如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理
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2021年01月26日 06:15
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如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理
在上一篇《运用“中国剩余定理”解小学 数学题》的方法四中，
对一个未参透
“中国剩余定理”
者来说也许知其然而不知所以然 ，
云
里雾里，既然是讲解给小学生听的，如何讲透其中的道理呢？为此，
特以“一个整 数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小
整数。
”此例进一步分析其每一步的道理 ，供大家参考。
上所述：
【例】一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，< br>求这个最小整数。
列式为：
70
×
1+21
×
2+1 5
×
3-105=52
，自拟的“若
设要求的这个最小整数为
N,< br>数论倒数分别为
M1
、
M2
、
M3
，余数分别
为
a1
、
a2
、
a3
，除数的最小公倍数的整数倍为C,
那么公式为：
N=M1
×
a1+M2
×
a2+M3
×
a3-C
”
，对小学生而言“数论倒数”权当是一个数
学名词，不 必深究。下面就针对“
70
×
1+21
×
2+15
×
3-105=52
”列式
中的每一步推理演算作一一说明：
要求出这个最 小整数必须符合三个条件：
即除以三余一，
除以五
余二，除以七余三。若要一次性找出 其答案实属不易，为此，我们的
思路是化难为易，步步推进。
假设一个整数除以三余 一，能被五和七整除，求这个最小整数。
大家都知道，
能被五和七整除的数是
35，
但
35
不满足
“除以三余一”
条件
，因为
35
÷
3=11
……
2
，最小的是
70
， 因
70
÷
3=23
……
1
（我
们把
70< br>这个数称为
35
相对于
3
的数论倒数，
注意余数是
1
的时候。
）
，
70
除以三余一，又能被五和七整除，所以这个最小的 整数为
70.
即
70
×
1
。
又假如一个整数能被三整除，
除以五余二，
又能被
7
整除，
求这< br>个最小整数。能被三和七整除的数是
21
，
21
÷
5=4< br>……
1
（这时我们
说
21
相对于
5
的数论倒 数为
21
）
，
但不是余
2
，
怎办？先看一个例子，
6
÷
5=1
……
1
、
12
÷
5= 1
……
2
、
18
÷
5=1
……
3
、
24
÷
5=1
……
4
等，我
们发现：
被 除数扩大几倍，除数不变，余数也扩大几倍。
于是便知，
因余数为二，所以
21
需要扩大两倍，即
21
×
2
能满足“被三整除，
除以五余二，能被
7
整除”这三个条件，所以这个最小的整数为
21
×
2
。< br>
再假如一个整数被三整除，
能被五整除，
除以七余三，
求这个最小整数。能被
3
和
5
整除的数为
15
，而
15
÷
7=2
……
1
（这时我们说
15
相对于
7
的数论倒数为
21
）但不是余
3
，同理，
15
×
3
能满足“被
三整除，能被五整除，除以七余三”的条件，所以这个最小的整数为15
×
3
。
列式中
70
×
1+21
×
2+15
×
3
，为什么把
70
×
1、
21
×
2
、
15
×
3
它
们 的积相加呢？也得先看一个例子：
11
÷
7=1
……
4
、< br>（
11+7
）
÷
7=2
……
4
、
（
11+14
）÷
7=3
……
4
、
（
11+ 21
）÷
7=4
……
4
、
（
11+28
） ÷
7=5
……
4
等等，我们发现：
被除数加上（或减去）除数的倍数 ，除数不变，
余数也不变。
为此，
70
×
1
满足“除以三余 一，能被五和七整除”的
条件，
21
×
2
是
3
的 倍数，可得
70
×
1+21
×
2
也满足“除以三余一，能被五和七整除”的条件。反过来说，因
70
×
1
是
5
的倍数，不仅
21
×
2
满足“被三整除，除以五余二，能被
7
整除”的条件，所以加
上
70
×
1
也满足该条件
，
即
(70
×
1+21
×
2)
满足
“被 三整除，
除以五