中国剩余定理及应用
玛丽莲梦兔
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2021年01月26日 06:15
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“
中国剩余定理
”
算理及其应用
“
中国剩余定理
”
算理及其应用：
为什么这样解呢？因为
70
是
5
和
7
的公倍数，
且除以
3
余
1
。
21
是
3
和
7< br>的公倍数，且除以
5
余
1
。
15
是
3
和
5
的公倍数，
且除以
7
余
1
。
（任何 一个一次同余式组，
只要根据这个规律求出那几个关键数字，
那么这个一次同余式组就不难解出 了。
）把
70
、
21
、
15
这三个数分别乘以它们 的余数，再把三个积加起
来是
233
，符合题意，但不是最小，而
105又是
3
、
5
、
7
的最小公倍数，去掉
105< br>的倍数，剩下的差就
是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限 性，只能限于用
3
、
5
、
7
三个数去除，用其它的数去除就 不行了。
后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例
1
：一个数被
3
除余
1
，被
4
除余
2
，被
5
除余
4
，这 个数最小是几？
题中
3
、
4
、
5
三个数两两互质。
则〔
4
，
5
〕
=20
；
〔
3
，
5
〕
=15
；
〔
3
，
4
〕=12
；
〔
3
，
4
，
5
〕
= 60
。
为了使
20
被
3
除余
1
，用
20×
2=40
；
使
15
被
4除余
1
，用
15×
3=45
；
使
1 2
被
5
除余
1
，用
12×
3=36
。
然后，
40×
1
＋
45×
2
＋
36 ×
4=274
，
因为，
274>60
，所以，
2 74
－
60×
4=34
，就是所求的数。
例< br>2
：一个数被
3
除余
2
，被
7
除余
4
，被
8
除余
5
，这个数最小是几？
题中
3
、
7
、
8
三个数两两互质。
则〔
7
，
8
〕
=56
；
〔
3
，
8
〕
=24
；
〔
3
，
7
〕=21
；
〔
3
，
7
，
8
〕
= 168
。
为了使
56
被
3
除余
1
，用
56×
2=112
；
使
24
被
7
除余
1
，用
24×
5=120
。
使21
被
8
除余
1
，用
21×
5=105
；
然后，
112×
2
＋
120×
4
＋
105×
5=1229
，
因为，
1229>168
，所以，
1229
－
168×
7=53
，就是所求的数。
例
3
：一个数除以
5
余
4
，除以
8
余
3
，除以
11
余
2
，求满足条件的最小的自 然数。
题中
5
、
8
、
11
三个数两两互质。
< br>则〔
8
，
11
〕
=88
；
〔
5，
11
〕
=55
；
〔
5
，
8
〕
=40
；
〔
5
，
8
，
11
〕< br>=440
。
为了使
88
被
5
除余
1
，用
88×
2=176
；
使
55
被< br>8
除余
1
，用
55×
7=385
；
使
40
被
11
除余
1
，用
40×
8=3 20
。
然后，
176×
4
＋
385×
3
＋
320×
2=2499
，
因为，
2499>4 40
，所以，
2499
－
440×
5=299
，就是所求的 数。
例
4
：有一个年级的同学，每
9
人一排多
5
人，每
7
人一排多
1
人，每
5
人一排多
2
人，问这个年级至
少有多少人
？（幸福
123
老师问的题目）
题中
9
、
7
、
5
三个数两两互质。
则〔
7
，
5
〕
=35
；
〔
9
，
5
〕
=45
；
〔
9
，
7
〕=63
；
〔
9
，
7
，
5
〕
= 315
。
为了使
35
被
9
除余
1
，用
35×
8=280
；
使
45
被
7
除余
1
，用
45×
5=225
；
使63
被
5
除余
1
，用
63×
2=126
。
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