2020年全国初中数学竞赛试题及答案
余年寄山水
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2021年01月26日 07:03
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初三数学竞赛试题
2009
年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共
5
小题，每小题
7
分，共
35< br>分
.
以下每道小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的
.
请将正确 选项的代号填入题后的括号里，不
填、多填或错填都得
0
分）
1
．已知非零实数
a
，
b
满足，则等于（
）
．
（
A
）－
1
（
B
）
0
（
C
）
1
（
D
）
2
【答】
C
．
解：由题设知
a
≥
3
，所以，题设的等式为，于是，从而＝
1
．
2
．如图，菱形
ABCD
的边长为
a
，点
O
是对角线
AC
上的一点，且
OA
＝a
，
OB
＝
OC
＝
OD
＝
1
，则
a
等于（
）
．
【答】
A
．
解：因为△
BOC
∽
△
ABC
，所以，即，所以，
．
由，解得．
3
．将一枚六个面编号分别为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
的 质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，
记第一次掷出的点数为，
第二次掷出的点数为，
则使关于
x
，
y
的方程组
只有
正数解的概率为（
）
．
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
【答】
D
．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为
由已知，得即或
由，的实际意义为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，可得< br>
共有
5
×
2
＝
10
种情况；或共
3
种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共
6
×
6
＝
36< br>种情况，故所求的概率为．
4
．如图
1
所示，在 直角梯形
ABCD
中，
AB
∥
DC
，
.
动点
P
从点
B
出发，沿梯形的边由
B
→
C
→
D
→
A
运动
.
设点P
运动的路程为
x
，△
ABP
的面积为
y.
把
y
看作
x
的函数，函数的图像如图
2
所示，则△
ABC
的面积为（
）
．
（
A
）
10
（
B
）
16
（
C
）
18
（
D
）
32
【答】
B
．
解：根据图像可得
BC
＝
4
，
CD
＝
5
，
DA
＝
5
，进而求得
AB
＝
8
，故
S
△
ABC
＝ ×
8
×
4
＝
16.
5
．关于
x
，
y
的方程的整数解（
x
，
y
）的组数为（
）
．
（
A
）
2
组
（
B
）
3
组
（
C
）
4
组
（
D
）无穷多组
【答】
C
．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为．
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由
≥，解得
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当
y
＝－
4
时，原方程为，此时
．
≤．于是
所
以，原方程的整数解为
二、填空题（共
5
小题，每小题
7
分，共
35
分）
6
．
一个自行车轮胎，
若把它安装在前轮，
则自行车 行驶
5000
km
后报废；
若把它安装在后轮，
则自行车行驶
3000
km
后报废，
行驶一定路程后可以交换前、
后轮胎．
如果交换前、
后轮胎，
要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶
km
．
【答】
3750
．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为
k,
则安装在前轮的轮胎每行驶
1 km
磨损量为
,
安装在后轮的轮胎每行驶
1km
的磨损 量为
.
又设一对新轮胎交换位置前走了
x km
，
交换位置后走了
y km.
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程
,
有
两式相加，得
，
则
．
解：如图，延长
AD
与⊙D
交于点
E
，连接
AF
，
EF
．
由题设知，
，在△
FHA
和△
EFA
中，
所以
Rt
△
FHA
∽
Rt
△
E FA
，
.
而，所
以
.
< br>8
．
已知是满足条件的五个不同的整数，
若是关于
x
的方程的 整数根，
则的值为
．
【答】
10
．
解：因为，
且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．又因为，所以
．
由，可得．
9
．如图，在△
A BC
中，
CD
是高，
CE
为的平分线．若
AC
＝< br>15
，
BC
＝
20
，
CD
＝
12< br>，则
CE
的长等
于
．
且．
作
EF
⊥
BC
，垂足为
F
．
设
EF
＝
x
，
由，
得
CF
＝
x
，
于是
BF
＝
20
－
x
．
由于
EF
∥
AC
，
所以
，