数学定理大全
玛丽莲梦兔
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2021年01月26日 09:53
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一、数与代数
A
、数与式：
1
、有理数
有理数：①整数
→
正整数
/0/
负整数
②分数
→
正分数
/
负分数
数轴：①画一条水平直 线，在直线上取一点表示
0
（原点），选取某一长度作为
单位长度，
规定直线 上向右的方向为正方向，
就得到数轴。
②任何一个有理数都
可以用数轴上的一个点来表 示。
③如果两个数只有符号不同，
那么我们称其中一
个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，
表示互为相
反数的两个点，
位于原 点的两侧，
并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的
数，右边的总比左边的大。正 数大于
0
，负数小于
0
，正数大于负数。
绝对值：
①在数轴上，
一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正
数的绝对值是 他的本身、负数的绝对值是他的相反数、
0
的绝对值是
0
。两个负
数 比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：
加法：①同号相加，取相 同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时
和为
0
；绝对值不等时，取绝对 值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小
的绝对值。③一个数与
0
相加不变。< br>
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：
①两数相乘 ，
同号得正，
异号得负，
绝对值相乘。
②任何数与
0
相乘得
0
。
③乘积为
1
的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②
0
不能作除数。
乘 方：求
N
个相同因数
A
的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，
A< br>叫底数，
N
叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2
、实数
无理数：无限不循环小数叫无理数
平方根：① 如果一个正数
X
的平方等于
A
，那么这个正数
X
就叫做A
的算术平
方根。②如果一个数
X
的平方等于
A
，那么 这个数
X
就叫做
A
的平方根。③一
个正数有
2
个平 方根
/0
的平方根为
0/
负数没有平方根。④求一个数
A
的 平方根
运算，叫做开平方，其中
A
叫做被开方数。
立方根：①如果 一个数
X
的立方等于
A
，那么这个数
X
就叫做
A< br>的立方根。②
正数的立方根是正数、
0
的立方根是
0
、负数的 立方根是负数。③求一个数
A
的
立方根的运算叫开立方，其中
A
叫做 被开方数。
实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意< br>义和有理数范围内的相反数，
倒数，
绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可
以在数轴上的一个点来表示。
3
、代数式
代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项：①所含字母相同，并且 相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并 同类项时，
我们把同类项的
系数相加，字母和字母的指数不变。
4
、整式与分式
整式：
①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，
单项式
和多项式统称整式。
②一个单项式中，
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 。
整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
幂的运算：
AM+AN=A
（
M+N
）
（
AM
）
N=AMN
（
A/B
）
N=AN/BN
除法一样。
整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别 相乘，
其余字母连同他的指数不变，
作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，
就是根据
分配律用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加。
③多项式与多项式 相
乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式两条：平方差公式
/
完全平方公式
整式的除法：①单项式相除 ，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对
于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指 数一起作为商的一个因式。
②多项式
除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再 把所得的商相加。
分解因式：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种 变化叫做把这个多项式
分解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：①整式
A
除以整式
B
，如果除式
B
中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为
0
。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于
0
的整式，分式的值不变。
分式的运算：
乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法：①同分母分式相加减，分母 不变，把分子相加减。②异分母的分式先通
分，化为同分母的分式，再加减。
分式方 程：
①分母中含有未知数的方程叫分式方程。
②使方程的分母为
0
的解称为原方程的增根。
B
、方程与不等式
1
、方程与方程组
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并 且未知数的指数是
1
，
这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减 去或乘以或除以
（不为
0
）
一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为
1
。
二元一次方程：
含有两个未知数，
并且所含未知数的项的次数都是
1
的方程叫做
二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法
/
加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为
2
的方程
1
）一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数（即抛物线）了 ，对他也有很深的了解，好像解法，在图
象中表示等等，
其实一元二次方程也可以用二次函数来 表示，
其实一元二次方程
也是二次函数的一个特殊情况，
就是当
Y
的
0
的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，
一 元二次方程就是二次函数中，
图象与
X
轴的交点。也就是该方程的解了
2
）一元二次方程的解法
大家知道，二次函数有顶点式（
-b/2 a,4ac-b2/4a
），这大家要记住，很重要，因
为在上面已经说过了，
一元二 次方程也是二次函数的一部分，
所以他也有自己的
一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方 程的解
(1
）配方法
利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解
(2)
分解因式法
提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次 方程的时候也一样，利
用这点，把方程化为几个乘积的形式去解
(3)
公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根< br>X1={-
b+√[b2
-4ac)]}/2a
，
X2={-b-√[b2
-4ac)]}/2a
3
）解一元二次方程的步骤：
（
1
）配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，
再把 二次项的系数化为
1
，
再同时加上
1
次项的系
数的一半的平 方，最后配成完全平方公式
(2)
分解因式法的步骤：
把方程右 边化为
0
，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因
式中的公式法） 或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
(3)
公式法
就 把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为
a
，一次项的系数为
b
，常数项的系数为
c
4
）韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达 定理就是在一元二次方程中，二根之和
=-b/a
，二根
之积
=c/a 也可以表示为
x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
。利用韦达定理，可以求出一元二 次方程中
的各系数，在题目中很常用
5
）一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解，
根的判别式可在书面上可以写为
“
△
”，
读作
“diao ta”
，
而
△
=b2-4ac，这里可以分为
3
种情况：
I
当
△
>0时，一元二次方程有
2
个不相等的实数根；
II
当
△
=0
时，一元二次方程有
2
个相同的实数根；
III当
△
<0
时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2
个虚数根）
2
、不等式与不等式组
不等式：①用 符号〉，
=
，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或
减去同一个整式，< br>不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，
不等号方向不变。④不等 式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：
①能使不等式 成立的未知数的值，
叫做不等式的解。
②一个含有
未知数的不等式的所有解，
组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做
解不等式。
一元一次不 等式：
左右两边都是整式，
只含有一个未知数，
且未知数的最高次数
是
1
的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：
①关于同一个未知数 的几个一元一次不等式合在一起，
就组
成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等 式的解集的公共部分，
叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，
叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：
在一元一次不等式中，< br>不像等式那样，
等号是不变的，
他是随着你加或乘的运算
改变。
在不等式中，
如果加上同一个数
（或加上一个正数）
，
不等式符号不改向 ；
例如：
A>B,A+C>B+C
在不等式中，
如果减去同一个数
（或加上一个负数）
，
不等式符号不改向；
例如：
A>B
，
A-C>B-C
在不等式中，
如果乘以同一个正数，
不等号不改向；
例如：
A>B
，
A*C>B*C
（
C>0
）
在 不等式中，
如果乘以同一个负数，
不等号改向；
例如：
A>B
，A*C
C<0
）
如果不等式乘以
0
，那么不等号改为等号
所以在题目中，要求出乘 以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，
如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为
0
，否则不等式不成立；
3
、函数
变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，
通常用水平方向 的数轴上的点自变量，
用竖直
方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：① 若两个变量
X
，
Y
间的关系式可以表示成
Y=KX+B
（< br>B
为常数，
K
不等于
0
）的形式，则称
Y
是
X
的一次函数。②当
B=0
时，称
Y
是
X
的正比例
函数。
一次函数的图象：①把一个函数的自变量
X
与对应 的因变量
Y
的值分别作为点
的横坐标与纵坐标，
在直角坐标系内描出它的对应 点，
所有这些点组成的图形叫
做该函数的图象。
②正比例函数
Y=KX
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次
函数中，当
K
〈
0
，
B
〈
O
，则经
234
象限；当
K
〈< br>0
，
B
〉
0
时，则经
124
象限；
当
K
〉
0
，
B
〈
0
时，
则经134
象限；
当
K
〉
0
，
B
〉
0
时，
则经
123
象限。
④当
K
〉
0< br>时，
Y
的值随
X
值的增大而增大，当
X
〈
0
时，
Y
的值随
X
值的增大而减少。
二空间与图形
A
、图形的认识
1
、点，线，面
点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交 得线，线与线相交得
点。③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：
①在棱柱中，
任何相邻的两个面的交线叫做棱，
侧棱是相邻两个侧
面的交线，
棱柱的所有侧棱长相等，
棱柱的上下底面的形状相同，
侧面的形状都
是长方体。②N
棱柱就是底面图形有
N
条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、
扇形：
①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。
②
圆 可以分割成若干个扇形。
2
、角
线：
①线段有两个端点 。
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线只有
一个端点。
③将线段 的两端无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
④经过两点
有且只有一条直线。
比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做
这两点之间 的距离。
角的度量与表示：
①角由两条具有公共端点的射线组成，
两条射线 的公共端点是
这个角的顶点。②一度的
1/60
是一分，一分的
1/60是一秒。
角的比较：
①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。< br>②一条射线
绕着他的端点旋转，
当终边和始边成一条直线时，
所成的角叫做平角 。
始边继续
旋转，
当他又和始边重合时，
所成的角叫做周角。
③从一 个角的顶点引出的一条
射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
< br>平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且
只有一条直线与这 条直线平行。
③如果两条直线都与第
3
条直线平行，
那么这两
条直线 互相平行。
垂直：
①如果两条直线相交成直角，
那么这两条直线互相垂直。
②互相垂直的两
条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。
垂直平分线垂直 平分的一定是线段，
不能是射线或直线，
这根据射线和直线可以
无限延长有关，
再看后面的，
垂直平分线是一条直线，
所以在画垂直平分线的时
候，确定了
2
点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出
2
点。
垂直平分线定理：
性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；
判定定理：到线段
2
端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上
角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意一下的 ，
就是角的角平分线是一条射线，
不是线段也不
是直线，很多时，在题目中会出现直线 ，这是角平分线的对称轴才会用直线的，
这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相 等的点
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
正方形：一组邻边相等的矩形是正方形
性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
判定：
1
、对角线相等的菱形
2
、邻边相等的矩形
二、基本定理