初等数论课程教学大纲
余年寄山水
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2021年01月26日 06:20
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《初等数论》教学大纲
课程名称
：初等数论
Elementary Number Theory
课程性质
：专业必修课
学
分
：
3
总
学
时
：
48
理论学时：
48
适用专业
：数学与应用数学
先修课程：
中学数学、高等代数、数学分析、解析几何
一
、
教学目的与要求
：
初等数论是数学与应用数学本科专 业的专业基础课。
初等数论是研究整数的基本性质和
方程
(
组
)整数解的一个数学分支。
数学与应用数学专业开设本课程的目的在于使学生孰悉数
论的初步 理论、掌握数论的最基本方法，为今后学习相关课程打下必要的基础。因此，在教
学中要求：
（
1
）对初等数论的基本内容作系统讲授；
（
2
）注意数论与其它数学 分支的联系与
应用；
（
3
）简要介绍一些数论的近代成就及我国数学家在数论 方面的贡献。
二、教学内容与学时分配：
序号
1
2
3
4
5
教学内容
第一章：整数的整除性
第二章：不定方程
第三章：同余
第四章：同余式
第五章：二次同余式与平方剩余
总学时
三、各章节主要知识点与教学要求
：
第一章
整除理论（
15
学时）
第一节
整除定义及其基本性质
第二节
最大公因数与最小公倍数
第三节
素数
第四节
算术基本定理
本章重点
：整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数
的素数分解定理。最大公因数的性质及应用，算术基本定理的证明及应用。
讲课学时
15
9
6
6
12
48
本章难点：
定理的证明处理方法，定理的灵活运用。
本章教学要求
：理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟
练掌握用剩余定理求最大公因子 、
最小公倍数的方法。
理解素数与合数的概念、
素数的性质，
理解整数的素数 分解定理，会用筛法求素数。了解函数
[x]
与
{x}
的概念、性质，
n!
的素数分
解、组合数为整数的性质。
第二章
不定方程
（
9
学时）
1
．一次不定方程
2
．勾股数
3.
费尔马问题介绍
本章重点< br>：
二元一次不定方程解的形式，
二元一次不定方程有整数解的条件，
利用剩余< br>定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
本章难点：
多元不定方程有整数解的判定及求解。
本章教学要求：
了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，
熟练掌握利用剩余定理
（ 辗转相除法）
求二元一次不定方程的方法。
知道多元一次不定方程
有解的条件，会求解 简单的多元一次不定方程。知道不定方程整数解的形式
.
第三章
同余（
6
学时）
第一节
同余的概念及基本性质
第二节
剩余类、完全剩余系
第三节
Euler
函数、简化剩余系
第四节
Euler
定理和
Fermat
定理
本章重点
：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质。
本章难点：
简化剩余系及欧拉函数、欧拉定理及其应用。
本章教学要求：
理解整数同余的概念及同余的基本性质，
熟练掌握整数具有素因子的条
件，会利 用同余简单验证整数乘积运算的结果。理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练
掌握判断剩余系的方法，理 解欧拉函数的定义及性质。了解欧拉定理、
Fermat
小定理，
掌握循环小数的判定 方法。
第四章
同余式（
6
学时）
第一节
一次同余式