初中数学竞赛辅导资料(初一用)
别妄想泡我
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2021年01月26日 07:05
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月亮作文-
初中数学竞赛辅导资料
第一讲
数的整除
一、内容提要：
如果整数
A
除以整数
B(B
≠< br>0)
所得的商
A/B
是整数
,
那么叫做
A
被
B
整除
.
0
能被所有非零的整数整除
.
一些数的整除特征
除
数
2
或
5
4
或
25
3
或
9
11
7,11,13
能被整除的数的特征
末位数能被
2
或
5
整除
末两位数能被
4
或
25
整除
各位上的数字和被< br>3
或
9
整除
(
如
771
，
5432 4)
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减
,
其差能被
11
整除
(
如
143,1859,1287,908270
等
)
从右向左每三位为一段
,
奇数段的各数和与偶数段的各数和相减
,
其 差能被
7
或
11
或
13
整除
.(
如
1001
，
22743
，
17567
，
21281
等
)
8
或
125
末三位数能被
8
或
125
整除
能被
7
整除的数的特征：
①抹去个位数
②减去原个位数的
2
倍
③其差能被
7
整除。
如
1001
100
－
2
＝
98
（能被
7
整 除）
又如
7007
700
－
14
＝
686
，
6 8
－
12
＝
56
（能被
7
整除）
能被
11
整除的数的特征：
①抹去个位数
②减去原个位数
③其差能被
11
整除
如
1001
100
－
1
＝
99
（能
11
整除）
又如
10285
1028
－
5
＝
1023
102－
3
＝
99
（能
11
整除）
二、例题
例
1
已知两个三位数
328
和
2
x
9
的和仍是三位数
5
y
7
且能被
9< br>整除。
求
x,y
解：
x,y
都是
0到
9
的整数，∵
5
y
7
能被
9
整除， ∴
y=6.
∵
328
＋
2
x
9
＝
567
，∴
x=3
例
2
已知五位数
1234
x
能被
12
整除，求
x
解：∵五位数能被
12整除，必然同时能被
3
和
4
整除，
当
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
x能被
3
整除时，
x=2
，
5
，
8
当末两位
4
x
能被
4
整除时，
x
＝
0
，
4
，
8
第
1
页
（共
65
页）
∴
x
＝
8
例
3
求能被
11
整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是
10234
，
但 （
1
＋
2
＋
4
）－（
0
＋
3）＝
4
，不能被
11
整除，只调整末位数仍不行
< br>调整末两位数为
30
，
41
，
52
，
63< br>，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是
10263
。
练习一
1
、分解质因数：
（写成质因数为底的幂的连乘积）
①
756
②
1859
③
1287
④
3276
⑤
10101
⑥
10296
2
、若四位数
987
a
能被
3
整除，那么
a=_______________
3
、若五位数
12
x
34
能被
11
整除，那么
x
＝
__________ < br>4
、当
m=_________
时，
35
m
5
能被
25
整除
5
、当
n=__________
时，
9610
n
能被
7
整除
6
、能被
11
整除的最小五位数是
________,
最大五位数是
____ _____
7
、
能被
4
整除的最大四位数是
______ ______
，
能被
8
整除的最大四位数是
_________。
8
、
8
个数：①
125
，②
75 6
，③
1011
，④
2457
，⑤
7855
，⑥< br>8104
，⑦
9152
，⑧
70972
中，能被下列各数整除 的有（填上编号）
：
6________,8__________,9_________,11__________
9
、从
1
到
100
这
100
个自然数中， 能同时被
2
和
3
整除的共
_____
个，能被
3< br>整除
但不是
5
的倍数的共
______
个。
10
、由
1
，
2
，
3
，
4
，< br>5
这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被
3
整除的数共有几个 ？为什么？
第
2
页
（共
65
页）
11
、已知五位数
1234
A
能被
15
整除，试求
A
的值。
12
、求能被
9
整除且各位数字都不相同的最小五位数。
1 3
、
在十进制中，
各位数码是
0
或
1
，
并 能被
225
整除的最小正整数是
______
（
1989
年 全国初中联赛题）
第二讲
倍数
约数
一、内容提要
1
、两个整 数
A
和
B
（
B
≠
0
）
，如果B
能整除
A
（记作
B
｜
A
）
，那么< br>A
叫做
B
的倍数，
B
叫做
A
的约数。例如< br>3
｜
15
，
15
是
3
的倍数，
3< br>是
15
的约数。
2
、因为
0
除以非
0
的任何数都得
0
，所以
0
被非
0
整数整除。< br>0
是任何非
0
整
第
3
页
（共
65
页）
数的倍数，非
0< br>整数都是
0
的约数。如
0
是
7
的倍数，
7< br>是
0
的约数。
3
、整数
A
（
A< br>≠
0
）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，
0
，±
A
，
±
2A
，……都是
A
的倍数，例如
5
的倍数有±
5
，±
10
，……。
4
、整数A
（
A
≠
0
）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出 现的，
其中必包括±
1
和±
A
。例如
6
的约数是±
1
，±
2
，±
3
，±
6
。
5
、
通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，
几正整数有最小的公倍数和< br>最犬的公约数。
6
、公约数只有
1
的两个正整数叫做互质数 （例如
15
与
28
互质）
。
7
、在有余 数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：
A
＝
BQ
＋
R
，当
A
，
B
，
Q
，
R
都是整数且
B
≠
0
时，
A
－
R
能被
B
整除。
例如
23
＝
3
×
7
＋
2
，则
23
－
2
能被
3
整除。
二、例题
例
1
写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：
2
，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
3
，
3
2
，
3
3
，
3
4
，
2
×
3
，
2
2
×
3
，
2
2
×
3
2
。
解：列表如下
正
整
正约数
数
2
2
2
2
3
2
4
1
，
2
个
数
计
2
正
整
正约数
数
3
3
2
3
3
3
4
个
正
数
整
计
数
2
正约数
1
，
2
，
3
，
6
1
，
2
，
3
，
4
，
6
，
12
个
数
计
4
6
1
，
3
2
×
3
2
2
×
3
2
2
×
3
2
1
，
2
，
4
3
1
，
2
，
4
，
8
4
1
，
3
，
3
2
1
，
3
，
3
2
，
3
3
3
4
1
，
2
，
3
，
9
4
，
6
，
9
，
12
，
18
，
36
1
，
2
，
4
，
5
8
，
16
1
，
3
，
3
2
，
5
3
3
，
3
4
其规律是：设
A
＝
a
m
b
n
(a
，
b
是质数
,m
，
n
是正整数
)
，那么合数
A
的正约数的个数
是（< br>m+1
）
(n+1)
例如求
360
的正约数的个数
解：分解质因数：
360
＝
2
3
×
3
2< br>×
5
，
360
的正约数的个数是（
3< br>＋
1
）×（
2
＋
1
）×（
1
＋1
）＝
24
（个）
例
2
用分解质因数的方法 求
24
，
90
最大公约数和最小公倍数
解：∵
2 4
＝
2
3
×
3
，
90
＝
2
×
3
2
×
5
∴最大公约数是
2
×
3
，
记作（
24
，
90
）＝
6
最小公倍数 是
2
3
×
3
2
×
5
＝
360，
记作
[24,90]=360
例
3
已 知
32
，
44
除以正整数
N
有相同的余数
2
，求
N
解：∵
32
－
2
，
44
－2
都能被
N
整除，∴
N
是
30
，
42
的公约数
第
4
页
（共
65
页）
∵（
30
，
4 2
）＝
6
，而
6
的正约数有
1
，
2
，
3
，
6
经检验
1
和
2
不合题意，∴
N
＝
6
，
3
例
4
一个数被
10
余
9
，被
9
除余
8
，被
8
除余< br>7
，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1
，则能同时被
10
，
9
，
8
整除
,
所以所求的数是
10
，
9
，
8
的最小公倍数减去< br>1
。
解：
∵
[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是
359
练习二
1
、
12的正约数有
_________,16
的所有约数是
_____________ ____
2
、分解质因数
300
＝
_________,300< br>的正约数的个数是
_________
3
、用分解质因数的方法求
2 0
和
250
的最大公约数与最小公倍数。
4
、一个三位数能被
7
，
9
，
11
整除， 这个三位数是
_________
5
、能同时被
3
，
5< br>，
11
整除的最小四位数是
_______
，最大三位数是
_ _______
6
、已知
14
和
23
各除以正整数
A
有相同的余数
2
，则
A
＝
________
7
、写出能被
2
整除，且有约数
5
，又是
3
的倍数 的所有两位数。
8
、一个长方形的房间长
1.35
丈，宽
1. 05
丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问
正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长 ，有哪几种规格的正方形瓷砖
适合？
第
5
页
（共
65
页）
9
、一条长阶梯， 如果每步跨
2
阶，那么最后剩
1
阶；如果每步跨
3
阶，那么 最后剩
2
阶；如果每步跨
4
阶，那么最后剩
3
阶；如果每步 跨
5
阶，那么最后剩
4
阶；
如果每步跨
6
阶，那么 最后剩
5
阶；只有每步跨
7
阶，才能正好走完不剩一阶，
这阶梯最少 有几阶？
第三讲
质数
合数
一、内容提要
1
、正整数的一种分类：
1
质数
合数
质数的定义
：如果一个大于
1
的正整数，只能被
1
和它本身整除，那么这个正整
数叫做质数（质数也称素数）
。
合数的定义
：一个正整数除了能被
1
和本身整除外 ，还能被其他的正整数整除，
这样的正整数叫做合数。
2
、
根椐质数定义可知
①
质数只有
1
和本身两个正约数。
②
质数中只有一个偶数
2
。
如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是
2
；
如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是
2
。
3
、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
二、例题
例
1
两个质数的和等于奇数
a (a
≥
5)
，求这两个数。
解：∵两个质数的和等于奇数
∴必有一个是
2
所求的两个质数是
2
和
a
－
2
。
例
2
已知两个整数的积等于质数
m,
求这两个数。
解：∵质数
m
只含两个正约数
1
和
m,
第
6
页
（共
65
页）
又∵（－
1
）
（－
m
）
=m
∴所求的两 个整数是
1
和
m
或者－
1
和－
m.
例< br>3
已知三个质数
a,b,c
它们的积等于
30
，求适合条件的
a,b,c
的值。
解：分解质因数：
30
＝
2
×
3
×
5 < br>
a
2
a
2
a< br>
3
a
3
a
5< br>
a
5
< br>
适合条件的值共有：
b
3
，
b
5
，
b
2
，
b
5
，
b
2
，
b
3
c
5
c
3
c
5
c
2
c
3
c
2
应注意上述六组值的书写排列顺 序，本题如果改为
4
个质数
a,b,c,d
它们的积等于
210,< br>即
abcd=2
×
3
×
5
×
7
，< br>那么适合条件的
a
，
b
，
c
，
d
值 共有
24
组，
试把它写出来。
例
4
试写出
4
个连续正整数，使它们个个都是合数。
解：
（本题答案不是唯一的）
设
N
是不大于< br>5
的所有质数的积，即
N
＝
2
×
3
×
5
那么
N
＋
2，
N
＋
3
，
N
＋
4
，
N＋
5
就是适合条件的四个合数
即
32
，
33
，
34
，
35
就是所求的一组数。
本题可推广到
n
个。令
N
等于不大于
n+1
的所 有质数的积，那么
N
＋
2
，
N
＋
3，
N
＋
4
，……
N
＋（
n+1
）就是 所求的合数。
练习三
1
、小于
100
的质数共
___
个，它们是
_________________________ _________
2
、已知质数
P
与奇数
Q
的和是11
，则
P
＝
_______
，
Q
＝
_______
3
、已知两个素数的差是
41
，那么它们分别是
_ _____________
4
、如果两个自然数的积等于
19
，那么这两 个数是
______________
；
如果两个整数的积等于
7 3
，那么它们是
______________
；
如果两个质数的 积等于
15
，则它们是
______________
。
5
、
两个质数
x
和
y
，
已知
xy=91,
那么
x=_______,y=_______,
或
x=_______,y =_______.
a
______
6
、 三个质数
a,b,c
它们的积等于
1990
，那么
b
______
c
_ _____
7
、能整除
3
11
＋
5
13
的最小质数是
_______
8
、已知两个质数
A
和B
适合等式
A
＋
B
＝
99
，
AB＝
M
，求
M
及
第
7
页
（共
65
页）
A
B
＋
的值。
B
A
9
、试写出
6
个连续正整数，使它们个个都是合数。
10
、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11
、求适合下列三个条件的最小整数：
①
大于
1
②没有小于
10
的质因数
③不是质数
12
、某质数加上
6
或减去6
都仍是质数，且这三个质数均在
30
到
50
之间，
那 么这个质数是
_______
13
、一个质数加上
10
或减去14
都仍是质数，这个质数是
_______
。
第四讲
零的特性
一、内容提要
（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
是自然数，是整数，是偶数。
1
、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔
0
米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存
0
元。
2
、零是判定正、负数的界限。
若
a
＞
0则
a
是正数，反过来也成立，若
a
是正数，则
a
＞
0
第
8
页
（共
65
页）
零
记作
a
＞
0
a
是正数
读作
a
＞
0
等价于
a
是正数
b<0
b
是负数
c
≥
0
c
是非负数（即
c
不是负数，而是正数或
0
）
d
≤
0
d
是非正数
(
即
d
不是正数，而是负数或
0)
e
0
e
不是
0
（即
e
不是
0
，而是负数或正数）
3
、在一切非负数中有一个最小值是
0
。
例如
绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是
0
。
记作：
|a|
≥
0
，当
a=0
时，｜
a
｜的值最小，是
0
，
a
2
≥
0
，
a
2
有最小值
0
（当
a=0
时）
。
4
、在一切非正数中有一个最大值是
0
。
例如
－
|
x
|
≤
0
，当
x
＝
0
时，－
|
x
|
值最大，是
0
（∵
x≠
0
时都是负数）
。
≤
0
，当
x< br>＝
2
时，
(
x
2)
2
的值最大，是
0
。
(
x
2
2
)
（二）零具有独特的运算性质
1
、乘方：零的正整数次幂都是零。
2
、除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。从而推出，< br>0
没有倒数，分数的分母不能是
0
。
3
、乘法：零 乘以任何数都得零。即
a
×
0
＝
0
，
反 过来，如果
ab=0,
那么
a
、
b
中至少有一个是
0
。
要使等式
xy=0
成立
,
必须且只需
x=0
或
y=0
。
4
、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即
a
、
b
互为相反数
a+b=0
5< br>、减法：两个数
a
和
b
的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若
a-b=0,
则
a=b
；若
a-b
＞0,
则
a
＞
b
；若
a-b
＜
0,则
a
＜
b
。
反过来也成立，当
a=b
时，
a-b=0
；当
a>b
时
,a-b>0
；当
a
,a-b<0.
（三）在近似数中，当
0
作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如
近似数
1.6
米与
1.60
米不同，前者表 示精确到
0.1
米（即
1
分米）
,
误差
不超过5
厘米；
后者表示精确到
0.01
米（即
1
厘米）
，误差不超过
5
毫米。可用不
等式表示其值范围如下：
1.55
≤
近似数
1.6<1.65
1.595
≤近似数
1.60<1605
二、例题
例
1
．两个数相除，什么情况下商是
1
？是－
1
？
答：两个数相等且不是
0
时，相除商是
1
；两数互为相反数且 不是
0
时，相除商
是－
1
。
例
2
．绝对值小于
3
的数有几个？它们的和是多少？为什么？
第
9
页
（共
65
页）
答：绝对值小于
3
的数有无数多个，它们的和是
0
。因为绝对值小于
3
的数包括
大于－
3
并且小于
3
的所有数，它们都 以互为相反数成对出现，而互为相反数的两
个数相加得零。
例
3
． 要使下列等式成立
x
、
y
应取什么值？为什么？
①
x
（
y
－
1
）＝
0
，
②
｜
x
－
3
｜＋（
y
＋
2
）
2
＝
0
答：①根据任何数乘以
0
都得
0
，可知当
x
＝
0
时，
y
可取任何 数；
当
y
＝
1
时，
x
取任何数等式x
（
y
－
1
）＝
0
都是能成立。
②∵互为相反数相加得零，而｜
x
－
3｜≥
0
，
（
y
＋
2
）
2
≥< br>0
，
∴它们都必须是
0
，即
x
－
3
＝
0
且
y
＋
2
＝
0
，
故当
x
＝
3
且
y
＝－
2
时，等式｜
x
－
3
｜＋（
y
＋
2
）2
＝
0
成立。
练习四
1
、有理数
a
和
b
的大小如数轴所示
:
b
0
a
比较下列左边各数与
0
的大小（用＞、＜、＝号连接）
2a_______ 0,
－
3b_______
0,
1
2
_______ 0,
－
_______0
，
a
b
a
a
_______ 0,
_______
0
b
b
－
a
2
_______
0,
－
b
3
_______
0,
a+b_______ 0, a
－
b_______ 0,
ab_______ 0,
(
－
2b)
3
_______ 0,
2
、
a
表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：
_______
个。
a
>a,
a
2
>
－
a
2
,
a>
－
a,
a+1>a
3
、
x
表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？ 答：
_______
句。
①（
x
－
2
）
2
有最小值
0
，
③
－｜
x+3|
有最大值
0
，
②
2
－
x
2
有最大值
2
，
④
3
＋｜
x
－
1
｜有最小值
3
。
4
、绝对值小于
5
的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？
5
、要使下列等式成立，字母
x
、
y
应取什么值？
①
第
10
页
（共
65
页）
0
2
＝
0
，
②
x
(
x
3)
＝
0
，
③
x
1
＋
(
y
3)
＝
0
x
6
、下列说法正确吗？为什么？
①
a
的倒数是
1
3
②方程（
a
－
1
）
x
＝
3
的解是
x
＝
a
a
1
③
n
表示一切自然数，
2n
－
1
表示所有的正奇数
④
如果
a>b,
那么
m
2
a>m
2
b (a
、
b
、
m
都是有理数
)
7
、
x
取什么值时，下列代数式的值是正数？
①
x
（
x
－
1
）
②
x
（
x
＋
1
）
（
x
＋
2
）
第五讲
a
n
的个位数
一、内容提要
1.
整数
a
的正整数次幂
a
n
,
它的个位数字与
a
的末位数的
n
次幂的个位数字相同。
例
如
20023
与
2
3
的个位数字都是
8
。
2. 0
，
1
，
5
，
6
，的任何正整数次幂的个位数字都 是它们本身。例如
5
7
的个位数是
5
，
6
20的个位数是
6
。
3.
2
，
3，
7
的正整数次幂的个位数字的规律见下表：
第
11
页
（共
65
页）
底
数
2
3
7
指
数
1
2
3
7
2
4
9
9
3
8
7
3
4
6
1
1
5
2
3
7
6
4
9
9
7
8
7
3
8
6
1
1
9
2
3
7
10
4
9
9
……
……
……
……
其规律是：
2
的正整数次幂的个位数是按
2
、
4
、
8
、
6
四个数字循环出现，即
2
4 k+1
＋
＋
＋
与
2
1
，
2
4k< br>2
与
2
2
，
2
4k
3
与
2
3
，
2
4k
4
与
2
4
的个位数是 相同的（
K
是正整数）
。
3
和
7
也有类似的性质。
4.
4< br>，
8
，
9
的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用
4
＝
2
2
，
8
＝
2
3
，
9
＝
3
2
转化为以
2
、
3
为底 的幂。
5.
综上所述，整数
a
的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：
＋< br>a
4k
m
与
a
m
的个位数相同
(k,m都是正整数
)
。
二、例题
例
1
2003
2003
的个位数是多少？
解：
20 03
2003
与
3
2003
的个位数是相同的，
∵
2003
＝
4
×
500
＋
3
，
∴
3
2003
与
3
3
的个位数是相同的，都是7
，
∴
2003
的个位数是
7
。
例
2
试说明
63
2000
＋
1472002
的和能被
10
整除的理由
解：∵
2000
＝
4
×
500
，
2002
＝
4< br>×
500
＋
2
∴
63
2000
与
3
4
的个位数相同都是
1
，
147
2002与
7
2
的个位数相同都是
9
，
∴
6 3
2000
＋
147
2002
的和个位数是
0
，< br>
∴
63
2000
＋
147
2002
的和能 被
10
整除。
例
3
k
取什么正整数值 时，
3
k
＋
2
k
是
5
的倍数？
解：列表观察个位数的规律
k
＝
3
的个位数
2
的个位数
3
k
＋
2
k
的个位数
1
3
2
5
2
3
9
7
4
8
5
4
1
6
……
……
……
……
从表中可知，当< br>k
＝
1
，
3
时，
3
k
＋
2
k
的个位数是
5
，
∵
a
m
与
a
4n+m
的个位数相同（
m,n
都是正整数，
a
是整数）
;
∴当
k
为任何奇数时，
3
k
＋
2
k是
5
的倍数。
练习五
1
、在括号里填写各幂的个位数（
k
是正整数）
2
20
的个位数是
（
）
4
5
的个位数是（
）
3
30
的个位数是
（
）
8
7
的个位数是（
）
7
4K+1
的个位数是
（
）
3
11
＋
7
9
的个位数是（
）
第
12
页
（共
65
页）
2
16
×
3
14
的个位数是（
）
3
2k-1
＋
7
2k-1
的个位数是（
）
7
2k
－
3
2k
的个位数是（
）
7
4k-1
－
6
4k-3
的个位数是（
）
77
10
×
33
15
×
22
20
×
55
25
的个位数是（
）
2
、目前知道的最大素数是
2
216091
－
1
，它的 个位数是
_______
。
3
、说明如下两个数都能被
10
整除的理由。
①
53
53
－
33
33
②
1987
1989
－
1993
1991
4
、正整数m
取什么值时，
3
m
＋
1
是
10
的倍 数？
5
、设
n
是正整数，试说明
2
n
＋
7
n+2
能被
5
整除的理由。
6
、 若
a
4
的个位数是
5
，那么整数
a
的个位数是_______
若
a
4
的个位数是
1
，那么整数a
的个位数是
_______
若
a
4
的个位数是6
，那么整数
a
的个位数是
_______
若
a2k-1
的个位数是
7
，那么整数
a
的个位数是
___ ____
7
、
1
2
+2
2
+3
2
+
……
+9
2
的个位数是
_______
，< br>
1
2
+2
2
+3
2
+
……
+19
2
的个位数是
_______
，
第
13
页
（共
65
页）
1
2
+2
2
+3
2
+
……
+29
2
的个位数是
_______。
8
、
a,b,c
是三个连续正整数，
a
2
=14884,c
2
=15376,
那么
b
2< br>是（
）
（
A
）
1 5116
，
（
B
）
15129
，
（
C）
15144
，
（
D
）
15321
第六讲
数学符号
一、内容提要
数 学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们
把它规定为某种意义后，就不 再表示其他意义。
数学符号一般可分为：
1
、元素符号：通常用 小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示圆和
三角形等。
2
、关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3
、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4
、逻辑符号：略
5
、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数
a
和
b
中，如果
a
除以
b
的商的
a
a
）
，而它的余数记作
R
（
）
，
那么
b
b
10
10
Z
（
）＝
3
，
R
（
）
＝
1
；
又如设
x
表示不大于
x
的最大整数，
那么
5
.
2
＝
3
3
整数部分记作
Z
（
5
，
5
.
2
＝ －
6
，
＝
0
，
3
＝－
3
。
3
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）
对题设中临时约定 的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具
体到抽象，逐步加深理解。
在 解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确
的定义，所用符号不要与常规符号 混淆。
二、例题
例
1
设
Z
表示不大于
Z
的最大整数，＜
n
＞为正整数
n
除 以
3
的余数
计算：
①
4.07
＋
2
－〈
13
〉＋〈
2004
〉
7
2
3
②〈
14.7
〉＋
34
2
第
14
页
（共
65
页）
解：①原式＝
4
＋（ －
3
）－
1
＋
0
＝
0
②原式 ＝＜
14
＞＋
＝
2
＋
0
＝< br>2
2
例
2
①求
1987
1988
的个位数
②说明
1987
1989
－
1993
1991
能被
10
整除的理由
解：设
N
（
x
）表示整数
x
的个位数
×
①
N
（
1987
1988
）＝
N
（
7
4
497
）＝
N
（
7
4
）＝
1
×
＋
×
＋
②∵
N
（1987
1989
）－
N
（
1993
1991
）＝
N
（
7
4
497
1
）－
N
（
3
4
497
3
）
＝
N
（
7
1
）－
N
（
3
3
）＝
7
－< br>7
＝
0
∴
1987
1989
－
1993< br>1991
能被
10
整除
由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。
例
3.
定义一种符号★的运算规则为：
a
★
b=2a+b
试计算：①
5
★
3
②（
1
★
7
）★
4
解：①
5
★
3
＝
2
×
5
＋
3
＝
13
②（
1
★
7
）★
4
＝（2
×
1
＋
7
）★
4
＝
9
★< br>4
＝
2
×
9
＋
4
＝
22
例
4
设
a
※
b=a(ab+7),
求等式
3
※
x=2
※
(-8)
中的
x
解：由题设可知：
等式
3
※
x=2
※
( -8)
就是
3
（
3x
＋
7
）＝
2
〔
2
×（－
8
）＋
7
〕
∴
9x+21=
－
18
∴
x=
－
4
1
1
3
练习六
1
、
设
Q
＜
x >
表示有理数
x
的整数部分，那么< br>Q
＜
2.15
＞＝
_______
，
Q
＜－
12.3
＞
=_______
，
Q<
－
0.03
＞＝
_______
，
Q
＜
1
＞＝
_______
。
5
2
、设｛
n
｝表示不小于
n
的最小整数，那么｛
4.3
｝＝
____ ___
，
｛－
2.3
｝＝
_______
，
｛－< br>2
｝＝
_______
，
｛－
0.3
｝＋｛
0.3
｝＝
_______
。
3
、设
m
表示不大于
m
的最大整数
①若
m=2
，则
m
= _______
②
若
n=
－
3.5
，则
n
=_______
③若－
1
＜
y
＜
0
，则
y
＝
_______
④若
7
≤
b<8
，则
b
＝
_______
⑤若
x
=4
，则
_____
≤
x
＜
______
⑥若
n
≤
C
1
则
C
＝
_______
4
、正整数
a
和
b
中，设
a
除以
b的商的整数部分记作
Z
（
a
）余数记作
b
第
15
页
（共
65
页）
a
）
，
a
b
的个位数记 作
n
（
a
b
）
,
写出下列各数的结果：
b
33
2
33
2
①
R
（
）＋R
（
）＝
_______
②
Z
（
）＋
Z
（
）＝
_______ < br>5
5
7
7
R
（
③
n(1989
19 90
)= _______
5
、设n
！表示自然数由
1
到
n
的连乘积，例如
5
！ ＝
1
×
2
×
3
×
4
×
5
＝
120
计算：①
120
÷
3!
②
6
、设
=
7
、定义一种符号＃的运算法则为
a
＃
b=
5
!< br>
3
!
(
5
3
)!
a
1
a
2
b
1
b
2
= a
1
b
2
－
a
2
b
1
，计算：①
1
2
3
1
1
；②
4
1
0
a
2
b
，
那么
2
a
b
①
3
＃
2
＝
_______
②
2
＃
3
＝
_______
③（1
＃
2
）＃
3
＝
_______
④（－
3
）＃（
1
＃
0< br>）＝
_______
8
、
a,b
都是正整数，设
a
b
表示从
a
起
b
个连续正整数的和。
例如
2
3
＝
2
＋
3
＋
4
，
5
4
＝
5
＋
6
＋
7
＋
8
已知
x
5
＝
2005
，求
x
第
16
页
（共
65
页）
9
、设［
x
］表示不大于
x
数的最大整数且
x
＝
x
－［
x
］
，求
＋
－
10
、设［
a
］表示不大于数
a
的最 大整数，例如［
2
］＝
1
，
［－
2
］＝
－
2
，
那么
［
3x+1
］
＝
2x -
1
的所有的根的和是
_______
（
1987
年全国初中 联赛题）
2
第七讲
用字母表示数
内容提要和例题
1
、
用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关 系简明而普遍地表达出来，
从具体
的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。< br>
2
、用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题< br>有意义。
例如①写出数
a
的倒数
②用字母表示一切偶数
解：①当
a
≠
0
时，
a
的倒数是
1
a
②设
n
为整数，
2n
可表示所有偶数。
3
、
命题中的字母，
一般要注明取值范围，
在没有说明的情况下，
它表示所学过的数，
并且能使题设有意义。
例题①
化简：⑴｜
x
－
3
｜（
x<3
）
⑵
| x+5|
解：⑴∵
x<3,
∴
x
－
3<0
，
∴｜
x
－
3
｜＝－（
x
－
3
）＝－< br>x
＋
3
⑵当
x
≥－
5
时，｜
x< br>＋
5
｜＝
x
＋
5
，
当
x <
－
5
时，｜
x
＋
5
｜＝ －
x
－
5
（本题
x
表示所有学过的数）
例②
已知十位上的数是
a,
个位数是
b ,
试写出这个两位数
解：这个两位数是
10a+b
(
本 题字母
a
、
b
的取值是默认题设有意义
,
即
a < br>表示
1
到
9
的整数，
b
表示
0
到< br>9
的整数
)
4
、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一 般左边作为题设，所用的字
母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说 明。
例如用字母表示：①分数的基本性质
②分数除法法则
解：①分数的基本性质是
b
bm
b
b
m
(m
≠
0)
，
(m
≠
0)
a
am
a
a
m
第
17
页
（共
65
页）
a
作为左边的分母不另说明
a
≠
0
；
②
b
d
b
c
(d
≠
0) d
在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。
a
c
ad
5
、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如：
乘法分配律，顺用
a(b+c)=ab+ac,
1
16
8
2
24
12
(
16
24
)
2
=
8
17
17
1717
17
S
S
(T
≠
0)
，
T=
(V
≠
0)
T
V
逆用
5a+5b=5(a+b),
< br>6.25
×
3.14
－
5.25
×
3.14=3.1 4(6.25
－
5.25)=3.14
路程
S=
速度
V
×时间
T
，
V=
6
、用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。
例如：加法的符号法则
如果
a>0
，
b>0
，那么
a+b>0
，不可逆
绝对值性质
如果
a>0,
那么
|a|=a
，也不可逆
(
若
|a|=a则
a
≥
0)
7
、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
例
1
：正整数中不同的五位数共有几个？不同的
n
位数呢？
解：不同的五位数可从最大五位数
99999
减去最小五位数
10 000
前的所有正整数，
即
99999-9999=90000.
推广到
n
位正整数，则要观察其规律
一位正 整数
,
从
1
到
9
共
9
个，
记作
9
×
1
二位正整数从
10
到
99
共
90
个，
记作
9
×
10
三位正整数从
100< br>到
999
共
900
个，
记作
9
×
10
2
四位正整数从
1000
到
9999
共
9000
个，
记作
9
×
10
3
(
指数
3=4-1)
……
……
∴
n
位正整数共
9
×
10
n-1
个
例
2
A
E
B
C
D
在线段
AB
上加了
3
个点
C
、
D
、
E
后，图中共有几条线段 ？
加
n
点呢？
解：以
A
为一端的线段有：
AC
、
AD
、
AE
、
AB
共
4
条
以
C
为一端的线段有：
(
除
CA
外
)
CD
、
CE
、
CB
共
3
条
以
D
为一端的线段 有：
(
除
DC
、
DA
外
)
DE
、
DB
共
2
条
以
E
为一端的线段有：
(
除
ED
、
EC
、
EA
外
)
EB
共
1
条
共有线段
1+2+3+4=10
(
条
)
注意：
3
个点时，是从
1
加到
4
，
因此
如果是
n
个点，则共有线段
1+2+3+
……
+n+1=
练习七
1
、右边代数式中的字母应取什么值？
第
18
页
（共
65
页）
1
n
1
(
n
1)(
n
2)
(
n
1)
=
条
2
2
①
4
②
S
正方形
=a
2
③
3
的倍数
3n
x
2
2
、用字母表示：
①一切奇数；
②所有正偶数；
③一个三位数；
④
n
个
a
相乘的结果；
⑤负数的绝对值是它的相反数。
3
、写出：⑴从
1
开始，
n
个自然数的和是
______________________
⑵从
11
开始到
2n+1
连续奇数的和
( n>5)
是
__________
⑶
m
个球队进行单循环赛所需场数是
_________________
4
、已知
999=10
3
－
1,
9999=10
4
－
1,
那么各位数都是
9
的< br>n
位数
999
9
=_____
n
2
5
、计算
11
2
=_____
，
111
2
= _____
，
111
1
=______________ ______
n
6
、写出图中所有三角形并计算其个数，
如果线段上有
n
个点呢？
O
A
B
C
D
E
第八讲
抽屉原则
一、内容提要
1
、
4
个苹果放进
3
个抽 屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于
2
个（即等于或多于
2个）
；如果
7
个苹果放进
3
个抽屉，那么至少有一个抽屉放进< br>的苹果不少于
3
个（即等于或多于
3
个）
，这就是抽屉原则的 例子。
2
、如果用
m
m
7
6
表示不小于
的最小整数，例如
＝
3
，
2
。那么
抽屉
n
n
3
3
第
19
页
（共
65
页）
原则可定义
为：< br>m
个元素分成
n
个集合（
m
、
n
为正整数< br>m>n
）
,
则至少有一个集合
里元素不少于
m
个。
n
< br>3
、根据
m
m
的定义，已知
m
、
n
可求
；
n
n
己知
mm
m
m
x
，
则可求
的范围，
例如已知
＝
3
，
那么
2
＜
≤
3
；
已知
＝
n
n
n
n
3
x
≤
2
，即
3
＜
x< br>≤
6
，
x
有最小整数值
4
。
3
2
，则
1
＜
二、例题
例< br>1
某校有学生
2000
人，问至少有几个学生生日是同一天？
分析：我们把
2000
名学生看作是苹果，一年
365
天（闰年
3 66
天）看作是抽屉，即
把
m
（
2000
）个元素，分成< br>n(366)
个集合，至少有一个集合的元素不少于
m
个
n
解：∵
2000
1 7
2000
5
∴
＝
6
366
366
366
答：至少有
6
名学生的生日是同一天
例
2
从< br>1
到
10
这十个自然数中，任意取出
6
个数，其中至少有两个 是倍数关系，
试说明这是为什么。
解：我们把
1
到
10< br>的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为
5
个集合，它们
是：
｛
1
，
2
，
4
，
8
，
｝
，
｛
3
，
6
，
｝
，
｛
5
，
10
｝
，
｛
7
｝
，
｛
9
｝
。
∵要在
5
个集合里取出
6
个数，
∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
（本题的 关键是划分集合，想一想为什么
9
不能放在
3
和
6
的集合里 ）
。
例
3
袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各
6
个
,
请你从袋中取出一些球，要求
至少有
3
个颜色相同，那 么至少应取出几个才有保证。
分析：我们可把
4
种球看成
4
个抽屉（
4
个集合）
，至少有
3
个球同颜色，看成是至
少 有一个抽屉不少于
3
个（有一个集合元素不少于
3
个）
。
解：设至少应取出
x
个，用｛
｛
x
x
｝表示不小于
的最小整数，那么
4
4
x
x
｝＝
3
，
∴
2
＜
≤
3
，
即
8
＜
x
≤
12
，
最小整数值是
9
。
4
4
答：至少要取出
9
个球，才能确保有三个同颜色。
例
4
等边三角形边长为
2
，在这三角形内部放入
5
个点，至少有
2
个点它们的距离
第
20
页
（共
65
页）
小于
1
，试说明理由。
解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形，
（如图）
它们边长等于
1
，
∵
5
个点放入
4
个三角形，
∴至少有
2
个点放在同一个三角形内，
而同一个三角形内的
2
个点之间的距离必小于边长
1
。
练习八
1
、初一年新生从全县
17
个乡镇招收
50
名，则至少有
_____
人来自同一个乡镇。
2、任取
30
个正整数分别除以
7
，那么它们的余数至少有
___ __
个是相同的。
3
、在
2003
m
中，指数< br>m
任意取
10
个正整数，那么这
10
个幂的个位数中相同的至
少有
_____
个
.
4
、暗室里放有四种不同规格的祙子 各
30
只，为确保取出的祙子至少有
1
双（
2
只
同 规格为
1
双）
，那么至少要取几只？若要确保
10
双呢？
5
、 袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各
6
个，请你拿出一些球，要确保至少
有4
个同颜色，那么最少要取几个？
6
、任意取
11
个正整数，至少有两个它们 的差能被
10
整除，这是为什么？
第
21
页
（共
65
页）
7、右图有
3
行
9
列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有
2
列的涂色方式是
一样的，试说明这是为什么。
8
、任意取
3
个正整数，其中必 有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
9
、
9 0
粒糖果分给
13
个小孩，
每人至少分
1
粒，
不管 怎样分，
总有两人分得同样多，
这是为什么？
第
22
页
（共
65
页）
10
、
11
个互不相同的正整数，它们都小于
20
，那么一定有两个是互质数。
（最大公约数是
1
的两个正整数叫互质数）
11
、任意
6
个人中，或者有< br>3
个人他们之间都互相认识，或者有
3
个人他们之间都
互不相识，两者 必居其一，这是为什么？
第九讲
一元一次方程解的讨论
一、内容提要
1
、方程的解的定 义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元
方程的解也叫做根。
例如：方程
2x
＋
6
＝
0
，
x
（
x-1
）
=0,
|x|=6,
0x=0,
0x=2
的解分别是
x=
－
3,
x=0
或
x=1, x=
±
6,
所有的数，无解。
2
、关于
x
的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程
ax=b
后，
讨论它的解：当
a
≠
0
时，有唯一的解
x=
b
；
a
当
a=0
且
b
≠
0
时，无解；
当
a=0
且
b
＝
0
时，有无数多解。
（∵ 不论
x
取什么值，
0x
＝
0
都成立）
3
、求方程
ax=b(a
≠
0)
的整数解、正整数解、正数解
当
a
｜
b
时，方程有整数解；
当a
｜
b
，且
a
、
b
同号时，方程有正整数解；
当
a
、
b
同号时，方程的解是正数。
第
23
页
（共
65
页）
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程
ax=b
二、例题
例
1 a
取什么值时，方程
a(a
－< br>2)x=4(a
－
2)
①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当
a
≠
0
且
a
≠
2
时， 方程有唯一的解，
x=
②当
a=0
时，原方程就是
0x=
－
8
，无解；
③当
a=2
时，原方程就是
0x=0
有无数多解
④由①可知当
a
≠
0
且
a
≠
2
时，方程的 解是
x=
4
a
4
,
∴只要
a
与
4
同号，
< br>a
即当
a>0
且
a
≠
2
时，方程的解是正数 。
例
2 k
取什么整数值时，方程
①
k(x+1)=k
－
2
（
x
－
2
）的 解是整数？
②（
1
－
x
）
k=6
的解是负整数？
解：①化为最简方程（
k
＋
2
）
x=4
当
k+2
能整除
4
，即
k+2=
±
1
，±
2
，±
4
时，方程的解是整数
∴
k =
－
1
，－
3
，
0
，－
4
，2
，－
6
时方程的解是整数。
②化为最简方程
kx=k
－
6
，
当
k< br>≠
0
时
x=
k
6
6
=1
－
，
k
k
只要
k
能整除
6,
即
k=
±
1
，±
2
，±
3，±
6
时，
x
就是整数
当
k=1,2,3
时，方程的解是负整数－
5
，－
2
，－
1
。
例
3
已知方程
a(x
－
2)=b(x+1)
－
2a
无解。问
a
和
b
应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程：
(a
－
b)x=b
∵方程无解，∴
a
－
b=0
且
b
≠
0 < br>∴
a
和
b
应满足的关系是
a=b
≠
0
。
例
4
a
、
b
取什么值时，方程（
3x
－
2
）
a+
（
2x
－
3）
b=8x
－
7
有无数多解？
解：原方程化为最简方 程：
（
3a+2b
－
8
）
x=2a+3b
－
7
，
根据
0x
＝
0
时，方程有无数多解，可知
当
3
a
2
b
8
0
时，原方程有无数多解。
2
a
3
b
7
0
a
2
b
1
解这个方程组得
答：当
a=2
且
b=1
时，原方程有无数多解。
练习九
1
、根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
第
24
页
（共
65
页）
①
(x+1)=0,
②
x
2
=9,
③
|x|=9
，
④
|x|=
－
3,
⑤
3x+1=3x
－
1,
⑥
x+2=2+x
2
、关于
x
的方程
ax=x+2
无解，那么
a__________
3
、在 方程
a(a
－
3)x=a
中，当
a
取值为
____ ____
时，有唯一的解；当
a________
时
无解；当
a__ ______
时
,
有无数多解；当
a________
时
,
解是负数。
4
、
k
取什么整数值时，下列等式中的
x
是整数？
①
x=
4
6
2
k
3
3
k
2
②
x=
③
x=
④
x=
k
k
1
k
k
1
5
、
k
取什么值时， 方程
x
－
k=6x
的解是
①正数？
②是非负数？
6
、
m
取什么值时，方程
3
（
m+x
）
=2m
－
1
的解
①是零？
②是正数？
第
25
页
（共
65
页）
7
、已知方程
8
、
m
取什么整数值时，方程
(
9
、已知方程
3
x< br>
6
a
2
1
的根是正数，那 么
a
、
b
应满足什么关系？
4
2
x2
1
)
m
1
m
的解是 整数
?
3
3
b
3
(
x
1)
1
ax
有无数多解，求
a
、
b
的值。
2
2
第十讲
二元一次方程的整数解
一、内容提要
1
、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程
ax+by=c
中，
若
a,b
的最大公约数能整除
c,
则方程有整数解。即
如果（
a,b
）
|c
则方程
ax+by=c
有整数解
显然
a,b
互质时一定有整数解。
第
26
页
（共
65
页）
例如方程
3x+5y=1,
5x-2y=7,
9x+3y=6
都有整数解。
反过来也成立，方程
9x+3y=10
和
4x-2y=1
都没有整数解，
∵（
9
，
3）＝
3
，而
3
不能整除
10
；
（
4< br>，
2
）＝
2
，而
2
不能整除
1
。< br>
一般我们在正整数集合里研究公约数，
（
a,b
）中的
a, b
实为它们的绝对值。
2
、二元一次方程整数解的求法：
若方程
ax+by=c
有整数解，
一般都有无数多个，
常引入整数
k
来表示它的通解
（即
所有的解）
。
k
叫做参变数。
方法一：整除法
：求方程
5x+11y=1
的整数解
1
11
y
1
y
10
y1
y
2
y
(1) ,
=
5
5
5
1
y
k
(
k
是整数）
设
，则
y=1-5k (2) ,
5
解：
x=
把（
2
）代入（
1
）得
x= k-2(1-5k)=11k-2
x
11
k
2
∴原方程所有的整数解是
（
k
是整数）
y
1
5
k
方法二：公式法
：
设
ax+by=c
有整数解
x
x
0< br>
x
x
0
bk
则通解是
（x
0
,y
0
可用观察法）
y< br>
y
0
y
y
0
< br>ak
3
、
求二元一次方程的正整数解：
①
求出整数解的通解，再解
x,y
的不等式组，确定
k
值
②
用观察法直接写出。
二、例题
例
1
求方程
5x
－
9y=18
整数解的通解
18< br>
9
y
15
10
y
3
y
3
y
3
2
y
5
5
5
3
y
k
（
k
为整数）
设
，
y=3
－
5k,
代入得
x=9
－
9k
5
解：
x=
∴原方程整数解是
x< br>
9
9
k
（
k
为整数）
y
3
5
k
又解：当
x=o
时，< br>y=
－
2
，
x
0
9
y
x
0
∴方程有一个整数解
它的通解是
（
k
为整数）
y
2
5
k
y
2
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例
2
求方程
5x+6y=100
的正整数解
第
27
页
（共
65
页）
解：
x=
设
100
6
y
y
20
y
(1)，
5
5
y
k
(k
为整数
)
，则
y=5k,(2)
5
把（
2
）代入（
1< br>）得
x=20-6k
，
∵
20
6
k
0
x
0
解不等式组
5
k
0
y
< br>0
20
,k
的整数解是
1
，
2
，
3
，
6
得
0
＜
k<
∴正整数解是
x
2
x
14
x
8
，
，
y
10
y
15
y< br>
5
例
3
甲种书每本
3
元，乙种书每本
5< br>元，
38
元可买两种书各几本？
解：设甲种书买
x
本，乙种书买
y
本，根据题意得
3x+5y=38
（
x,y
都是正整数）
∵< br>x
＝
1
时，
y=7
，∴
x
1
是一个整数解
y
7
∴通解 是
x
1
5
k
（
k
为整数）
y
7
3
k
< br>
1
5
k
0
1
7
得解 集是
k
∴整数
k=0
，
1
，
2
5
3
7
3
k
0
x
1
x
6
x
11
，
，
y
1
y
7
y
4
解不等式组
把
k =0,1,2
代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买
1
和
7
本或
6
和
4
本或
11
和< br>1
本。
练习十
1
、求下列方程的整数解
①公式法：
x+7y=4,
5x-11y=3
②整除法：
3x+10y=1,
11x+3y=4
第
28
页
（共
65
页）
2
、求方程的正整数解：①
5x+7y=87
②
5x+3y=110
3
、一根长
10000
毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯， 甲种毛坯长
300
毫米，
乙种毛坯长
250
毫米，有几种截法可百分 之百地利用钢材？
4
、兄弟三人，老大
20岁，老二年龄的
2
倍与老三年龄的
5
倍的和是
97
，求 兄弟三
人的岁数。
5
、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：
________
（填编号）
①
4x
＋
2y=11,
②
10x-5y=70,
③
9x+3y=111,
④
18x-9y=98,
⑤
91x-13y=169,
⑥
120x+121y=324.
第
29
页
（共
65
页）
6
、一张试巻有< br>20
道选择题，选对每题得
5
分，选错每题反扣
2
分，不答得
0
分，
小军同学得
48
分，他最多得几分？
7
、用观察法写出方程
3x+7y=1
几组整数解：
y=
x=
1
4
－
2
1
7
y
3
第十一讲
二元一次方程组解的讨论
一、内容提要
1
．
二元一次方程组
a
1
x
b
1
y
c
1
的解的情况有以下三种：
a
2
x
b
2
y
c
2
①
当
a
1
b
1
c
1
（∵两个方程等效）
< br>时，方程组有无数多解。
a
2
b
2
c
2
第< br>
30
页
（共
65
页）
②
当
a
1
b
1
c
1
（∵两个方程是矛盾的）
时，方程组无解。
a
2
b
2
c
2
a
1
b
1
（即
a
1
b
2
－
a
2
b
1≠
0
）时，方程组有唯一的解：
a
2
b
2
③
当
c
1
b
2
c
2
b
1
x
a
1
b
2
a
2
b
1
（这个解可用加减消元法求得）
c
a
c
a
y
2
1
1
2
a
1
b
2
a
2
b
1
2
．
方程的个数少于未知数的 个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数
解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3
．
求方程组中的待定系数的取值，
一般是求出方程组的解
（把待定系数当已知数）
，
再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例
2
、
3
）
二、例题
例
1.
选择一组
a,c
值使方程组
5
x
y
7
ax
2
y
c
①
有无数多解，
②无解，
③有唯一的解
解：
①当
5
∶
a=1
∶
2= 7
∶
c
时，方程组有无数多解
解比例得
a=10,
c=14
。
②
当
5
∶
a
＝
1
∶
2
≠
7
∶
c
时，方程组无解。
解得
a=10,
c
≠
14
。
③当
5
∶
a
≠
1
∶
2
时，方程组有唯一的解，
即当
a
≠
10
时，
c< br>不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
x
y
a
例
2.
a
取什么值时，方程组
的解是正数？
5x
3
y
31
解：把
a
作为已知数，解这个方程组
31
3
a
31
3
a
x
0
< br>x
0
2
2
得
< br>
∵
∴
5
a< br>
31
5
a
31
y
0
y
0
2
2
第
31
页
（共
65
页）
a
解不等式组得
a
答：当
a
的取值为
6
31
1
1
3
解集是
6
a
10
5
331
5
1
1
a
10
时，原方程组 的解是正数。
5
3
2
x
my
4
例
3.
m
取何整数值时，方程组
的解
x
和
y
都是整数？
x
4
y
1
8
x
1
m
8
解：把
m
作为已知数，解方程组得< br>
2
y
m
8< br>
∵
x
是整数，∴
m
－
8
取
8的约数±
1
，±
2
，±
4
，±
8
。< br>
∵
y
是整数，∴
m
－
8
取
2的约数±
1
，±
2
。
取它们的公共部分，
m
－
8
＝±
1
，±
2
。
解得
m=9
，
7
，
10
，
6
。
经检验
m=9
，
7
，
10
，
6
时，方程组的解都是整数。
例
4
（古代问题）
用
100
枚铜板买桃，
李，
榄橄共
100
粒，
己知桃，
李每粒分别是
3
，
4
枚铜板，而榄橄
7
粒
1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买
x,
y,
z
粒
,
依题意得
x< br>
y
z
100
(
1
)
1
3
x
4
y
z
100
(
2
)
7
由（
1
）得
x= 100
－
y
－
z
(3)
把（
3
）代入（
2
）
，整理得
y=
－
200+3z
－
设
z
7
z
k
(k
为整数
)
得
z=7k,
y=
－
200+20k,
x=300
－
27k
7
第
32
页
（共
65
页）