20181213小学奥数练习卷(知识点：孙子定理[中国剩余定理])含答案解析
巡山小妖精
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2021年01月26日 06:12
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关于读书的议论文-
小学奥数练习卷
（知识点：
孙子定理
[
中国剩余定理
]）
题号
得分
注意事项：
一
二
三
总分
1
．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一．选择题（共
4
小题）
1
．有一个整数，除以
3
余数是
2
，除以
5
余数是
3
，除以
7< br>余数是
4
，这个数可
能是（
）
A
．
67
B
．
73
C
．
158
D
．
22
2．给出一列数：
23
+
m
，
23
+
2m
，
23
+
3m
，
…
，
23
+
2 015m
，这
2015
个数的和除以
14
的余数是（
）
（其中
m
为正整数）
A
．
9
B
．
7
C
．
5
D
．
3
3
． 设
ɑ
是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用
ɑ
除
64
的余数是
4
；用
ɑ
除
155
的余数是
5
； 用
ɑ
除
187
的余数是
7
，则
ɑ=
（
）
A
．
10
B
．
15
C
．
30
D
．
60
4
．设
m
是一个满足下列条件 的最大正整数；用
m
除
64
的余数是
4
；用
m除
55
的余数是
5
；用
m
除
187
的 余数是
7
；则
m=
（
）
A
．
10
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
B
．
15
C
．
30
D
．
60
二．填空题（共
43
小题）
5
．被
4
除余
1
，被
5
除余
2< br>，被
6
除余
3
的最小自然数是
．
6
．如果两个不同自然数的积被
5
除余
1
，那么我们称这两个自然数互为
“
模
5
的
倒数
”
．比如，
3
×
7=21
，被
5
除余
1
，则
3
和
7
互为
“
模
5
的倒数
”
．即
3
与
7
都是有
“
模
5
的倒数
”
的数．那么
8
，
9
，
10< br>，
11
，
12
中有
“
模
5
的倒数< br>”
的数
为
，最小的
“
模
5
的倒数
”
分别为
．
7
．
997
×
999
×
1001
×
1003
除以
13
的余数是
．
8
． 一个自然数被
3
除余
2
，被
5
除余
4
，并 且这个数大于
100
且小于
125
，那么
这个数是
．
9
．
m
，
n
，
p
是三个不同的正整数，
它们除以
13
的余数 分别是
3
，
6
，
11
那么
（
m
+
n
﹣
p
）
（
2m
﹣
n
+
p
）除以
13
的余数是
．
10
．在
1
到
100
这
10 0
个数中，被
2
，
3
，
5
除都有非零的余数，且余 数彼此不等
的数有
个．
11
．在小于
2016
的正整数中，被
63
除后，商和余数相同 的数有
个．
12
． 某数加上
31
的和被
9
除的余数是
2
，原来这个数被
9
除的余数是
．
13
．一个数除以
5
余
2
，除以
6
余
2< br>，除以
7
余
3
，求能满足这三个条件的最小
自然数是
．
14
．满足被
7< br>除余
3
，被
9
除余
4
，并且小于
100的自然数有
．
15．若
A
、
B
、
C
三种文具分别有
38
个，
78
和
128
个，将每种文具都平均分给学
生，分完后剩下2
个
A
，
6
个
B
，
20
个< br>C
，则学生最多有
人．
16
．有一筐苹果，甲班分，每人
3
个还剩
11
个；乙班分 ，每人
4
个还剩
10
个；
丙班分，每人
5
个还剩< br>12
个．那么这筐苹果至少有
个．
17
．幼儿园的老师给班里的小朋友送来
55
个苹果 ，
114
块饼干，
83
块巧克力，
同样都平均分发完毕后，还剩3
个苹果，
10
块饼干，
5
块巧克力．这个班最
多有< br>
位小朋友．
18
．被
3
除余
2
，被
5
除余
4
，被
7< br>除余
4
的最小自然数是
．
19
．所有三位数中被
7
除余
1
的所有数的和是
．
20
．
一个自然数 除以
3
余
2
，
除以
5
余
4
，除以
7
余
6
，
这个自然数最小是
．
21
．
一个两位数，
用它除58
余
2
，
除
73
余
3
，
除
85
余
1
，
这个两位数是
．
22
．若有
8
分和
15
分 的邮票可以无限制地取用，但某些邮资如：
7
分、
29
分等
不能刚好 凑成，
那么只用
8
分和
15
分的邮票不能凑成的最大邮资是
．
23
．一个自然数除以8
得到的商加上这个数除以
9
的余数，其和是
13
．求所有满足条件的自然数．
24
．
有一个数除以
3
余
2
，
除以
5
余
3
，
除以
7
余< br>4
，
除以
9
余
5
．
这个数至少是
．
25
．
有一个数除 以
5
余数是
2
，
除以
7
余数是
3
，
这个数除以
35
的余数是
．
26
．某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人 ；若按五
人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数
是
．
27
．一个自然数除以3
余
2
，除以
5
余
2
，除以
7
余
5
，除以
9
与
5
，除以
11
余
4
，则满足这些条件的最小自然数是
．
28
．
有一个数除以
5
余数是
3，
除以
7
余数是
2
，
这个数除以
35
的余数是
．
29
． 五（
1
）班学生人数不足
50
人，排队时，每排
3
人，结果 多
1
人；每排
4
人，结果多
3
人；每排
7
人，结果多
1
人．五（
1
）班共有
人．
30
．厨房买来一些鸡蛋，总数不到
100
个，
3
个
3
个地数余
2
个，
4
个
4
个地数
余
3
个，
5
个
5
个地数余4
个．这些鸡蛋一共有
个．
31
．有一个整数，用它去除
70
、
110
、
160
得到的三个余数之和是
50
．这个整数
是
．
32
．
一个数，< br>它除以
11
余
8
，
除以
13
余
10
，
被
3
除余
1
，
这个数最小是
．
33
．一个数在
1500﹣
2000
之间，除以
5
余
3
，除以
8
余
1
，除以
9
余
5
，这个数
是
．
34
．
有一个自然数
被
3
除余
2
，
被
4
除余
3
，
被
5
除余
4< br>，
这个自然数最小
．
35
．一个四位数被
7
除余
2
，被
13
除 余
10
，被
17
除余
6
，符合要求的最大四位
数是
．
36
．有一个自 然数，除以
3
余数是
1
，除以
5
余数是
2
，除以
7
余数是
3
，这个
数最小是
．
37
．已知自然数
p
除以
16
和
19
都有余数，并且
p
除以
16
所得的商 与余数的和
等于
p
除以
19
所得到的商与余数的和，若
30 0
≤
p
≤
700
，则满足条件的
p
共
有< br>
个．
38
．用一个数 除
200
余
4
，除
235
则不足
3
．这个 数最大是
．
39
．
一个自然数能被
11
整除，
除以
13
余
12
；
除以
15
余
13
；
这个数最小为
．
40
．五年级的学生排队做操，如果< br>10
人一行则余
2
人，如果
12
人一行则余
4
人，如果
16
人一行则余
8
人，那么五年级最少有
人．
41
．
一个小于
2 00
的自然数，
被
7
除余
2
，
被
8
除余
3
，
被
9
除余
1
，
这个数是
．
42
．某校学生不到< br>2000
人，如果每
7
人分一组则多
2
人，如果每
8
人分一组则
少
4
人，如果每
9
人分一组则多
1人，该校学生最多有
人．
43
．一个数除
300
余
11
，除
500
余7
，除
800
余
1
，这个数是
．
44
．数
119
具有以下性质： 当它被
2
除余
1
；被
3
除余
2
；被
4
除余
3
；被
5
除
余
4
；被
6
除余
5
；那么，具有这样性质的三位数（包括数
119
在内）共有< br>
个．
45
．一堆零件 有
100
多个，如果
4
个
4
个包装多
2
个 ；
7
个
7
个包装则多
3
个；
9
个
9
个包装则多
5
个．这堆零件准确数是
个．
46
．一个数被
2
，
3
，
7
除结果都余
1
，这个数最小是
．
47
．六位数
评卷人
得
分
能被
11
整除，
x< br>是
0
到
9
中的数，这样的六位数是
．
三．解答题（共
3
小题）
48
．一个四位数，
它被
146
除余
69
，被
145
除余
84
，求它被
57
除余数是多少？
4 9
．一个三位数被
3
除余
1
，被
5
除余
3
，被
7
除余
5
，这个数最大是多少？
50
．有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是
A
，且算式中
的商和 余数相同，已知满足条件的算式至少有五个，
A
可以是
，请写
出一组符合要求的算式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共
4
小题）
1
．有一个整数，除以
3
余数是
2
，除以
5
余数是
3
，除以
7< br>余数是
4
，这个数可
能是（
）
A
．
67
B
．
73
C
．
158
D
．
22
【分析 】
先求出
3
、
5
、
7
两两的最小公倍数，即
15
、
21
、
35
，再分别除以
7
、
5
、
3
，根据余数调整成符合要求的数，再求和即可．
【解答】解：
[
3
，
5
]
=15
，
[
3
，
7
]
=21
，
[
5
，
7]
=35
15
÷
7=2…1
因为除以7
余数是
4
，所以余数要扩大
4
倍，才满足条件，
所以，
15
×
4=60
同理，
21
÷
5=4…1
21
×
3=63
35
÷
3=11…2
[
3
，
5
，
7
]
=105
所以这个数可能是：
60
+
63
+
35=158
，或< br>158
﹣
105=53
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了中国剩余定理，关键是求 出模
3
、
5
、
7
两两的最小公倍数的
余数．
2
．给出一列数：
23
+
m
，
23
+
2m
，
23
+
3m
，
…
，
23< br>+
2015m
，这
2015
个数的和除以
14
的余数 是（
）
（其中
m
为正整数）
A
．
9
B
．
7
C
．
5
D
．
3
【分析】
先求和，再分析除以
14
的余数，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，
23
+
m
+
23
+
2m
+
23
+
3m
+
…
+
23
+
2015m
=23
×
2015
+
=23
×
2015
+
1008
×
2015m
，
23
除以
14
的余数是
9
，
2015
除以
14
的余数是
13
，
9
×
13=117
除以14
的余数是
5
，
m
，
1008
×
2015m
除以
14
的余数是
0
，
< br>所以
23
×
2015
+
1008
×
2015 m
除以
14
的余数是
5
，
故选：
C
．
【点评】
本题考查孙子定理，考查余数问题， 考查学生分析解决问题的能力，属
于中档题．
3
．设
ɑ
是 一个满足下列条件的最大的正整数：使得用
ɑ
除
64
的余数是
4；用
ɑ
除
155
的余数是
5
；用
ɑ
除
187
的余数是
7
，则
ɑ=
（
）
A
．
10
B
．
15
C
．
30
D
．
60
【分析】
根据题意可知，
a
一 定能整除（
64
﹣
4
）
、
（
155
﹣5
）
、
（
187
﹣
7
）
，即
a
一
定是
60
、
150
、
180
的最大公 因数，只要用短除法即可求出最大公因数．
【解答】
解：
64
﹣
4=60
155
﹣
5=150
187
﹣
7=180
所以
60
、150
、
180
的最大公因数是：
5
×
3
×< br>2=30
因此，
a=30
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了孙子定理，由于本题是求 的最大的
“
模
”
，所以可以简单地用
求最大公因数的方法解答．
4
．设
m
是一个满足下列条件的最大正整数；用
m
除
64
的余数是
4
；用
m
除
55
的余数是< br>5
；用
m
除
187
的余数是
7
；则
m=
（
）
A
．
10
B
．
15
C
．
30
D
．
60
【分析】
先确定出
m
是
50
，
60
，
180
的约数，即可确定出
m
可能 的值，即可．
【解答】
解：由于
64
﹣
4=60
，
55
﹣
5=50
，
187
﹣
7=180
，
所以，
m
是
50
，
60
，
1 80
的约数，
所以
m=1
或
m=2
，或
m=5
或
m=10
，
由于
m
是最大的正整数，
所以，
m=10
，
故选：
A
．
【点评】
此题是孙子定理，主要考查了数的除法，数的约数，解本题的关键是确
定出
m
的可能值是解本题的关键．
二．填空题（共
43
小题）
5
．被
4
除 余
1
，被
5
除余
2
，被
6
除余
3
的最小自然数是
57
．
【分析】
本 题从表面上看是带余数的除法，
实际上可以归为最小公倍数一类．
因
为被
4< br>除余
1
，被
5
除余
2
，被
6
除余< br>3
，也就是：该数是
6
的倍数，
5
的倍
数，
4
的倍数，
都少了一个
3
，
所以符合要求的是
4
，
5
，
6
的最小公倍数少
3
．
【解答】
解：
4=2
×
2
6=2
×
3
所以
4
、
5
、6
的最小公倍数是
2
×
2
×
3
×
5= 60
60
﹣
3=57
故答案为：
57
．
【点评】
本题从表面上看是带余数的除法，实际上可以归为最小公倍数一类．
6
．如果两个不同自然数的积被
5
除余
1
，那么我们称这两个自然 数互为
“
模
5
的
倒数
”
．比如，
3
×
7=21
，被
5
除余
1
，则
3
和7
互为
“
模
5
的倒数
”
．即
3
与
7
都是有
“
模
5
的倒数
”
的数．那么
8
，
9
，
10
，
11
，
12中有
“
模
5
的倒数
”
的数为
8
和
12
，最小的
“
模
5
的倒数
”
分别为
2
和
3
或
1
和
6
．
【分析】
因为
5
的倍数的末尾是
0
或
5
， 所以被
5
除余
1
的数的末尾是
1
或
6
，< br>据此解答即可．
【解答】
解：因为
5
的倍数的末尾是
0
或
5
，所以被
5
除余
1
的数的末尾是
1
或
6
在
8
，
9
，
10
，
11
，
12
这四个数中，只有
8
×
12=96
符合要求．
因为
1
×
6=6
，
2
×
3=6
，所以最小的
“
模
5
的倒数
”
分别是
2
和
3
或
1
和
6
．
【点评】
本题关键要理解因为
5
的倍数的末尾是
0
或
5
，所以被
5
除余
1
的数的
末尾是
1
或6
，据此解答即可．
7
．
997
×
999< br>×
1001
×
1003
除以
13
的余数是
0
．
【分析】
1001
÷
13=77
，余数为
0
，根据积的余数等于余数的积，可得
997
×
9 99
×
1001
×
1003
除以
13
的余数．
【解答】
解：
1001
÷
13=77
，余数为
0
，根据积的余数等于余数的积，可得
997
×
999
×
1001
×
1003
除以
13
的余数是
0
．
故答案为
0
【点评】
本题考查中国剩余定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
8< br>．一个自然数被
3
除余
2
，被
5
除余
4，并且这个数大于
100
且小于
125
，那么
这个数是
104
或
119
．
【分析】
根据“
这个自然数被
3
除余
2
，
被
5
除余
4”
，
即被
3
除差
1
，
被
5除差
1
，
可知这个自然数最小是比
3
和
5
的最 小公倍数少
1
的数，进而先求出
3
和
5
的最小公倍数，然后 再找到大于
100
且小于
125
种的公倍数，然后再减去
1
即可．
【解答】
解：
3
和
5
互质，
< br>所以
3
和
5
的最小公倍数是：
3
×
5=15
，
100
÷
15
≈
7
，
125
÷
15
≈
8
，
15
×
7=10 5
，
15
×
8=120
，
105
﹣1=104
，
120
﹣
1=119
，
所以这个数是：
104
或
119
．
故答案为：
104
或
119
．
【点评】
本题考查了孙子定理，解决此题关键是理解把这个自然数增加
1
，所得
数就正好被3
和
5
整除；从而得出该自然数是比
3
和
5
的 公倍数少
1
的数．
9
．
m
，
n
，
p
是三个不同的正整数，
它们除以
13
的余数分别是
3< br>，
6
，
11
那么
（
m
+
n
﹣
p
）
（
2m
﹣
n
+
p
）除以< br>13
的余数是
4
．
【分析】
根据
“
具有同一模的两个同余式，两边分别相加减，仍得同一模的另一
同余式
”
；以及
“
具有同一模的两个同余式，两边分别相乘，仍得同一模的另
一同余 式
”
解答即可．
【解答】
解：
（
m
+< br>n
﹣
p
）
（
2m
﹣
n
+
p
）
=
（
3
+
6
﹣
11
）×（
2
×
3
﹣
6
+
11
）
=
﹣
22
﹣
22
（
mod
）
=
﹣
2
×
13
+
4
（
mod13
）
=4
（
mod13
）
所以，
（
m
+
n
﹣
p
）
（
2m
﹣
n+
p
）除以
13
的余数是
4
．
故答案为：
4
．
【点评】
本题考查了孙子定理，关键是明确孙子定理的两个性质定理．
10
．在
1
到
100
这
100
个数中，被
2< br>，
3
，
5
除都有非零的余数，且余数彼此不等
的数有
6
个．
【分析】
根据余数不能比除数大．一个数除以< br>2
，余数只能是
1
．而要求余数彼
此不等，所以，这些数除以
3
，余数只能是
2
．满足以上两个条件的数为
6
的
倍数少< br>1
；
5
÷
2=2…1
，
5
÷
3=1 …2
，然后再去掉被
5
除余数为
1
和
2
的，据此< br>找出满足此条件的数即可．
【解答】
解：一个数除以
2
，如 果有余数，余数只能是
1
．
而要求余数彼此不等，所以，这些数除以
3
，余数只能是
2
．
满足以上两个条件的数为
2
×
3=6
的倍数少
1
．
有：
5
、11
、
17
、
23
、
29
、
35、
41
、
47
、
53
、
59
、
65
、
71
、
77
、
83
、
89
、
95
．
又因为
5
÷
3=1…2
，
再满足被
5< br>除有余数，且余数不为
1
和
2
，
（个位不能为
5、
1
、
7
）
．
符合条件的数只有：
23
、
29
、
53
、
59
、
83
、
89
，共
6
个数．
答：余数彼此不等的数有
6
个．
故答案为：
6
．
【点评】
本题考查了余数问题，难点是确 定余数是什么样的数才能被
2
，
3
，
5
除都有非零的余数， 且余数彼此不等．
11
．在小于
2016
的正整数中，被
63
除后，商和余数相同的数有
31
个．
【 分析】
商和余数相同，先求出
2016
除以
63
的商，即
2 016
÷
63=32
，所以相同
的商和余数一定小于
32
， 据此解答即可．
【解答】
解：
2016
÷
63=32
，
商最大是
31
，最小为
1
，
所以商和余数可能是
1
～
31
的数，
所以商和余数相同的数有
31
个．
答：商和余数相同的数有
31
个．
故答案为：
31
．
【点评】
本题考查了余数问题，关键是明确余数与商、除数的关系．
12< br>．某数加上
31
的和被
9
除的余数是
2
，原来这个数 被
9
除的余数是
7
．
【分析】因为某数加上
31
的和被
9
除的余数是
2
，所以某数加 上
29
的和能被
9
整除，因为
29=9
×
3
+
2
，所以可得原来这个数被
9
除的余数．
【解答】< br>解：因为某数加上
31
的和被
9
除的余数是
2
，
所以某数加上
29
的和能被
9
整除，
因为
29=9
×
3
+
2
，
所以原来这个数被
9
除的余数是
7
，
故答案为
7
．
【点评】
本题考查余数问题，考查学生分析 解决问题的能力，转化为某数加上
29
的和能被
9
整除是关键．
< br>13
．一个数除以
5
余
2
，除以
6
余
2
，除以
7
余
3
，求能满足这三个条件的最小
自然数是< br>
122
．
【分析】
因为一个数除以
5
余
2
，
除以
6
余
2
，
所以一个数 减去
2
能被
5
，
6
整除，
所以这个数可表示为30n
+
2
，
根据这个数除以
7
余
3
，
可得能满足这三个条件
的最小自然数．
【解答】
解：因为一个数 除以
5
余
2
，除以
6
余
2
，
所以一个数减去
2
能被
5
，
6
整除，
所以这个数可表示为
30n
+
2
，
因为这个数除 以
7
余
3
，所以这个数最小为
122
，
故答案为
122
．
【点评】
本题考查孙子定理，考查余数 问题，确定一个数减去
2
能被
5
，
6
整除
是关键．
14
．满足被
7
除余
3
，被
9
除余
4
，并且小于
100
的自然数有
31
、
94
．
【分析】
先写出
100
以内满足被
9
除余
4
，
然后再找出同时被
7
除余
3
的数即可．
【解答】
解：
100
以内满足被
9
除余
4
的数有：
4
、
1 3
、
22
、
31
、
40
、
49
、
58
、
67
、
76
、
85
、
94
，
其中满足被
7
除余
3
的数有：
31< br>、
94
；
答：满足被
7
除余
3
， 被
9
除余
4
，并且小于
100
的自然数有
31
、
94
．
故答案为：
31
、
94
．
【点评】
本题 考查了剩余定理，
可以先用列举法先写出满足一个条件的数，
再从
中找到满足第二个条 件的数．
15
．若
A
、
B
、
C
三种文具分别有
38
个，
78
和
128
个，将每种文具都平 均分给学
生，分完后剩下
2
个
A
，
6
个
B
，
20
个
C
，则学生最多有
36
人．
【分析】
分别用三种文具的个数减去剩下的个数，
求出这三种 文具分给学生的个
数，求出这三个数的最大公约数，就是学生最多的人数．
【解答】
解：
38
﹣
2=36
（个）
78
﹣
6=72
（个）
128
﹣
20=108
（个）
36
、
4 8
和
108
的最大公约数是
36
，所以学生最多有
36人．
故答案为：
36
．
【点评】
本题的关 键是让学生理解，
分成出个数都是学生数的公倍数，
要使学生
最多，就是求分出数的最 大公约数．
16
．有一筐苹果，甲班分，每人
3
个还剩
1 1
个；乙班分，每人
4
个还剩
10
个；
丙班分，每人
5
个还剩
12
个．那么这筐苹果至少有
62
个．
【分析】
因为
11
÷
3
，
10
÷
4
，
12
÷
5
余数都是
2
，
因此这筐苹果的个数就是
3
、
4
、
5
的最小公倍 数加上
2
即可．
【解答】
解：
11
÷
3=3…2
，
10
÷
4=2…2
，
12
÷
5=2…2
，
3
×
4
×
5
+
2=60
+
2=62
（个）
；
答：这筐苹果至少有
62
个．
故答案为：
62
．
【点评】
此题解答的关键是运用求最小公倍数的方法，使问题变得简单化．
17
．幼儿园的老师给班里的小朋友送来
55
个苹果，
114
块饼干 ，
83
块巧克力，
同样都平均分发完毕后，还剩
3
个苹果，
10
块饼干，
5
块巧克力．这个班最
多有
26
位小朋友．
【分析】
根据题意，已知
55
个苹果，
114
块饼干，
83
块巧克力，平均分发完毕
后，还剩
3
个苹果，
10
块饼干，
5
块巧克力，那么总共发了苹果
52
个，饼干
104
块，巧克力
78
块，然后求这三个数的最大公约数，即可得出 答案．
【解答】
解：
55
﹣
3=52
，
114
﹣
10=104
，
83
﹣
5=78
，
52=2
×
2
×
13
，
104=2
×
2
×
2
×
13
，
78=2
×
3
×
13
，
所以
5 2
、
104
、
78
的最大公约数是
2
×
1 3=26
．
答：这个班最多有
26
位小朋友．
故答案为：
26
．
【点评】
此题属于中国剩余定理，运用了求最大公约数的方法进行解答．
1 8
．被
3
除余
2
，被
5
除余
4
， 被
7
除余
4
的最小自然数是
74
．
【分析】
由于这个数被
3
除余
2
，被
5
除余
4
，
所以把这个数加
1
，则它同时被
3
和
5
整除，
也就是被
15
整除，
所以这个数是
15k
﹣
1
的形式，
即
14
，
29
，
44
，
59
，
74
，
89
，
…
，然后再根据被被
7
除余
4
这个条件验证这些数，这列数中最小的就是所求．
【解答】
解：由题意可知，把这个数加
1
，则 它同时被
3
和
5
整除，也就是被
15
整除，
所以这个数是
15k
﹣
1
的形式，即
14
，
2 9
，
44
，
59
，
74
，
89
，
…
，
因为这个数被
7
除余
4
，
经验证，这个数是
74
；
故答案为：
74
．
【点评】
先根据
“
被
3
除余
2
，
被
5
除余
4”
这个条 件得出这个数是
15k
﹣
1
的形式
是完成本题的关键．
19
．所有三位数中被
7
除余
1
的所有数的和是
70464
．
【分析】
先找出符合条件的最小数，然后找出最大数，
所有符合条件的数就组成
了一个等差数列，接下去采用等差数列求和公式 求和．
【解答】
解：
100
÷
7=14…2< br>，因此符合条件的数最小是
7
×
15
+
1=106
1000
÷
7=142…6
，因此符合条件的数最大是
1000﹣
6
+
1=995
符合条件的数一共有（
995﹣
106
）÷
7
+
1=128
个
（
106
+
995
）×
128
÷
2=70464
故填
70464
【点评】
此题的解题思路是求出首项、末项 和项数，然后采用（首项
+
末项）×
项数÷
2
求和．
20
．
一个自然数除以
3
余
2
，
除以
5
余
4
，
除以
7
余
6
，
这个自然 数最小是
104
．
【分析】
一个自然数除以
3
余
2
，
除以
5
余
4
，
除以
7
余
6
，
这个自然数就是比
3
、
5< br>、
7
的最小公倍数少
1
的数．据此解答．
【解答】
解：
3
、
5
和
7
的最小公倍数
=3
×
5
×
7=105
105
﹣
1=104
答：这个自然数最小是
104
．
故答案为：
104
．
【点评】
本题的重点是观察余下的数 再添上
1
都能被
3
、
5
、
7
整除，所以这 个数
是比
3
、
5
、
7
的最小公倍数少
1< br>．
21
．
一个两位数，
用它除
58
余2
，
除
73
余
3
，
除
85
余
1
，
这个两位数是
14
．
【分析】
用一个两位数除
58
余
2
，除
73
余3
，除
85
余
1
，那么
58
﹣
2=5 6
，
73
﹣
3=70
，
85
﹣
1=84< br>能被这个两位数整除，这个两位数一定是
56
、
70
和
84< br>的
公约数．
由可可见，
56
、
70、
84
的两位数公约数是
2
×
7=14
，可见这个两位 数是
14
．
【解答】
解：
58
﹣
2=5 6
，
73
﹣
3=70
，
85
﹣
1=84< br>能被这个两位数整除，这个两位
数一定是
56
、
70
和
84
的公约数．
由可可见，
56
、
70、
84
的两位数公约数是
2
×
7=14
，可见这个两位 数是
14
．
故答案为
14
．
【点评】
此题考查了学生对公约数、短除法的掌握情况．
22
．若 有
8
分和
15
分的邮票可以无限制地取用，但某些邮资如：
7
分、
29
分等
不能刚好凑成，
那么只用
8
分和
1 5
分的邮票不能凑成的最大邮资是
97
分
．
【分析】
设
15
分的邮票
a
张，
8
分的邮 票
b
张，则能拼成的邮资可以表示为
n=15a
+
8b
，根 据这个对每种情况进行分析．
【解答】
解：
设
15分的邮票
a
张，
8
分的邮票
b
张，则能拼成的邮资可以 表示为
n=15a
+
8b
（
1
）当
a= 0
时，
n
可取所有
8
的倍数．
（
2）当
a=1
时，
n
可取除以
8
余数
7
的数，但
15
﹣
8=7
无法取到；
（
3
）当
a=2
时，
n
可取除以
8
余数
6
的数 ，但
15
×
2
﹣
8=22
无法取到；
（
4
）当
a=3
时，
n
可取除以
8
余数5
的数，但
15
×
3
﹣
8=37
无法取到；< br>
（
5
）当
a=4
时，
n
可取除以
8
余数
4
的数，但
15
×
4
﹣
8=52< br>无法取到；
（
6
）当
a=5
时，
n
可取除以
8
余数
3
的数，但
15
×
5
﹣
8=67
无法取到；
（
7
）当
a=6
时 ，
n
可取除以
8
余数
2
的数，但
15
×< br>6
﹣
8=82
无法取到；
（
8
）当
a=2
时，
n
可取除以
8
余数
1
的数，但
15
×
7
﹣
8=97
无法取到；
所以不能凑成的最大邮资是
97
分．
【点评】
以上这个讨 论过程比较复杂，
但通过这个讨论，
可以有以下结论：
n=xa
+
y b
，
n
无法取到的最大整数是
xy
﹣
x
﹣
y
．
23
．一个自然数除以
8
得到的商加上这个数除以< br>9
的余数，其和是
13
．求所有
满足条件的自然数．
【分析】
先依据题目条件求出这个数除以
9
的余数的取值范围，
从而能确定 出这
个数除以
8
的商的取值范围，在这两个值的取值范围内，逐一选用，就能得
到符合要求的自然数，问题得解．
【解答】
解：设这个数为
n
， 除以
9
所得余数
r
≤
8
，所以除以
8
得到 的商
q
≥
13
﹣
8=5
，又显然
q
≤13
．
q=5
时，
r=8
，
n=5
×
8
+
4=44
；
q=6
时，
r=7< br>，
n=6
×
8
+
4=52
；
q= 7
时，
r=6
，
n=7
×
8
+
4=60< br>；
q=8
时，
r=5
，
n=8
×
8
+
4=68
；
q=9
时，
r=4
，< br>n=9
×
8
+
4=76
；
q=10
时，
r=3
，
n=10
×
8
+
4=84
；
q=11
时，
r=2
，
n=11
×
8
+
4=92
；
q=12
时，
r=1
，< br>n=12
×
8
+
4=100
；
q=13< br>时，
r=0
，
n=13
×
8
+
4=108< br>．
满足条件的自然数共有
9
个：
108
，
100
，
92
，
84
，
76
，
68
，
60
，
52
，
44
．
答：满足条件 的自然数共有
9
个：
108
，
100
，
92
，
84
，
76
，
68
，
60
，
52
，
44
．
【点评】
解决此题的关键是先确定出这个数 除以
9
的余数的取值范围和这个数除
以
8
的商的取值范围，在这两个 值的取值范围内，逐一选用，就能得到符合
要求的自然数．
24
．有一个数 除以
3
余
2
，除以
5
余
3
，除以
7
余
4
，除以
9
余
5
．这个数至少是
158
．
【分析】
用剩余定理求得
“
除以
3
余
2
，
除以
5
余
3
，除以
7
余
4”
的最小数是
53
．
又 因为被
9
除余
5
，
所以把
53
扩大
3倍减去
1
后才能满足条件，
即
53
×
3
﹣1=158
．
那么
158
就是所求的最小数．
【解答】
解：
（
5
、
7
）
=35
；< br>（
3
、
7
）
=21
；
（
3
、
5
）
=15
；
（
3
、
5
、7
）
=105
．
35
正好除以
3
余
2
；
为了使
21
除以
5
余
3
，< br>则
21
×
3=63
；
为了使
15
除以
7
余
4
，
则
15
×
4=60
．
所以
35
+
63
+
60
﹣
105=53< br>．即：除以
3
余
2
，除以
5
余
3
， 除以
7
余
4”
的最小数是
53
．
因此< br>“
除以
3
余
2
，除以
5
余
3
，除以
7
余
4
，除以
9
余
5”
的最小数 是：
53
×
3
﹣
1=158
．
故答案为
158
．
【点评】
此题考查了学生求最小公倍数的方法，以及分析问题的能力．
25
．
有一个数除以
5
余数是
2
，
除以
7余数是
3
，
这个数除以
35
的余数是
17
．
【分析】
此题可采用列举法由一般到特殊进行推 理解决．如：除以
5
余
2
的数，
应是
5
的倍数+
2
；除以
7
余
3
的数，应是
7
的倍 数
+
3
，从中找出同时符合
“
除