用数学建模方法解决哥尼斯堡七桥问题
绝世美人儿
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2021年01月26日 02:34
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木兰诗教案-
用数学建模方法解决哥尼斯堡七桥问题
篇一：哥尼斯堡七桥问题教学实录
“哥尼斯堡七桥问题”教学实录
一、
创设情境，激趣引思
1.
故事引入
< br>师：这节课，我们先来听一个数学小故事吧。（播放，如图
1
，教师相机板书课题）
师：这个问题困扰了当地居民很长时
[
司，大家纷纷来到小岛
上试图找 到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七
座桥的所有走法共有
5040
种 ，这么多怎么走得完呢
?
后来有人写
信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲 自来到小岛上
实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过
—年的研究，终于 解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为
一笔画问题，才顺利找到答案的。
(
教师板书：一笔画
)
2
．释疑。
师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？
(
教师请一个学生上台画图说明
)
师：（利用动态演示）像长方形、正方形 、三角形等都能够
一笔画出。（并结合长方形介绍：两条线相交的点，叫做交点。
第
1
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如图
2
）
交点师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。
我
们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。
二、自主探究，合作交流
交点
(
—
)
探究活动一。
1
．探究。
图
2
师：下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看
活动要求。
(
课件出示记录单和活动要求
)
活动要求：
（
1
）
)
试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，
并在相应的口里打 “√”。
（
2
）对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。
(
学生探究，教师巡视指导
)
2
．交流。
师：很多小组都已经有答案了，谁来汇报一下你们探究的结
果？
生
1
：
1
号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。
师：谁听懂了他的意思？
生
2
：他是说
1
号图中的三个“口”没有连通起来。
师：是啊，像
1
号图这样，各个部分没有连通起来，就不可
能一笔画出。这说明要 能够一笔画出，它各个部分之间必须是连
通的。
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画出。
(
板书：必须是连通图
)
接下来，谁继续汇报
?
生
3
：
2
号图是可以一笔画出的。
师：是吗？你能到黑板上画一下吗
?(
学生上台画图，
教师提示他在起点处标上字母“A”
，如图
3)
图
3
师：很好！他刚才是从
A
点出发，一笔画出了这个平行四边
形。那么，只能从
A
点出发吗？
生
4
：从其他交点出发也可以。
(
大家纷纷赞同
)
师：你们都实验过吗？的确，这个平行四边形无论从哪个交
点出发，都可以一笔画出来。那么
3
号图可以一笔画出来吗
?
生
5
：可以的。
(
教师请生
5
上台画图 ，教师给生
5
画的图各交点标上字母，
如图
4)
师：真厉害，他的确是一笔画出的。我发现他是从
E
点出发
画的。
那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗？
B
生
6
：我还可以从
F
点出发，也可以一笔画出。
F
师：还有其他画法吗
?
生
7
：我还可以从
A
点出发。
(
教师请生
7
上台画，生
7
尝试
了多种路径，均未成功
)
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师 ：
(
摸着生
7
的头
)
我很佩服他，虽然他最后没有成功，但
是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从
A
点出发不可以，还有
哪些点也会出 现这样的状况呢
?
生
8
：我认为，从
B
、
C、
D
点出发也是不能一笔画成的，因为
它们和
A
点所处的位置是 相似的。
师：很好，你真是善于观察！那你们有没有想过，虽然
2
号
图和
3
号图都能一笔画成，但是
2
号图可以从任意一点出发，而
3
号图只能从
E
点和
F
点出发
才可以一笔画出，这里面有没有什么奥秘呢
?
（学生陷入沉思。片刻之后，渐渐地有几只小手举起来）
生
9
：因为那个”日”字形状的图形里面多了一横。
师：
(
装糊涂
)
什么意思？你能具体解释一下吗
?
生
9
：就是说本来画那个“日”字周围边框的时候，是可以一
笔成功的：但是中间多 了那个一横，就必须从这一横出发才可以
成功。
师：你很有数学家的潜质！你的发现 对我们接下来的研究意
义重大。大数学家欧拉就是这样发现规律的，连通图能否一笔画
出。与图 中各个交点的连线条数有关。
(
二
)
探究活动二：
1
．介绍。
师：（ 出示课件，如图
5
）像下面的
A
点和
B
点，连线条数是1
、
3
、
5
、
7
等奇数的点，叫作奇点；像下 面的
C
点和
D
点，连线
条数是
2
、
4、
6
、
8
等偶数的点，叫作偶点。
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D
奇点偶点
2
．研究。
师：大家回过头来观察
2
号、
3
号图形，看看各点的情况。
生：
2
号图形全部是偶点：
师：欧拉发现，像三号图中全是偶点， 不仅可以一笔画，而
且沿着任意一点都可以画出。这里的“任意”是什么意思
?
生：就是随便从哪个点出发都可以。
师：是的，例如我们很多人都会画的五角星图案
(
课件出示
图
6)
，它的各交点也都是偶点，所以也可以从任意一点出
发一笔画出：你们不妨试一试。
（学生尝试
）
师：那
3
号图形呢
?
生：它有两个交点的连线条数是
3
，其余各交点都是偶点。
师：< br>3
号图形中只有两个奇点，其他都是偶点，欧拉发现这样
的图形虽然能够一笔画出，但是 ——
生：必须，从奇点出发。
师：你和欧拉真是心有灵犀！的确必须从奇点出发。
那么大家看，这个图形能不能一笔画出呢？（课件出示图
7
）
生：它也可以一笔画出，但是必须从那两个奇点出发才行。
师：你们都能学以致用了，真好
!
（三）思维训练，学以致用。
师：下面我们来轻松一下，玩一次智慧大闯关好不好？
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1
．夺宝小奇兵：
藏宝庄园里有
10
个百宝箱（如图8)
，每次可以打开宝盒取宝
1
个。但是不能走重复路线，否则就会触动机关取宝 失败。现在蚂
蚁宝宝和贝贝站在不同的起点准备出发了，你认为谁能全部取宝
成功
?< br>为什么
?
2
、小师。
（如图
9)
小朋友 ，妙妙游乐园即将开放了。要让游客一次不
重复地沿着路线走，游完每一个游乐项目，游乐场的出口和入 口
应该设在
A
、
B
、
C
哪两个点上
?
3
．生活中的应用。
以游乐园出口和入口的设置以及快递叔叔送快件的例子 ，说
明一笔画能够解决生活中的实际问题。
（四）探究活动三。
师：那么，是不是所有的连通图都能一笔画呢？我们继续探
究。请大家看这幅图
(
课件 出示图
10)
，数一数，标出它的奇点和
偶点，并判断它能否一笔画出。
生：我试了好多次，它不能一笔画出。
师：其他同学有没有不同的看法？
生：我也试了很多次，不能一笔画出。我猜想可能和
它的奇点多了有关系。
师：你很善于推理，欧拉花了一年多时间发现的秘密，你们
居然
图
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10
很快能领悟。欧拉发现，连通图中，如果奇点超过了
2
个，
它 就不能一笔画出了。
三、文化渗透，深刻理解
师：现在我们回到之前的“哥尼斯堡七桥问题”
，它跟一笔画知识有什么关
系呢
?
让我们来了解一下。
(
教师利用课件动态演示由“七桥
图”变成“抽象图”的过程，如图
11)
师：欧拉认为：能否一次不重复地走过这七座桥，与桥的长
短、岛的大小无关，所以岛和岸都可以看作一 个点，而桥可以看
作连接这些点的线。所以他将七桥问题抽象成这样的一笔画图
形。现在你能用 今天学到的知识来解释为什么不能不重复地一次
走遍这七座桥吗？
生：因为把它变成 这样的图形后，这个连通图中有
4
个奇
点，就不可能一笔画出了。
师：是啊，就在“山重水复疑无路”的时候，欧拉是怎样实
现“柳暗花明又一村”的？
生：他将复杂的问题简单化了。
师：的确，欧拉是将这个问题转化成了一笔画问题。
（板书：转化）转化是我们学习数学的一个好方法。
（利用课件介绍欧拉生平，如图
12
）
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师：想想看，欧拉能够发现这一重要规律，是因为他很幸运
吗？还是有别的原因？
生：我认为他很执着，坚持不懈，并用科学的方法找到结
果。
师：是啊，这里面有他对真理的执着追求，更有化难为易的
“转化”思想。
师：今天我们只是初步了解了一笔画知识，
以后我们升人七年级还将继续深
篇二：关于哥尼斯堡七桥问题的综述
关于哥尼斯堡七桥问题的综述
学生姓名：赵锋
学生学号：
090741132
联系方式：
摘要：随着科学技术的不断发展，图论的理论和方法已经渗
透到 物理、化学、通讯科学、运筹学、遗传学、管理学、经济
学、社会学等各门学科中，而且延伸出了超图理 论、代数图论、
随机图论、网络图论等分支，大大丰富了图论学科内容，促进了
图论研究和应用 。由于计算机科学技术的飞速发展和网络技术的
广泛应用，图论作为计算机网络科学研究的基本工具和理 论基
础，会越来越受到人们的重视，不断推动图论学科继续向前蓬勃
发展。本文通过阅读大量文 献，总结出了图论的来源、应用及其
未来的发展趋势。
关键词：哥尼斯堡七桥、图论、一笔画
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关于哥尼斯堡七桥问题的综述
引言
经典问题往往以深入浅出的形式表达学科深奥的科学规律和
本质内容， 在学科研究中常常用来辅助说明思想、原理、方法和
技术。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（
Le onhard Euler
，
1707
—
1783
）于
17 36
年发表了论文《与位置几何有关的一个问题的
解》，文中提出并解决了七桥问题，为图论的 形成奠定了基础。
今天，图论已广泛应用在计算机学科、运筹学、控制论、信息论
等学科中，成 为对现实世界进行抽象的一个强有力的数学工具。
一、哥尼斯堡七桥问题的由来
< br>哥尼斯堡就是现在的俄罗斯的加里宁格勒。哥尼斯堡在第二
次世界大战前属于德国，是东普鲁士的 首府，在历史上，哥尼斯
堡的归属曾发生过几次变化。二战结束后，根据雅尔塔和波斯坦
协议， 东普鲁士部分领土划归苏联，是苏联作为战胜国享受的战
利品。苏联把哥尼斯堡更名为加里宁格勒，斯大 林没有把加里宁
格勒划入刚刚并如苏联的立陶宛，而是划入俄罗斯联邦。加里宁
格勒风景秀丽， 气候宜人这里有着丰富的自然资源，是重要的军
事基地，也是重要的海运港口。
1991
年苏联解体，波罗的海周边
三国的立陶宛，拉脱维亚和爱沙尼亚独立，加里宁格勒就变成了
俄 罗斯的一块飞地。
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普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城。普莱格尔河有两个支
流，在城市中心 汇成大河，中间是岛区，人们在河上建起了七座
桥，使这里成为风景优美的人间仙境，如图
1
所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有知名的教堂，有大哲学
家康德的 墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常到
河岸和上桥散步。在十八世纪初，有一天，有人突 发奇想：如何
才能走过七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的
出发点？当地的人 们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知
走了多少次，然而却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡 七桥
问题的由来。
二、相应理论的开创——图论
通过数学建模， 已经把实际问题转化成了数学问题。这时欧
拉注意到，如果一个图形能一笔画成那么除去起点和终点外， 其
他的点都是经过点。而经过点是有进有出的点，即有一条线进这
个点，就一定有一条线出这个 点，不可能有进无出，如果有进无
出，它就是终点；也不可能有出无进，如果有出无进它就是起
点。因此，在经过点进出的线总数应该是偶数。
我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶 点；总数为奇
数的点称为奇点。如果起点和终点是同一个点，那么它也属于有
进有出的点，它也 是偶点这样图上的点全是偶点。如果起点和终
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点不是同一个点，那么它们必定是奇点。因此，能够一笔画的图
形最多只有两个奇点年
欧拉证明了自己的猜想，一次不重复。
1936
年，欧拉证明了自己的猜想 ，一次不重复走完七座桥是
根本不可能的。随即他发表了“一笔画定理”：
一个图形要能一笔画完，必须符合以下两个条件：
（
1
）图形是封闭连通的；
（
2
）图形中的奇点个数为
0
或
1
；
< br>七桥问题中的四个点全是奇点（如图
2
），当然不能一笔画，
即不可能一次无重 复地走完七座桥。一般地说如果图中的点全是
偶点，那么可以任意选择一个点作为起点，当然终点与起点 重合
能一笔画成，如果图中有两个奇点，那么可以任意选一个奇点作
为起点，另一个奇点为终点 可以一笔画成。
欧拉的这个研究成果，开创了图论这门新的学科，这门学科
在计算机 科学中有着广泛的应用。
三、图论的应用
1
、一个部门中有25
人，由于纠纷而使得关系十分紧张，是
否可便每个人与
5
个人相处融 洽？这看起来是社会学领域的间
题，我们可以尝试多种方法，而其中的一种方法就是将其化为
图 。建立一个图的模型，最基本的问题是如何描述它—什么是结
点，什么是边？在本问题中，没有太多的选 择，只有人和纠纷。
我们可试着用结点来代表人。用边来代表图中结点之间的关系，
这是很常见 的。在这里结点之间的关系是“关系是否融洽”，因
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