高中数学定理公式大全
温柔似野鬼°
739次浏览
2021年01月26日 09:58
最佳经验
本文由作者推荐
介子推的故事-
抛物线：
y
=
ax
*+
bx
+
c
就是
y
等于
ax
的平方加上
bx
再加上
c
a
>
0
时开口向上
a
<
0
时开口向下
c
=
0
时抛物线经过原点
b
=
0
时抛物线对称轴为
y
轴
还有顶点式
y
=
a
（
x+h
）
*
+
k
就是
y
等于
a
乘以（
x+h
）的平方
+k
-h
是顶点坐标的
x
k
是顶点坐标的
y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程
:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在
x
的正半轴上
,
焦点坐标为
(p/2,0)
准线方程为
x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴
,
故共有标准方程
y^2=2px
y^2=-2px
x^2=2py
x^2=-2py
圆：体积
=4/3(pi
）
(r^3)
面积
=(pi)(r^2)
周长
=2(pi)r
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（
a,b
）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：
L=2πb+4(a
-b)
椭圆 周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（
2πb
）加上四倍的该椭
圆长半轴长（
a
）与短半轴长（
b
）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：
S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（
π< br>）乘该椭圆长半轴长（
a
）与短半轴长（
b
）的
乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率
T
， 但这两个公式都是通过椭圆周率
T
推导演变而来。常数为体，公式为用。
椭圆形物体
体积计算公式椭圆
的
长半径
*
短半径
*PAI*
高
三角函数：
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+… …+sin[α+2π*(n
-1)/n]=0
cosα+cos (α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n
-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+ sin^2(α
-
2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式：
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式：
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tan A^4)
六倍角公式：
sin6A=2*(cos A*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+ 15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式：
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64 *sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*co sA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+ 35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^ 4+7*tanA^6)
八倍角公式：
sin8A=-8*(co sA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*c osA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2- 7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+ tan
A^8)
九倍角公式：
sin9A =(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^ 2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cos A^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA* (9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*ta nA^2+126*tanA^4-84*t
anA^6+9*tanA^8)
十倍角公式：
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*s inA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+ 16*sinA
^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*( 256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*ta nA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan
A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
·
万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1
-
tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1
-
tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=√((1
-cosA)/2) sin(A/2)=-
√((1
-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=
-
√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1
-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-
√((1
-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1
-cosA)) cot(A/2)=-
√((1+cosA)/((1
-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前
n
项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2 +4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/
6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注：
其中
R
表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角
B
是边
a
和边
c
的夹角
乘法与因式分
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a
-
b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>
-
b≤a≤b
|a-
b|≥|a|
-|b| -
|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-
b+√(b2
-4ac)/2a -b-
√(b2
-4ac)/2a
根与系数的关系
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a
注：韦达定理
判别式
b2-4a=0
注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0
注：方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0
注：方程有共轭复数根
公式分类
公式表达式
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：
（
a,b
）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h
正棱锥侧面积
S=1/2c*h'
正棱台侧面积
S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式
l=a*r
a
是圆心角的弧度数
r
>0
扇形面积公式
s=1/2*l*r
锥体体积公式
V=1/3*S*H
圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L
注：其中
,S'
是直截面面积，
L
是侧棱长
柱体体积公式
V=s*h
圆柱体
V=pi*r2h
图形周长
面积
体积公式
长方形的周长
=
（长
+
宽）
×
2
正方形的周长
=
边长
×
4
长方形的面积
=
长
×
宽
正方形的面积
=
边长
×
边长
三角形的面积
已知三角形底
a
，高
h
，则
S
＝
ah/2
已知三角形三边
a,b,c,
半周长
p,
则
S
＝
√[p(p
-
a)(p
-
b)(p
-
c)]
（海伦公式）
（
p=(a+b+c)
/2
）
和：（
a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边a,b,
这两边夹角
C
，则
S
＝
absinC/2
设三角形三边分别为
a
、
b
、
c
， 内切圆半径为
r
则三角形面积
=(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为
a
、
b
、
c
，外接圆半径为< br>r
则三角形面积
=abc/4r
已知三角形 三边
a
、
b
、
c,
则
S
＝
√{1/4[c^2a^2
-((c^2+a^2-
b^2)/2)^2]}
(“
三斜求积
”
南宋秦
九韶）
|
a
b
1
|
S
△
=1/2
*
|
c
d
1
|
|
e
f
1
|
【
|
a
b
1
|
|
c
d
1
|
为三阶行 列式
,
此三角形
ABC
在平面直角坐标系内
A(a,b),B(c, d),
C(e,f),
这里
AB
C
|
e
f
1
|
选区取最好按逆时针顺序从右上角 开始取，
因为这样取得出的结果一般都为正值，
如果不
按这个规则取，
可能会 得到负值，但不要紧，
只要取绝对值就可以了，
不会影响三角形面积
的大小！】
秦九韶三角形中线面积公式
:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc
-Ma)*(Mc+Ma- Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中
Ma,Mb,Mc
为三角形的中线长
.
平行四边形的面积
=
底
×
高
< br>梯形的面积
=
（上底
+
下底）
×
高
÷
2
直径
=
半径
×
2
半径
=
直径
÷
2
圆的周长
=
圆周率
×
直径
=
圆周率
×
半径
×
2
圆的面积
=
圆周率
×
半径
×
半径
长方体的表面积
=
（长
×
宽
+
长
×
高＋宽
×
高）
×
2
长方体的体积
=
长
×
宽
×
高
正方体的表面积
=
棱长
×
棱长
×
6
正方体的体积
=
棱长
×
棱长
×
棱长
圆柱的侧面积
=
底面圆的周长
×
高
圆柱的表面积
=
上下底面面积
+
侧面积
圆柱的体积
=
底面积
×
高
圆锥的体积
=
底面积
×
高
÷
3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积
=
底面积
×
高
平面图形
名称
符号
周长
C
和面积
S
正方形
a
—
边长
C
＝
4a
S
＝
a2
长方形
a
和
b
－边长
C
＝
2(a+b)
S
＝
ab
三角形
a,b,c
－三边长
h
－
a
边上的高
s
－周长的一半
A,B,C
－内角
其中
s
＝
(a+b+c)/2
S
＝
ah/2
＝
ab/2?sinC
＝
[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝
a2sinBsinC/(2sinA)
1
过两点有且只有一条直线
2
两点之间线段最短
3
同角或等角的补角相等
4
同角或等角的余角相等
5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9
同位角相等，两直线平行
10
内错角相等，两直线平行
11
同旁内角互补，两直线平行
12
两直线平行，同位角相等
13
两直线平行，内错角相等
14
两直线平行，同旁内角互补
15
定理
三角形两边的和大于第三边
16
推论
三角形两边的差小于第三边
17
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于
180°
18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余
19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21
全等三角形的对应边、对应角相等
22
边角边公理
(sas)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23
角边角公理
( asa)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24
推论
(aas)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25
边边边公理
(sss)
有三边对应相等的两个三角形全等
26
斜边、直角边公理
(hl)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
(
即等边对等角）
31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°
34
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等
（等角对等边）
35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形
36
推论
2
有一个角等于
60°
的等腰三角形是等边三角形
37
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°
那么它所对的直角边等于斜 边的一半
38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40
逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形
43
定理
2
如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44
定
理
3
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45
逆定理
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平 分，
那么这两个图形关于这条
直线对称
46
勾股定理
直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^2=c^2
47
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a^2+b^2=c^2
，那么这个三角
形是直角三角形
48
定理
四边形的内角和等于
360°
49
四边形的外角和等于
360°
50
多边形内角和定理
n
边形的内角的和等于（
n-2
）
×
180°
51
推论
任意多边的外角和等于
360°
52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等
53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等
54
推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分
56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形
59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角
61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等
62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形
63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形
64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等
65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66
菱形面积
=
对角线乘积的一半，即
s=
（
a×
b
）
÷
2
67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形
68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69
正方形性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70
正 方形性质定理
2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一
组对 角
71
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等的
72
定理
2
关于中心对称的两个图形，
对称点连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分
73
逆定理
如果两个图形的对应点连线都经过某 一点，并且被这一点平分，那么这两个图
形关于这一点对称
74
等腰梯形性质定理
等腰梯形在同一底上的两个角相等
75
等腰梯形的两条对角线相等
76
等腰梯形判定定理
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77
对角线相等的梯形是等腰梯形
78
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，< br>那么在其他直线
上截得的线段也相等
79
推论
1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80
推论
2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
l=
（
a+b
）
÷
2
s=l
×
h
83
(1)
比例的基本性质
如果
a:b=c:d,
那么
ad=bc
如果
ad=bc,
那么
a:b=c:d
84
(2)
合比性质
如果
a
／
b=c
／
d,
那么
(a±
b)
／
b=(c±
d)
／
d
85
(3)
等比性质
如果
a
／
b=c
／
d=…=m
／
n(b+ d+…+n≠0),
那么
(a+c+…+m)
／
(b+d+…+n)=
a
／
b
86
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边
（或两边的延长线）
，< br>所得的对应线段成比
例
88
定理
如果一条直线截三角形的两边
（或两边的延长线）
所得的对应 线段成比例，
那么
这条直线平行于三角形的第三边
89
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90
定理
平 行于三角形一边的直线和其他两边
（或两边的延长线）
相交，
所构成的三角形
与原三角形相似