浅谈盈亏问题解题思路
巡山小妖精
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2021年01月26日 07:23
最佳经验
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写春天的诗句-
辅导孩子做奥数题目的时候，经常发现孩子对老师讲解过的基本典型的几
类奥数题基 本会做，可遇到复杂一点的题就抓耳挠腮，束手无策了。经过多次
试探、沟通，我发现孩子对老师讲过的 诸如盈亏问题、鸡兔同笼等几类基本典
型问题都能够熟练应用公式解答，但其实并没有完全吃透基本典型 题目的解题
思路的精髓，特别是对基本典型问题的前置基础要求条件几乎没有概念，这也
就导致 孩子不知道何种情况不能直接套用公式，或者也知道不能直接套用公
式，但却无从下手的情况。
个人觉得引导孩子真正理解基本典型问题的解题思路，分析和掌握基本典
型问题的前置基础要求 ，并在此基础上引导孩子判断一道题是否满足前置基础
要求，在不满足前置基础要求的情况下，如何有针 对性的进行转化，才能做到
有的放矢。
下面就以盈亏问题为例，和大家探讨一下
:
基本典型问题：
老师 把一包饼干分给小朋友，如果每人分
5
块，将剩余
14
块；每人分
7
块，又缺少
4
块。那么，小朋友共有多少人？一共有多少块饼干？这是盈亏问
题的基本典型例题。
引导孩子思考：
每个小朋友分
5
块 后，老师手上还有
14
块。根据题中
“
每人分
7
块，又缺< br>少
4
块
”
，也就是说，再补给老师
4
块饼干，每个人 就可以分得
7
块了。那好，
再补给老师
4
块，老师手上则有前面剩余 的
14
块和后补的
4
块，一共有
14+4=18
块饼干。把 这
18
块饼干也都分给小朋友，每个小朋友就正好有
7
块饼
干了。现 在每个小朋友都已经有了上次分的
5
块饼干，再分得
7-5=2
块饼干，每人就有
7
块饼干了。也就是说老师手上的
18
块饼干正好可以再给每个 小朋友
2
块饼干。这样就容易理解，小朋友一共有
18÷2=9
个小朋友。得 出小朋友的人
数，当然就很容易求得原来的饼干数量了。
1
/
6
通过这种理解方式，相信孩子能够很容易掌握 盈亏基本典型问题的思考方
法，而不是简单的记忆那些解题公式了。当然，盈盈、亏亏问题都能按此理解
和解答，在此就不赘述了。
盈亏基本典型问题解题思路的关键是两次分配的份额差异 与盈亏差异的相
互关系。两次分配的盈亏差正是因为两次平均分配的份额差所导致的，而两次
分 配的份数又不发生变化，因此盈亏差就是份额差与份数的乘积。这是盈亏问
题解题思路的本质。（孩子如 果一时难以完全理解这个本质，也不要强求）在
此基础上，我们再来分析一下基本典型盈亏问题的前置基 础要求：
1.
先后两次对同一物品（饼干）进行不同的平均分配；
2.
前后两次分配饼干过程中小朋友的人数是固定不变的，也就是分配的份数
不变；饼干的原 有数量，也就是在两次分配中基数固定不变；
3.
两次分配中每人分得的饼干数量， 以及两次分配中老师手上剩余或缺少的
饼干数量可以变化，也就是每份的数量和每次分配的盈亏数额可以 变化，我们
也正是根据这两个数额的变化情况求得最后的份数和分配基数的。
这些前 置基础要求是我们能否应用上述解题思路来解答这类题型的基础条
件，如果不满足这些基础条件，就不能 直接使用基本典型题的解答思路来解
答。
从另一角度来说，遇到不满足上述前置基础 要求的类似题目，就要设法将
其转换到满足前置基础要求后，才能再应用基本典型题的解答思路来解答。 老
师和课本上都说，要善于将复杂的盈亏问题转化为基本典型的盈亏问题，可是
具体怎么转化， 孩子还是无从下手。现在，我们分析了上述前置基础要求，至
少我们可以明确，就是要把不符合上述前置 基础要求的条件转化为符合前置基
础要求的条件。
在条件转换的过程中，要抓住前置 条件中固定的要求和可以变化的条件之
间的关系，具体到盈亏问题中，由于每份的数量和每次分配的盈亏 数量是可以
变化的，我们一般也就考虑将需要固定的条件进行固定，并根据有关题目条件
将此变 化转换为可以变化的盈亏数值的变化。
2
/
6
例题
1
：一群小朋友分橘子，如果其中两 人每人分
4
个，其余每人分
2
个，
则多出
4
个；如 果其中一人分
6
个，其余每人分
4
个，则又缺
12
个。问一 共有
多少小朋友？多少橘子？
分析：
本题中橘子和小朋友的数量 在两次分配中都没有变化，但是两次分配都不
是平均分配，这就不满足前面分析的前置基础要求，当然也 不能直接应用盈亏
基本典型问题的解题思路直接解答。因此，我们的解题思路就是要先将不平均
分配的条件转化为平均分配的条件，以满足相应的前置基础要求。
第一次分配中
“< br>两个人分
4
个，其余每人分
2
个，则多出
4
个
”
，我们让这
两个分得
4
个的小朋友每人还两个给老师（虽然这题中没提及 老师，我们还是
假设一个老师来分，这样更好描述，孩子也更好理解），让这两个与众不同的
小 朋友和其他小朋友一样。这样就成了每人分
2
个的平均分配了。这样一来，
老师手上就 会又多出
2×2=4
个，加上原分配中多出的
4
个，那么，第一次分配
就变成了
“
每人分
2
个，则多出
8
个
”
。
同样，第二次分配中
“
其中一人分
6
个，其余每人分< br>4
个，则又缺
12
个
”
，
让这一个分
6个的小朋友还
2
个给老师，这样老师由原来缺
12
个就变成了缺
10
个。那么，第二次分配就变成了
“
每人分
4
个，则缺
1 0
个
”
。
通过上述过程我们可以看出，通过可以变化的盈亏数量的 转换，将不符合
的前置基础要求的条件转化为符合前置基础要求的条件，这就是解决类似问题
的 总体思路。经过这样的转换，题目已经成为满足前提条件的基本典型盈亏题
目了。
具体解答就不详述了。
例题
2
：钢笔和圆珠笔每支相差
1
元
2
角，小明带的钱买
5
支钢笔差
1
元
5
角，买
8
支圆珠笔多
6
角。问小明带了多少钱？
分析：
3
/
6