关系的问题。
常见的时钟问题为：求某 一时刻时针与分针的夹角，包括两
针重合，两针垂直，两针成直线等特殊类型。
钟面基本常识：
⑴钟面的一周按
“
小时
”分为
12
大格，
对应有
1
到
12
这
十二
个数字，时针每小时走
1
大格，分针每小时走
12
大格 。所
以时针的速度是分针的
1
／
12
。
⑵钟面一圈按
“
分
”
分为
60
小格，分针每分钟走
1
小格，每小
时走
60
小格；时针每小时走
5
小格，每分 钟走（
5
÷
60=
）
1
／
12
小格。
⑶钟表上分针、时针、秒针的转速各不相同，但各自的转速
是固定的：
分针每小时转动
360
度；
分针每分钟转动：
360
度
÷
60=6
度（一小格）。
时针每小 时转动：
360
度
÷
12=30
度（一大格）；
时针每分钟转动：
30
度
÷
60=0.5
度。
【题目】：
钟表的分针每小时走一圈，而时针才从 一个数字移动到另一
个数字，如果从中午
12
点开始，在
12
个小时 里分针和时针
重叠几次？
【解析】：
解法一：
观察钟面，寻找规律：分针依次在
1
点多、< br>2
点多、
3
点
多
……
11
点多时，分别和时 针重叠
1
次，
12
个小时里共重
叠
11
次。