中国剩余定理在数学运算中的运用
巡山小妖精
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2021年01月26日 06:16
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沁园春雪教案-
一、中国剩余定理的由来
给人改变未来的力量
我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：
“今有物不知其数，
三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用
现在的话来说就是：
“有一批物品，
3
个
3
个地数余
2
个，
5
个
5
个地数余
3
个，
7
个
7
个地数余
2
个，问这批物品最少有多少个
?
”
这个问题的解题思
路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
二、“中国剩余定理”算理及其应用
明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：
三人同行七十（
70
）稀，
五树梅花廿一（
21
）枝，
七子团圆正月半（
15
），
除百零五（
105
）便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法：第一 句指除以
3
的余数用
70
去乘；第二句指除
以
5
的 余数用
21
去乘；第三句指除以
7
的余数用
15
去乘；第四 句指上面乘得的三
个积相加的和如超过
105
，就减去
105
的倍数 ，就得到答案了。即：
70
×
2
＋
21
×
3
＋
15
×
2
－
105
×
2=23 < br>为什么这样解呢？因为
70
是
5
和
7
的公倍数，且除 以
3
余
1
。
21
是
3
和
7
的公
倍数，且除以
5
余
1
。
15
是
3< br>和
5
的公倍数，且除以
7
余
1
。（任何一个
一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式
组就不难解出了。 ）把
70
、
21
、
15
这三个数分别乘以它们的余数
，再把三个积加起来是
233
，符合题意，但不是最小，而
105
又是
3
、
5
、
7
的最
小公倍数，去掉
1 05
的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
三、“中国剩余定理”的应用
主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同
减差”以外的余数 问题的题目。
【例
1
】一个数被
3
除余
1
，被
4
除余
2
，被
5
除余
4
，这个数最 小是几？
A
．
81 B
．
34
C
．
128 D
．
103
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